1、2.2 基本不等式基本不等式 第二章 一元二次函数、方程、不等式 新课引入 弦弦 图图 赵爽，又名婴，字君卿。中国古代数学家、 天文学家，他的主要贡献是约在222年深入 研究了周髀算经，为该书写了序言，并 作了详细注释。其中一段530余字的勾股圆勾股圆 方图方图注文是数学史上极有价值的文献。它记 述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述 为:勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之， 即弦。即弦。证明方法叙述为:按弦图，又可以勾按弦图，又可以勾 股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之 差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。差自相乘
2、为中黄实，加差实，亦成弦实。 弦弦 图图 a,bR,有有a2+b22ab, 当且仅当当且仅当a=b时时,等号成立等号成立. . 新课引入 你能给出不等式你能给出不等式a2+b22ab代数证明吗？代数证明吗？ abba2 22 0)( 2 ba 0)( 2 ba 2 ()0ab所以 22 2.abab所以 时当ba 时当ba 证明：（作差法）证明：（作差法） 2 )(ba 新课引入 0,0, ,ababa b如果我们用分别代替 可得到什么结论？ 22 ()()2abab 替换后得到：替换后得到： 2 ab ab 即：即： 2abab 即：即： 新课引入 当且仅当a=b时,等号成立. 新知初探 几
3、何平均数 算术平均数 怎么利用不等式的性质推导出基本不等式呢？ 文字叙述为：文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 代数证明：分析法代数证明：分析法 基本不等式 ab ba ba 2 , 0, 0如果 ,当且仅当当且仅当a=b时等号成立时等号成立. 新知初探 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ? D A B C E a b O 如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连
4、接AD、BD、OD. 如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_ 如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_ 2 ba ab RtACDRtDCB， DC AC BC DC DC 2=AC BC=ab OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD 几何意义：半径长大于等于半弦长几何意义：半径长大于等于半弦长 例题讲解 例1 已知x0,求 的最小值. x x 1 变式1 已知x1,求 的最小值. 1- 1 x x 利用基本不等式解决最值问题利用基本不等式解决最值问题 变式2 已知x2,求 的最小值. 4-2 54 2 x xx 例题讲解 利用基本不等式解决最值问题利用基本不等式解决
5、最值问题 1. 已知x,y均为正数,且 ，则x+y的最小值为_. 1 91 yx 2. 已知x,y均为正数,且 ，则x+y的最小值为_. 2 11 1 1 yx 方法总结 利用基本不等式解决最值问题利用基本不等式解决最值问题 1.牢记三个关键词：牢记三个关键词：一正、二定、三相等一正、二定、三相等； 一正：一正：各项必须为正；各项必须为正； 二定：二定：各项之和或各项之积为定值；各项之和或各项之积为定值； 三相等：三相等：必须验证取等号成立的条件是否具备；必须验证取等号成立的条件是否具备； 2.应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最 值，探求的过程
6、中常需依具体的问题进行合理值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理拆、拆、 凑、配凑、配等变换，配凑原则是等变换，配凑原则是“和和”或或“积积”为定值为定值. 例题讲解 利用基本不等式解决最值问题利用基本不等式解决最值问题 例例2 已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数. (1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取“取“=”号号) ). (2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取“取“=”号号) ). 1 4 积为定值，和有最小值； 和为定值，积有最大值. abba2 2 22 ba ab ba ab 小结：小结： 已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数. (1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取“取“=”号号) ). (2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取“取“=”号号) ). 1 4 1. 两个重要的不等式两个重要的不等式 课堂小结 时等号成立当且仅当那么baabbaRba,2,) 1 ( 22 时等号成立当且仅当那么baabbaba,2, 0, 0)2( 2 22 2 21 ba ab ba ab abba ：变形式 ：变形式 一正、一正、 二定、二定、 三相等三相等
