1、 专题 14 多边形的边与角 阅读与思考阅读与思考 主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外 角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础 多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解 多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形 多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角 和的“不变”来制约内角和的“变” ，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常 用技巧 例题与求解例题与求解 【例例 1】两个凸多边形，它们的边长之和为
2、12，对角线的条数之和为 19，那么这两个多边形的边数 分别是和 （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：设两个凸多边形分别有m，n条边，分别引出 (3) 2 m m ， (3) 2 n n 条对角线，由此得m， n方程组 【例例 2】凸边形有且只有 3 个钝角，那么n的最大值是（ ） A5 B6 C7 D8 解题思路解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于n的不等式，通过求解不等式逼近求解 【例例 3】凸n边形除去一个内角外，其余内角和为 2570，求n的值 （山东省竞赛试题） 解题思路解题思路：利用n边形内角和公式，以及边数n为大于等于 3 的自然数这一要求，推出该角大小， 进而求出n
3、的值 录入：王云峰录入：王云峰 【例例 4】如图，凸八边形 ABCDEFGH 的八个内角都相等，边 AB，BC，CD，DE，EF，FG 的长分为 7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长 （全国通讯赛试题） 解解题思路题思路：该八边形每一内角均为 135，每一外角为 45 ，可将八边形问题转化为特殊三角形解 决、特殊四边形加以解决 【例例 5】如图所示，小华从 M 点出发，沿直线前进 10 米后，向左转 20 ，再沿直线前进 10 米后，又 向左转 20 ，这样走下去，他第一次回到出发地 M 时，行走了多少米？ 解题思路解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了 能力训练能力训练 A 级级
4、1如图，凸四边形有个；ABCDEFG （重庆市竞赛试题） 2如图，凸四边形 ABCD 的四边 AB，BC，CD 和 DA 的长分别为 3，4，12 和 13，ABC90 ， 则四边形 ABCD 的面积为 A B C D E FG 第 1 题 A B C D 第 2 题 AB C D EF G H 20 20 20 M 3如图，ABCDEFG 4如图，ABCD 是凸四边形，则x的取值范围是. 5一个凸多边形的每一内角都等于 140 ，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是 （ ） A9 条 B8 条 C7 条 D6 条 （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 6个凸n边形的内角和小于 1999
5、，那么n的最大值是（ ） （全国初中联赛试题） A11 B12 C13 D14 7如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（ ）个角 A5 个 B5 个或 3 个 C5 个或 3 个或 4 个 D4 个 8个凸n边形，除一个内角外，其余1n个内角的和为 2400 ，则n的值是（ ） A15 B16 C17 D不能确定 9如图，在四边形 ABCD 中，ABAD8，A60 ，D150 ，四边形周长为 32，求 BC 和 DC 的长 10个凸n边形的最小内角为 95 ，其他内角依次增加 10 ，求n的值 （ “希望杯”邀请赛试题） A B C D E F G 第 3 题 A B C
6、D 2 4 7 x 第 4 题 第 7 题 A B C D 11平面上有 A，B，C，D 四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在ABC，ABD，ACD， BDC 中至少有个三角形的内角不超过 45 （江苏省竞赛试题） 12我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的， 这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面问： （1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？ （2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方 案画成草图 （3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图 （安徽省中考试题） B 级级
7、 1一个正m边形恰好被正n边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m4，n8 的情况） ，若m 10，则n 2如图，六边形 ABCDEF 中，ABCDEF，且 ABBC11，FACD3， 则 BCDE （北京市竞赛试题） 3如图，延长凸五边形 A1A2A3A4A5的各边相交得到五个角：B1，B2，B3，B4，B5，它 们的和等于若延长凸n边形（n5）的各边相交，则得到的n个角的和等于 （第十二届“希望杯”邀请赛试题） 第 1 题 A B C D EF 第 2 题 1 A 1 B 2 A 2 B 3 B 4 B 5 B 3 A 4 A 5 A 第 3 题 4 如图， 在四边形 ABCD 中， AB4
8、2， BC1， CD3， B135 ， C90 ， 则D （ ） A60 B67.5 C75 D不能确定 （重庆市竞赛试题） 5如图，已知 O 是四边形 ABCD 内一点，OAOBOC，ABCADC70 ，则DAO DCO 的大小是（ ） A70 B110 C140 D150 6在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为 2002 ，则这个多边形的边数为（ ） A12 B12 或 13 C14 D14 或 15 （江苏省竞赛试题） 7一个凸十一边形由若干个边长为 1 的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边 形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图 （全国通讯赛试题） 8一
9、块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n76 块 这样的地砖才能覆盖该块地，已知n及地砖的边长都是整数，求n的值 （上海市竞赛试题） AB C D 第 4 题 O A B C D 第 5 题 9设有一个边长为 1 的正三角形，记作 A1如下左图，将 A1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外 作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作 A2（如下中图） ；将 A2的每条边三等分，并重复上述过 程，所得到的图形记作 A3（如下右图） ；再将 A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A4，求 A4的周长 （全国初中数学联赛试题） 10在日常生活中，观
10、察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图 案也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠 （在几何里叫作平面镶嵌） ，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的 内角加在一起恰好组成一个周角（360 ）时，就拼成了一个平面图形 （1）请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 3 4 5 6 n 正多边形每个内角的度数 60 90 （2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ （3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不 同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图） ；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图 形说明你的理由 （陕西省中考试题） 1 A2 A 3 A
