1、 第四章第四章 线性方程组的理论线性方程组的理论 u线性方程组有解的条件u线性相关性的理论u线性方程组解的结构mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111),(bAB A为系数矩阵 为增广矩阵，则定理1 线性方程组有解的充分必要条件为R(A)=R(B),当R(A)=R(B)=n,有唯一解；当R(A)=R(B)=rn，有无穷多个解。一 线性方程组有解的条件)19(0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc 1222221111211rrrnrrnrnrddccdcccdccccBrn
2、rrnrnrcccccccccA2222111211001)()(11rrdrdrBRrAR当当由于初等变换不改变秩，所以001)()()()(11rrdrdrBRBRrARAR当当n定理定理2 2 元齐次线性方程组0m nAx.R An只有唯一零解的充要条件为.R An有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩0m nAx推论1 齐次线性方程组推论2()当 时，齐次线性方程组mn(2)当 时，齐次线性方程组mn0.A 0m nAx必有非零解；0m nAx有非零解的充分必要条件是对于齐次线性方程组 ，先把它的系数矩阵 化成行阶梯形若发现 ，则方程组只有零解；若 ，则继续将 化成行最简形，便可直接写出
3、它的通解 A0m nAx R An R ArnA小结：对于非齐次线性方程组 m nAxb先把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据定理2判断它是否有解；在有解时，再把增广矩阵化成行最简形，R AR Bn R AR Brn根据 或的情形分别写出它的唯一解或通解例例 1 设有线性方程组123123123212131321xxxxxxxxx（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解 问 为何值时，此线性方程组解解 因为方程的个数与未知量的个数相同，故可从系数矩阵的行列式入手讨论因为A 22133201100111 故由克拉默法则知，当 ，时,01 10,AB当 时，写出对
4、应方程组的增广矩阵 ，0B 002101310031方程组有唯一解并把它化成行阶梯形矩阵12rr 0131002100313232rr 0131002150002 2,R A 3,R B R AR B所以方程组无解 当 时，1 B 1121133111231121021000042131rrrr 2,R A 3,R B R AR B所以方程组无解 当 时，1B 1 1211 1311 1412131rrrr 112100100020312rr 110100100000所以方程组有无穷多个解 23R AR B取 为自由未知量，得原方程组的同解方程组为 2x1222310 xxxxx 122311
5、0100 xxxx 即令 为任意常数，则得方程组的通解为 2xk123110100 xxkx 1-22242432143214321xxxxxxxxxxxx例3 取何值方程无解定理3 矩阵方程AX=B,有解的充要条件是R(A)=R(A,B)2 n 维向量及其线性运算解析几何 ：原点为起点，点 为(,)P x y z,OPx y z(,)P x y z,OPrx y z 一一对应终点的有向线段所表示的向量为代数代数：把向量表示中的花括弧换成圆括弧表示成,rx y z或Txryxyzz定义1 称 矩阵 1n12naaaa为一个 维维列向量列向量n为一个 维维行向量行向量（即 矩阵）.n1 n分量T
6、12,naa aa称列向量的转置说明：若不加特别说明，所涉及的向量均为 维列向量，且为了书写方便，有时以行向量的转置表示列向量 n,a b 列向量用黑体小写字母 等表示行向量则用 等表示TTTT,abT00,0,0T12(,),naaa向量相等：若 维向量T12,na aa与n零向量：分量全为零的向量，记作0 0，即 负向量：的负向量是T12,naa aa称 与 相等，记作.a记作11,2,iab in即 时，T12,nb bb中各个对应的分量相等T12,na aa则向量1122,Tnnab abab叫作向量 与 的和，记作.向量的差：()定义2 设T1122,nnab ababT12,nb
7、bbn都是 维向量，数 与向量 的乘积，记作 或aa.a向量的线性运算的运算性质,设 为 维向量，为实数，则：n,;()();00;T12,naa aa定义3 设 ，为实数T12,naaa那么向量 叫做（1）（2）（3）()0;1;()();();().（4）（5）（6）（7）（8）第二天为T216,22,18,9aTT1215,20,17,816,22,18,9aa则两天各产品的产量和为 T31,42,35,17例例1 某工厂两天生产的产量（单位：吨）按产品顺序用向量表示T115,20,17,8a第一天为3 向量组的线性相关性1.向量组的线性组合向量组:若干个同维的列向量（或同维的行向量）所
