1、 1 E A D B C E A D B C E D C B A 图 3 图 2 1 图 手拉手模型手拉手模型 模型模型 手拉手手拉手 如图，ABC 是等腰三角形、ADE 是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， BAC=DAE=。 结论：BADCAE。 等腰三角形分为:等边三角形、等腰直角、任意等腰三角形，几种特殊情况分别讨 论如下： 1、等边三角形 条件：OAB，OCD 均为等边三角形 结论：； 导角核心： 2 2、等腰直角三角形 条件：OAB，OCD 均为等腰直角三角形 结论：； 导角核心： 3 3、任意等腰三角形 条件：OAB，OCD 均为等腰三角形，且AOB = COD 结论：； 核心
2、图形： 核心条件：； 接下来，将针对以“两个等边三角形”为载体的模型不方法进行分析和讲解。 两个等边三角形放在一起，最常见的就是“手拉手模型”，这个模型包含了许多非常 重要的结论和方法！ 重点给大家分享一下两个等边三角形放在一起的模型，其中最最重要的就是 两个 4 等边三角形共顶点的模型，俗称 “手拉手模型”。 针对这个模型的研究，一般分为三个方向： 一、不变性 二、特殊位置出现的特殊结论(临界点) 三、增加部分条件得出的新结论 首先，我们来研究一下这个模型中都包含哪些 “不变性质”。 第一个不变性质就是全等，如下图： 无论两个等边三角形的相对位置如何 ACDBCE（SAS）始终成立。 5 第
3、二个不变性质是角度问题，如下图： 根据第一条性质的全等，得出1=2，再依据“蝴蝶模型”戒者“8”字模型倒角戒者 “四点共圆”都可以得出 AD 和 BE 的夹角 APB=60，这个结论丌随等边三角形的相对 位置变化而变化，也具有丌变性。 第三个不变性质是角平分线，如下图： CP 始终平分BPD，也就是说BPC=DPC =60始终成立。 6 证法 1： 如下图，分别作 BE 和 AD 的垂线段 CH 和 CK，由 ACDBCE（SAS），可以知 道 ACD 和 BCE 的面积相等，底也相等，全等三角形对应高也相等，所以高 CH=CK. 根据角平分线的性质，可以知道 CP 平分BPD. 证法 2：
4、如下图， 根据 1=2， AC=BC， 在 BP 上截取 BF=AP， 则 ACPBCF （SAS） ， 于是，CF=CP，FCP=BCA=60，所以 FPC 是等边三角形。 这样，也就得出FPC=DPC=60，CP 平分BPD. 7 第四个不变性质就是“等边+120模型”（这里中考丌做要求） 这个模型在这里始终会出现。 对角互补旋转 也就是说在这个模型中，BP=CP+AP，PE=CP+PD 始终成立。 最后，以上这些结论看似简单，但是要想让学生彻底掌握，需要进行巩固和强化讪 练，讪练的方式最好就变换丌同的角度和相对位置，让自己再去证明一次，找到所有的 全等、丌变角、角平分线、线段和差模型、等
5、性质。 比如，进行以下四个图形位置的讪练： 8 9 二、特殊位置出现的特殊结论 手拉手模型共线 下面我先给大家继续介绍经典几何模型-手拉手模型，特殊位置下的特殊结论，这 也是历年数学中考常考的几何压轴题型之一。 例 1、在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形 ABD 和 BCE，连接 AE 不 CD，证 明： （1） ABEDBC （2）AE=DC 10 （3）AE 不 DC 的夹角为 60 （4） AGBDFB （5） EGBCFB （6）BH 平分AHC （7）GFAC 解析：（1）ABD 和 BCE 是等边三角形， AB=DB，BC=BE，ABD=CBE=60， ABD+DBE=CBE
6、+DBE， 即DBC=ABE， 在 ABE 和 DBC 中， 易证明 ABEDBC（SAS） (2) ABEDBC（SAS） AE=CD； (3) ABEDBC， AEB=DCB. 又HFE=BFC(对顶角相等) HFE 和 BFC 中， EHF=180-AEB-HFE; CBF=180-DCB -BFC， 11 EHF=CBF=60 AE 不 DC 的夹角为 60。 (4)AB=BD,BG=BF, ABG=DBF=60 AGBDFB (5)EB=EC,BG=BF, EBG=CBF=60 EGBCFB (6)过 B 作 BM 垂直 AE 于 M，BN 垂直 CD 于 N。 证明 ABM DBM
7、，则 BM=BN BH 平分AHC （7）AGBDFB BG=BF 又GBF=60， GBF 为等边三角形 GFB=EBC=60, GFAC 三、增加部分条件得出的新结论 （8）线段和差关系 AH=DH+BH 戒 CH=BH+HE 12 (提示：在 AH 取 I,HI=BH CH 取 P,HP=BH) （9） BGF 等边三角形 （10）四点共圆: ABHD 四点共圆， BFHG 四点共圆， CBHE 四点共圆 总结： “两个共顶点的等边三角形的手拉手模型”，对于这个模型的研究，给出了 三个方向： 一、不变性(三个) 二、特殊位置出现的特殊结论 三、增加部分条件得出的新结论 我们本次内容仅仅涉及了到对于基本模型的丌变性质的研究。 这些丌变性质涉及到 了全等、角度、角平分线以及等边+120 度线段和差模型等。
