1、 2020-2021 学年第一学期开学考试 高二数学试题 测试范围:数学必修二(第二,三,四章) 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 下列选项中能得到平面/平面的是( ) A. 存在一条直线 a，/，/ B. 存在一条直线 a， ，/ C. 存在两条平行直线 a，b， ， ，/，/ D. 存在两条异面直线 a，b， ， ，/，/ 2. 若两个平面互相垂直，第一个平面内的一条直线 a垂直于第二个平面内的一条直线 b，那么( ) A. 直线 a垂直于第二个平面 B. 直线 b 垂直于第一个平面 C. 直线 a 不一定垂直于第二个平面 D. a 必定垂直于过 b的平面 3.
2、以(1,3)，(5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( ) A. 3 8 = 0 B. 3 + + 4 = 0 C. 3 + 6 = 0 D. 3 + + 2 = 0 4. 已知直线 + 2 = 0和以(3,2)，(2,5)为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围为( ) A. 3 2 B. 3 2 C. 4 3 3 2 D. 4 3或 3 2 5. 两平行直线5 + 12 + 3 = 0与10 + 24 + 5 = 0间的距离是( ) A. 2 13 B. 1 13 C. 1 26 D. 5 26 6. 直线5 + 12 8 = 0与圆( 1)2 + ( + 3)2= 8的位置关系是(
3、) A. 相交且直线经过圆心 B. 相交但直线不经过圆心 C. 相切 D. 相离 7. 若直线(1 + ) + + 1 = 0与圆2 + 2 2 = 0相切，则实数 a 的值为( ) A. 1 或 7 B. 2 或2 C. 1 D. 1 8. 已知圆:2+ 2 4 = 0， 则:( 1)2 + ( 1)2= 1， 则圆 M 与圆 N的公切线条数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在正方体 1111中，点 E，F，G 分别是棱 11，11，1的中点，给出下 列四个推断： /平面11; /平面11; /平面11; 平面/平面11; 平面/平面11B. 其中推断正确的序号是
4、 ( ) A. B. C. D. 10. 的三个顶点为(0,4),(2,6),(8,2)，则不是三角形各边上中线所在直线方程的是( ) A. = 1 3 + 14 3 B. = 1 2 + 5 C. = 1 2 + 7 D. = 4 11. 过两点(2,2)，(4,2)，且圆心在直线 = 0上的圆的标准方程式( ) A. ( 3)2+ ( 3)2= 2 B. ( + 3)2+ ( + 3)2= 2 C. ( 3)2+ ( 3)2= 2 D. ( + 3)2+ ( + 3)2= 2 12. 在长方体 1111中，1= = 2.若 E，F 分别为线段11，1的中点，则直 线 EF与平面11所成角的
5、正弦值为( ) A. 6 3 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 过点(4,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l的方程为_ 14. 过点(3,1)的直线 l 与圆2+ 2= 4相切，则直线 l在 y 轴上的截距为_ 15. 若圆1：( 1)2+ ( + 3)2= 1与圆2：( )2+ 2= 1没有公共点，则实数 m的取值范 围是_ 16. 如图， 在正方体 1111中， E是棱11的中点， F是棱11的 中点，则异面直线1与 EF所成的角为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. （10 分）在平面内，已
6、知点(1,1)，圆 C：( 3)2+ ( 5)2= 4，点 P 是圆 C 上的一个动点， 记线段 PA的中点为 Q求点 Q 的轨迹方程。 18. （12 分）已知两直线1： + 3 + 4 = 0和2： + ( 2) + 2 5 = 0 (1)若1 2，求实数 a的值； (2)若1/ 2，求实数 a的值 19. （12 分）已知点(4,1)，(6,3)，(3,0) (1)求中 BC 边上的高所在直线的方程； (2)求过 A，B，C三点的圆的方程 20. （12 分）直线 l： + 3 = 0被圆 C：( )2+ ( 2)2= 4( 0)截得的弦长为22， (1) 求 a的值； (2) 求过点(
7、3,5)并与圆 C相切的切线方程 21. （12 分）如图，AB为圆 O的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，点 C为圆 O上异于,的点 ()求证： 平面 PAC； ()若 = 2, = 3, = ，点 M 为 PC 的中点，求三棱锥 的体积. 22. （12 分）已知多面体 中，正方形 直角梯形 ABCD， / ， = 45， = 5， = 1，P为 FD的中点 ()证明： /平面 BCF； ()求直线 CD 与平面 BCF所成角的正弦值 2020 高二数学开学测试高二数学开学测试-答案答案 1.D 2.C 3.B 4.C 5.C 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.C
