1、 5.3 诱导公式（第二课时）诱导公式（第二课时） 教学设计教学设计 教学目标教学目标 1借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（ 2 的正弦、余弦、正切） ；通 过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经 验，发展直观想象素养 2初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点：教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、 化简与恒等式的证明 教学难点：教学难点：诱导公式的有效识记和应用 课前准备课前准备 PPT 课件 资源引用： 【知识点解析】诱导公式五和六的认识 【知识点解析
2、】5.3 诱导公式知识导图 教学过程教学过程 （一）新知探究（一）新知探究 引导语：引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这 些都是三角函数的对称性本节课沿着上一节课的思路继续进行 问题问题 1：通过圆关于原点、x 轴、y 轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能 找到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？ 试一试 图 2 图 1 预设的师生活动预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内 容进行展示其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以 由学生课下交流 预设答案：预设答案： （1）提出问题：如图 1，点 P1
3、关于直线 yx 的对称点 P5， 以 OP5为终边的角 与角 有什么关系？角 与角 的 三角函数值之间有什么关系？ 解：如图 1，以 OP5为终边的角 都是与角 2 终边相同的角，即 =2k( 2 ) （kZ） 因此，只要探求角 2 与 的三角函数值之间的关系即可 设 P5（x5，y5） ，由于 P5是点 P1关于直线 yx 的对称点，可以证明：x5y1，y5x1 根据三角函数的定义，得 sin（ 2 ）y5，cos（ 2 ）x5 从而得 公式五公式五 （2）提出问题：如图 2，点 P1关于直线 yx 的对称点 P5，再作 P5关于 y 轴的对称点 P6， 又能得到什么结论？以OP6为终边的角
4、与角有什么关系？ 角 与角 的三角函数值之间有什么关系？ 解：接上一题如图 2，以 OP6为终边的角 都是与角 2 终边相同的角，即 =2k( 2 )（kZ） 因此，只要探求 角 2 与 的三角函数值之间的关系即可 sin（ 2 ）cos ， cos（ 2 ）sin 图 3 图 4 设 P6（x6，y6） ，由于 P6是点 P5关于 y 轴的对称点，因此有：x6x5，y6y5 根据三角函数的定义，得 sin（ 2 ）y6，cos（ 2 ）x6 从而得 公式六公式六 （3） 提出问题： 如图 3， 点 P1关于 x 轴的对称点是 P7， 再作 P7关于直线 yx 的对称点 P6，又能得到什么结论
5、？以 OP6为终边的角 与角 有什么关系？角 与角 的三角函 数值之间有什么关系？ 解：略 追问追问： 除了上面的两次对称关系， 角 2 的终边与角 的终边还具有怎样的对称性？ 据此你将如何证明公式六？ 预设的师生活动预设的师生活动：如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动，如果学生没有想到， 则由教师提出这个追问，促进学生思考 预设答案预设答案：角 的终边旋转 2 角，就得到角 2 的终边 如图 4，由两个三角形全等易得点 P8与 P1坐标间 关系，进一步可得公式六 设计意图：设计意图：通过设置问题 1，一方面，使学生更加 深入地了解圆具有丰富的对称性，另一方面，让他们通 过类比，不断地利用
6、数形结合的思想方法，提高自己提 sin（ 2 ）cos， cos（ 2 ）sin 出问题、分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、几何直观等核心素养 问题问题 2：回顾利用公式一公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建 立了流程图的求解程序， 那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公 式？ 预设的师生活动预设的师生活动：在学生思考展示的基础上互相交流，并完善 预设答案预设答案：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化如图 5 所示可以在变成锐角的过程中发生作用公式一六都叫做诱导公式(induction formula) 设计意图设计意图：基于前述的
