1、 5.3 诱导公式（第一课时）诱导公式（第一课时） 教学设计教学设计 教学目标教学目标 1 借助单位圆的对称性， 利用定义推导出诱导公式 （， 的正弦、 余弦、 正切） ； 通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的 经验，发展直观想象素养 2初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点：教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、 化简与恒等式的证明 教学难点：教学难点：诱导公式的有效识记和应用 课前准备课前准备 PPT 课件 教学过程教学过程 （一）新知探究（一）新知探究 引导
2、语：引导语：我们知道，圆最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要 性质由此想到，可以根据三角函数定义，利用圆的对称性，研究三角函数的对称性 问题问题 1：如图 1，在直角坐标系内，设任意角 的终边与单位圆交于点 P1，作 P1关于 原点的对称点 P2 （1）以 OP2为终边的角 与角 有什么关系？ （2）角 ， 的三角函数值之间有什么关系？ 预设的师生活动预设的师生活动： 先由学生独立完成问题 1， 然后展示， 师生帮助一起完善和调理思路 预设的答案预设的答案：如图 2，以 OP2为终边的角 都是与角 终边相同的角，即 =2k( )（kZ） 因此，只要探究角 与 的三角函数值之
3、间的关系即可 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 因为 P2是点 P1关于原点的对称点，所以 x2x1，y2y1 根据三角函数的定义，得 sin y1，cos x1，tan y1 x1（x10） ； sin()y2，cos()x2，tan()y2 x2（x20） 从而得： 公式二公式二 设计意图：设计意图： 初步感受如何将圆的一个特殊的对称性： 在坐标系中关于原点对称， 代数化， 并得到诱导公式二并以此问题作为研究方法的示范，为进一步提出、分析、解决问题做好 奠基工作 追问追问 1：应用公式二时，对角 有什么要求？ 预设答案：预设答案：只要在定义域内的角 都成立 sin（）sin ，
4、cos（）cos ， tan（）tan 6 4 2 2 4 6 105510 x y O +a a P2 P1 图 2 图 1 追问追问 2：探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？ 预设答案：预设答案：第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系从形的角度研究 第二步，建立坐标之间的关系将形的关系代数化，并从不同的角度进行表示，体现了 数形结合的思想方法 第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二体现了联系性 追问追问 3：角 还可以看作是角 的终边经过怎样的变换得到的？ 预设答案：预设答案：按逆时针方向旋转角得到的 设计意图：设计意图：追问 1 旨在帮助学
5、生理解角 的任意性，追问 2 旨在提炼方法，追问 3 则 渗透圆的旋转对称性，为后面几个公式的探索在方法上做好铺垫 问题问题 2：借助于平面直角坐标系，类比问题 1，你能说出单位圆上点 P1的哪些特殊对称 点？并按照如上问题 1 总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式 预设的师生活动预设的师生活动 1： 先由学生独立思考， 尽量多地写出点 P1的对称点，然后展示交流， 之后再将之代数化， 最后得到相应的诱导公式 学生的回答可能会超越教科书中的研究内容， 如果是学生自己想到的，可以顺其自然保留，但是不作进一步的要求如果学生没有想到， 教师不需要增加学生首先想到的应该是点 P1关于坐标轴的对称点
6、；之后关于特殊直线的 对称点，比如 y=x；教师启发之后会想到经过两次对称得到的对称点 预设答案预设答案： 单位圆上点 P1的特殊对称点：第一类，点 P1关于 x 轴、y 轴的对称点；第二类，点 P1 关于特殊直线的对称点，如 yx，yx；第三类，点 P1关于 x 轴的对称点，再关于特殊 直线的对称点或者是点 P1关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点等等 预设的师生活动预设的师生活动 2：针对如上结论，从第一类到第三类依次解决第一课时可以先解决 第一类 预设答案预设答案： 1如图 3，作 P1关于 x 轴的对称点 P3： 以 OP3为终边的角 都是与角 终边相同的角，即 =2k()（kZ