8、 13. = + 1或 = 3 4 【解答】 解：依题意设 l的方程为 + 3 = ( 4) 令 = 0，得 = 4 3；令 = 0，得 = 4+3 因此4 3 = 4+3 .解得 = 1或 = 3 4 故所求方程为 = + 1或 = 3 4 14.【答案】4 【解析】解：根据题意，圆2+ 2= 4，对于点(3,1)，有(3)2+ 12= 4， 即点(3,1)在圆2+ 2= 4上， 则切线 l的方程为3 + = 4，变形可得 = 3 + 4，直线 l在 y 轴上的截距为 4； 故答案为：4 15.【答案】 2 【解析】解：圆1：( 1)2+ ( + 3)2= 1，圆心1 (1,3)，半径为 1
9、， 圆2：( )2+ 2= 1圆心2(,0)，半径为 1， 若两个圆有共点则1 1 ( 1)2+ (3)2 1 + 1， 得0 2， 若两个圆没有公共点则实数 a的取值范围为 2， 故答案为： 2 16.【答案】60 【解析】解：如图，连接11， 是棱11的中点，F 是棱11的中点， /11， 在正方体 1111中，由1/1，1= 1， 可得四边形11为平行四边形，得到11/，则/， 1为异面直线1与 EF 所成的角 连接1，可得 1为等边三角形，得到1为60 即异面直线1与 EF 所成的角为60 故答案为：60 17.【答案】解：(1)设(,)，点 P的坐标为(0,0)， 点(1,1)，且
10、Q 是线段 PA 的中点， 0= 2 1，0= 2 1， 在圆 C：( 3)2+ ( 5)2= 4上运动， (2 4)2+ (2 6)2= 4，即( 2)2+ ( 3)2= 1； 点 Q 的轨迹方程为( 2)2+ ( 3)2= 1； 18.【答案】解：(1)若，则 1 + 3 ( 2) = 0， 解得 = 3 2，故所求实数 a 的值为 3 2； (2)若1/2，得( 2) 3 1 = 0，即2 2 3 = 0， 解得 = 1或 = 3， 当 = 1时，1的方程为 + 3 + 4 = 0，2的方程为 3 4 = 0， 显然两直两直线重合，不符合题意； 当 = 3时，1的方程为3 + 3 4 =
11、 0，2的方程为 + + 4 = 0， 显然两直线平行，符合题意 综上，当1/2时， = 3 19.【答案】解：(1) (6,3)，(3,0)， = 30 63 = 1 3， 边上的高与 BC垂直， 设 BC边上的高的斜率为 k， = 1， = 1 = 3， 则 BC边上的高所在直线的斜率为 3， 又(4,1)， 边上的高所在直线的方程为 1 = 3( 4)， 即3 11 = 0； (2)设过 A，B，C三点的圆的方程为2+ 2+ + + = 0， 则 16 + 1 + 4 + + = 0 36 + 9 6 + 3 + = 0 9 + 3 + = 0 ，解得 = 1 = 9 = 12 , 所求
12、圆的方程为2+ 2+ 9 12 = 0 20.【答案】解：(1)依题意可得圆心(,2)，半径 = 2， 则圆心到直线 l： + 3 = 0的距离 = |2+3| 12+(1)2 = |+1| 2 ， 由勾股定理可知2+ (22 2 )2= 2， 代入化简得| + 1| = 2， 解得 = 1或 = 3， 又 0， 所以 = 1； (2)由(1)知圆 C：( 1)2+ ( 2)2= 4， 圆心(1,2)，半径 = 2，易得点(3,5)在圆外 设直线 m 过点(3,5)并且与圆 C相切 当直线 m 的斜率存在时，设方程为 5 = ( 3)，即 3 + 5 = 0 由圆心到切线的距离 = = |22
13、+5| 2+1 = 2，解得 = 5 12，切线方程为5 12 + 45 = 0; 当直线 m 的斜率不存在时，直线方程为 = 3，显然与圆 C相切， 综合可知所求切线方程为5 12 + 45 = 0或 = 3 21.【答案】(1)证明：如图， 为圆 O上的一点，AB为圆 O 的直径， ， 又 PA垂直圆 O 所在的平面， ， 又因为 = ， 平面 PAC， 平面 PAC， 则 平面 PAC； (2)解： = 2， = 3， 在 中，可得 = 1, = 3， 又 = = 2，点 M为 PC的中点，取 AC中点 N，连结 MN， 为 PC中点， = 1 2 = 1，且/， 平面 ABC， 平面
14、ABC，即 MN为三棱锥 的高， 点 M到平面 ABC 的距离等于点 P到平面 ABC 的距离的1 2， = = 1 3 1 1 2 1 2 1 3 = 3 12 22.【答案】 ()因为正方形 直角梯形 ABCD， ， 正方形 直角梯形 = ， 所以 平面 ABCD，所以 ， 故 = 2 2 = 2 又 = 45，解三角形可得 = 1 取 FC的中点 Q，连接 PQ，BQ，则 / ， = 1 2 又因为 / ， = 1 2， 所以 / ， = ，所以 ABQP 为平行四边形， 所以 / 因为 平面 BCF， 平面 BCF， 所以 /平面 BCF ()直线 CD与平面 BCF所成角的正弦值为 6 6