8、组成的集合 称为矩阵 的列向量组向量组A它的 个 维行向量组成的向量组mn12,TTTnm nijAa对于一个 矩阵nm12,na aa它的 个 维列向量组成的向量组A称为矩阵 的行向量组向量组；Axb,BA b1 122nnx ax ax ab1122,nnxxx一一对应方程组也可写成向量形式：由线性方程组的向量形式可知线性方程组是否有解就相当于是否存在一组数1 122nnaaab成立 使关系式定义1 对于给定的一组 个 维向量组成mn称为向量组 的一个线性组合线性组合A12,mc cc12,maaa:A的向量组12,mc cc对任何一组实数1 122mmc ac ac a向量称为这个线性组
9、合的系数给定向量组 ：和向量 ，A12,ma aab如果存在一组数 ，12,m 使得1 122mmbaaa或称向量向量 可以由向量组可以由向量组 线性表示线性表示bAbA则称向量 是是向量组 的线性组合线性组合由定义1，向量 能由向量组 线性表示，bA有解.1 122nnx ax ax ab也就是线性方程组定理1 向量 能由向量组 线性表示的bAT13,1,1,1,T21,1,1,3,T31,3,1,78,2,5,9T例例1 1 证明向量 能由向量组 线性表示，且写出它的一种表示方式 充分必要条件是12,nAa aa矩阵 的秩等于矩阵12,nBa aa b的秩B123,311811321115
10、137921rr 1132311811151379证证113204814024702472131413rrrrrr 2434242rrrrrr 11320247000000003101270122000000001221212rrr()()2R AR B故向量 能由向量组 线性表示123,132332722xxxx TT12337,0.22x x x123370.22 30 x 取 ，得一解 故又,以B为增广矩阵的非齐次线性方程组的同解方程组为：1 1220(1)nnx ax ax a 是系数矩阵 的 个 维列向量 12,na aamAn2.向量组的线性相关与线性无关 0m nAx将齐次线性方
11、程组 写成向量形式 若方程组只有零解，若方程组有非零解，10nxx即仅当 时，(1)式成立即存在一组不全为零的数12,nk kk1 1220.nnk ak ak a使定义定义2 设有 维向量组 n:A12,ma aa因此我们给出如下定义：则称向量组 线性相关线性相关；A12,mk kk如果存在一组不全为零的数1 1220,mmk ak ak a使120mkkk当且仅当 时，称向量组 线性无关线性无关 A例例2 对 维单位坐标向量组nT20,1,0,0,e T11,0,0,0,e,讨论它的线性相关性 T0,0,0,1ne 1 12 20(1)nnk ek ek e解解 设 TT12,0,0,0n
12、k kk即120.nkkk于是必有 即只有当 全为零时，(1)式才成立12,nk kk12,ne ee所以向量组 线性无关v当 时，即向量组只含有一个向量1m.a对只含有一个向量 的向量组，由定义2可知a12,a av对含有两个向量 的向量组，由定义2知 0a 它线性相关的充分要条件是它线性相关的充分必要条件是即 中至少有一个可由另一个向量线性表示12,a a也就是 对应的分量成比例12,a a12aa21aa或者例6，向量组 线性无关，证明 线性无关321,133322211321,定理2 向量组 ()线性相关12,ma aa2m可由其余 个向量线性表示 1m的充要条件是其中至少有一个向量推
13、论 含有零向量的向量组必然线性相关 定理3 设向量组 ：构成矩阵A12,ma aa12,mAa aa则向量组 线性相关的充要条件是AAm矩阵 的秩小于向量个数 R Am即.R Am向量组线性无关的充要条件是 利用线性方程组的解的条件证明推论1 当向量的个数等于向量的维数时，向量组线性相关的充要条件是而向量组线性无关的充要条件是该向量组构成的矩阵 的行列式 A0A 0.A 推论2 个 维列向量组成的向量组，mn当 时一定线性相关 nm例7，P114定理4而向量组 ：线性相关，B12,ma aabA12,ma aa（1）设向量组 ：线性无关，bA则向量 必能由向量组 线性表示，且表示法是唯一的则向