7、） 因此，只 要探究角 与 的三角函数值之间的关系即可 设 P3(x3，y3)因为 P3是点 P1关于 x 轴的对称点， 所以 x3x1，y3y1 根据三角函数的定义，得 sin y1，cos x1，tan y1 x1（x10） ； sin()y3，cos()x3，tan()y3 x3（x30） 从而得： 公式三公式三 2如图 4，作 P1关于 y 轴的对称点 P4： 以 OP4为终边的角 都是与角 终边相同的角，即 =2k()（kZ） 因此， 只要探究角 与 的三角函数值之间的关系即可 设 P4(x4，y4)因为 P4是点 P1关于 x 轴的对称点， 所以 x4x1，y4y1 根据三角函数的
8、定义，得 sin y1，cos x1，tan y1 x1（x10） ； sin()y4，cos()x4，tan()y4 x4（x40） sin（）sin ， cos（）cos ， tan（）tan 图 3 图 4 从而得： 公式四公式四 追问追问 4：公式三和公式四中的角 有什么限制条件？ 预设答案：预设答案：三角函数定义域内的角 设计意图设计意图：类比问题 1，进一步探索发现这是一个开放式的问题设计，给了学生自主 的时空，鼓励他们多角度观察思考，提出问题，并类比问题 1 进行分析，解决问题强化将 单位圆的对称性代数化这种研究思路 例例 1 利用公式求下列三角函数值： （1）cos 225 ；
9、 （2）sin 3 8 ； （3）sin 3 16 ； （4）tan（2 040 ） 追问追问 5：题目中的角与哪个特殊角接近？拆分之后应该选择哪个诱导公式？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生独立完成之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求 解过程 预设答案：预设答案： （1）cos 225 cos(180 45 )cos 45 2 2 ； （2）sin 3 8 sin 3 2 2sin 3 2 sin 3 sin 3 2 3 ； （3）sin 3 16 sin 3 16 sin 3 5 3 sin 2 3 ； （4）tan(2 040 )tan 2 040 tan(6 360 1
10、20 ) sin（）sin ， cos（）cos ， tan（）tan tan 120 tan(180 60 )tan 60 3 设计意图：设计意图：引导学生有序地思考问题，有理地解决问题 问题问题 3：由例 1，你对公式一四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任 意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？ 预设的师生活动预设的师生活动：学生独立思考总结，之后展示交流 预设答案：预设答案：利用公式一公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般 可按下面步骤进行： 设计意图设计意图：引导学生梳理求解过程，提炼解题经验，明确从负角转化为锐角的程序，提 高自觉地、理性地选择运算公式
11、的能力，提升数学运算素养 例例 2 化简： cos(180 )sin(360 ) tan(-180 )cos(-180 ) 追问追问 6：本题与例 1 的异同是什么？由例 1 总结出的求解程序在此如何应用？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生独立完成，之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范 求解过程 预设预设答案：答案：tan(180 )tan(180 )tan(180 )tan， cos(180 )cos(180 )cos(180 )cos ， 所以，原式 -cos sin (-tan )(-cos )cos 设计意图：设计意图：巩固习题的知识和方法，提高学生分析能力和转化能力 （
12、二）梳理小结（二）梳理小结 问题问题 4：诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学到了哪些基本知识，获得了 怎样的研究问题的经验？ 预设的师生活动预设的师生活动：学生自主总结，展示交流 预设答案：预设答案： （1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质 （2）学到了三组诱导公式研究方法是数形结合，注重联系 设计意图设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，为进一步的研究铺路奠基 （三）布置作业（三）布置作业 1教科书 P191 练习； 2教科书习题 5.3 第 1，2，3 题 （四）目标检测设计（四）目标检测设计 计算： （1）cos(420 )； （2）sin 6 7 ； （3）tan(1 140 )； （4）cos 6 77 ； （5）tan 315； （6）sin 4 11 预设答案预设答案： （1） 2 1 ； （2） 2 1 ； （3）3； （4） 2 3 ； （5）1； （6） 2 2 设计意图：检测学生对基本知识和基本及基本技能的掌握情况