14、量组121,rrna aaaanr反之，若 线性无关，12,na aa则 也线性无关12,ra aa12,ra aa（2）若向量组 线性相关，必线性相关；同时去掉其第 个分量（）得到的i1in 个 维向量也线性相关；m1nmn12,ma aa（3）若 个 维向量 线性相关，反之，若 个 维向量线性无关，m1ni同时增加其第 个分量得到的mn个 维向量也线性无关例例8 判别下列向量组的线性相关性TT121,0,0,1,0,1,0,3,T30,0,1,4TT121,2,3,5,4,1,0,2,T35,10,15,25TT121,0,0,0,1,0,TT340,0,1,1,1,2.（1）（2）（3）
15、解解123,（2）因为315故 线性相关，13,123,（3）4个3维向量一定线性相关，故1234,线性无关 T11,0,0,eT20,1,0,eT30,0,1e（1）因为线性无关，由定理4的(3)知从而由定理4 的(2)可知线性相关.线性相关四 向量组的秩1.向量组的等价 定义1 设有向量组 12:,;mA a aa12:,sB b bb性表示如果向量组 和向量组 能互相线性表示,BA则称这两个向量组等价 AB若向量组 中的每一个向量都能由向量组则称向量组 能由向量组 线AB线性表示，设向量组 能由向量组 线性表示，BA1212,;,msAa aaBb bb记则（1）式可写成 1212,(1
16、,2,)jjjmmjkkba aajsk1,2,;1,2,ijkim js即存在着数1122(1)jjjmjmbk ak ak a使从而12,sBb bb11121212221212,ssmmmmskkkkkka aakkkAK其中 称为ijm sKkBA向量组 由向量组 线性表示的系数矩阵矩阵方程 有解BAXA命题2 若矩阵 经过初等行（列）变换变成,A B命题1 若 为有限个列向量组成的向量组，AB则组 能由组 线性表示的充分必要条件是,ija b,A B其中，矩阵 由 来确定 B矩阵 ，BA则矩阵 的行（列）向量组与矩阵的行（列）向量组等价,.R AR A B12,ma aa:A12,s
17、b bb:B ,R AR BR A B定理1 设向量组:B12,sb bb均为列向量组成的向量组,BA则向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件为等价的充分必要条件是推论推论 向量组:A12,ma aa和向量12,ra aa中能选出 个向量 满足r2.向量组的秩A定义2 若向量组 (有限个或无限多个向量)12,ra aa0A向量组 ：线性无关；则称 ：为 的一个最大线性0AA12,ra aa（1）（2）A中的任意向量均可由向量组0:Ara12,a a 线性表示；无关向量组（简称最大无关组）122313,;,;,a aa aa a123.aaa 213;aaa 312;aaa1231,0,0,
18、1,1,1TTTaaa例如，向量组 12,a a线性无关，13,a a线性无关，故都是123,a a a的最大无关组.显然，这些最大无关组所含向量的个数相同 线性无关，23,a a向量组 线性表示，则Ars12,.rb bb:B12,;sa aa:A定理2 设有向量组若向量组 B 线性无关，且向量组 能由B即 若向量组 可由向量组 线性表示，ABBrs且 ，则向量组 线性相关推论1 两个线性无关的向量组若是等价的，推论2 两个等价的向量组的最大无关组则它们必含有相同个数的向量含有相同个数的向量 推论3 一个向量组的任意两个最大无关组所含向量个数相等是 的一个最大无关组，的秩为 nnRnR则 维
19、单位坐标向量12,ne een定义3 向量组的最大无关组所含向量的个数称 为该向量组的秩向量组的秩 例例1 1 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为零 nRn例例2 维向量的全体组成的集合记作12,ra aa则向量组 的秩不大于向量组 的秩 ABAB定理2 若向量组 能由向量组 线性表示，（1）向量组 ：线性无关；0A12,ra aa一个最大无关组，称数 为向量组 的秩 ArA1r（2）向量组 中的任意 个向量均线性相关，12,ra aa0AA 则称向量组 ：是向量组 的A定义定义4 4 如果向量组 中能选出r r个向量满足：3.矩阵的秩与向量组的秩的关系 即矩阵 的秩等于它的行向量
20、组的秩A R AAA的行秩 的列秩定理3 设矩阵 ，则 ijm nAa由该定理可知，用初等变换可以求由有限个向量组成的向量组的秩 也等于它的列向量组的秩。TT4512,1,1,1,2,3,0,3aa TTT1231,4,2,1,2,1,5,1,1,2,4,1aaa A例例3 设有向量组 ：AA（1）求向量组 的秩并判定 的线性相关性；A（3）将 中的其余向量用所求出的最大无关组A（2）求向量组 的一个最大无关组；线性表示121224121325410111113A 用初等行变换将矩阵 化为行阶梯形A解解（1）以 为列向量作矩阵 ，A12345,a a a a a21314142rrrrrr 1
21、21220969509634503233423213rrrr 121220969500061000001B135,R B()R AA于是的列秩故，向量组 的秩为3，且向量组 线性相关.AA122099006000124,a a a故 为向量组 的一个最大无关组124,a a aA行变换1B（2）由于行阶梯形 的三个非零行的非零首元在1，2，4三列，这是因为18100392501139100016000001223291916rrrr 1B124(,)3,R a a a所以124,a a a故 线性无关.1B（3）对 继续作初等行变换，化成行最简形 B1810039270103181000160
22、000023rr 构成 的列向量组的最大线性无关组B124,b b b为 的列向量组，由 可知BB12345,b b b b b记124,b b bB且显然 的其余向量可由 线性表出31212,33aaa5124871.9186aaaa5124871,9186bbbb31212,33bbb即而对矩阵的初等行变换并不改变矩阵的列向量组之间的线性关系，因此，对应地有()()()().R AR PAR AQR PAQ()min(),().R CR A R B()().R ABR AR B）性质性质1 性质性质2 2设 是 矩阵，分别是 阶，m nAm,P Q性质性质3 3n阶可逆矩阵，则,CAB则设
23、则 也是 的解0Ax 12x五 线性方程组解的结构1.齐次线性方程组解的结构 0m nAx对于齐次线性方程组0Ax 12,xx性质1 若向量 是 的解，则 也是 的解0Ax 1xk1xk0Ax 性质2 若向量 为 的解，为实数，先讨论解的性质 则称 是方程组 的基础解系0Ax 12,k 0Ax 定义1 设齐次线性方程组 有非零解，如果它的 个解向量 满足：k12,k 12,k（1）线性无关；0Ax（2）的任一个解 都可由且当 为任意常数时，12,kc cc0Ax 1 122kkccc称为 的通解.12,k 线性表示，1 122.kkccc即矩阵 的秩 （未知量的个数），()R ArnA显然，方
24、程组 的基础解系就是它的解的全体组成的向量组 的最大无关组 S0Ax 0Ax n定理1 若 元齐次线性方程组 的系数0Ax nr则 的基础解系存在且恰含有 个线性无关的解向量此时方程组的基础解系由 个解向量nr2)当 时,上述方程组有无穷多解 R Arn0Ax n对 元齐次线性方程组 有：1 122n rn rxkkk12,n rk kk其中 为任意常数.()R An1)当 时，上述方程组只有零解，无基础解系；其通解可以表示成12,n r 组成，例例1 1 求齐次线性方程组 123412341234030230 xxxxxxxxxxxx的一个基础解系，并给出通解 解解 对系数矩阵施行初等行变换
25、，化为行最简形矩阵，有 111111131123A1111002400122131rrrr 23212rrr 11110012000012rr 110100120000便得同解方程组124342xxxxx2410 xx24,x x其中为任意常数.令及01 12 131,0 xx 121110,0201 则对应地有及从而得基础解系 112411 xx121 12211100201cccc 故原方程的通解为 另外，由同解方程组，如果取 及其中 是任意常数.12,c c122011,2211 02 132,2xx 则得 及即可得不同的基础解系 121 122123420112211xxccccxx
26、从而得通解 其中 是任意常数.12,c c12,12,显然，向量组 与向量组 等价，两个通解形式虽不一样,但都含有两个任意常数,都表示了方程组的任一解例2 设A,B分（别为矩阵，且AB=0，证明：nR(B)+R(A)0Ax Axb2.非齐次线性方程组解的结构 n对于 元非齐次线性方程组 其解具有如下性质：2x1x性质3 设 及 都是（*）的解，的解.12x则 为对应的齐次线性方程组*1 122n rn rxkkk则 仍是方程组（*）的解 x性质4 设 是方程组（*）的解，x*定理2 设 是非齐次线性方程组(*)的一个解，12,n rk kk其中 为任意实数.x是对应齐次方程组的解，12,n r 是对应的齐次线性方程组的基础解系，则（*）的通解为例3 解方程组12118105543422322432143214321xxxxxxxxxxxx1231122,.2314 T1234,bb b b bijAa例例4 设 为4阶方阵，1233,R A 已知是非齐次线性方程组的三个解，且Axb求 的通解.AxbT12321,2,4,7 20bbb0Ax 34,R A 解解 因为 所以 的基础解1,2,3,iAbi由于12312322AAAA故因此系中含有一个解向量3xccR0Ax 是 的解，也构成它的基础解系.AxbAxb3又 是 的一个解，故 的通解为