7、求解程序，进行理性思考，完善求解程序，帮助学生提升运算素 养 例例 3 证明： （1）sin 2 3 cos ； （2）cos 2 3 sin 例例 4 化简： 2 9 sinsin3sincos 2 11 cos 2 coscos2sin 追问：追问：观察题目中的角，对比诱导公式，根据图 4，应该怎样化简转化为公式的形式？ 预设的师生活动：预设的师生活动： 学生更具问题的引导， 独立思考， 并求解 学生展示时紧扣图 4 进行 预设答案：预设答案： 例例 3 证明： （1）sin 2 3 sin 2 sin 2 cos ； 任意角的 三角函数 任意正角的 三角函数 用 公 式 三或一 02 的
8、角的 三角函数 锐角的三 角函数 用公式一 用公式二或 四、五、六 图 5 （2）cos 2 3 cos 2 cos 2 sin 例例 4 解：原式 2 4sinsinsincos 2 5cossincossin 2 sinsinsincos 2 coscossin 2 sin cos tan 设计意图设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算素养 例例 5 已知 sin（53）1 5，且27090，求 sin（37）的值 追问：追问：观察题目中的角，它们有怎样的关系？和哪个诱导公式接近？能不能通过换元， 使得已知角与所求角之间关系更加明了？由此你确定的求解思路是怎样的？
9、 预设的师生活动：预设的师生活动：让学生通过观察，自己思考并回答 预设答案：预设答案： 分析分析： 注意到 （53 ） + （37 ） =90 ， 如果设 53 ， = 37 ， 那么 +=90 ， 由此可利用诱导公式和已知条件解决问题 解解：设 53 ，37 ，那么 90 ，从而 90 于是 sin sin（90）cos 因为27090，所以 143323 由 sin 5 1 0，得 143180 所以 cos 1sin2 2 5 1 1 5 62 所以 sin（37）sin 5 62 设计意图设计意图： 引导学生学会观察分析， 进行理性思考， 学会有序求解， 提升数学运算素养 （二）归纳（
10、二）归纳小结小结 问题问题 3：教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题： （1）你学到了哪些基本知识，它们的作用是什么？能解决什么问题？求解的程序是什 么？ （2）我们已经知道诱导公式是三角函数的性质，是圆的对称性的代数化，据此，你觉 得怎样记忆到目前为止学过的这 6 组诱导公式？此外，仅仅观察 6 组诱导公式的形式特征， 你还能怎样记忆这些公式？ （3）能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？ 预设的师生活动预设的师生活动： 以学生的独立思考， 展示交流， 互相补充为主 教师予以及时的点拨 预设答案预设答案： （1）本单元学习了三角函数的基本性质诱导公式；这些诱导公式体现了
11、三角函数的对称性，在求三角函数值时，它们还具有转化作用，另外，还可以实现正弦与余 弦的相互转化；求解程序略基本的思想是：负角变正角，大角变小角 （2）只要了解了诱 导公式是通过哪个对称变化得到的， 这种变化中点的坐标的关系是怎样的， 就可以记住公式， 而且还可以进一步推广公式 （3）通过观察发现，如果是一个角加 2 的奇数倍，那么变换 后会改变三角函数的名字；如果是一个角加 2 的偶数倍，那么变换后会不改变三角函数的 名字 关于原点的对称性 旋转 2 的对称性 关于 x 轴的对称性 圆 的 对 称 性 关于 y 轴的对称性 关于直线 y=x 的对称性 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 设
12、计意图设计意图：梳理小结，一方面帮助学生进一步明确求解的程序另一方面，通过帮助学 生梳理借助于单位圆记忆公式的过程，进一步认识诱导公式的本质第三，通过观察形式， 分析特点，总结记忆方法，从另一个角度认知诱导公式，进行抽象概括 （三）布置作业（三）布置作业 教科书习题 5.3 （四）目标检测设计（四）目标检测设计 计算或化简： （1）cos 6 65 ； （2）sin 4 31 ； （3）tan 3 26 ； （4）cos 2 5 ； （5）sin 2 11 cos 预设答案：预设答案： （1） 2 3 ； （2） 2 2 ； （3）3； （4）sin ； （5）cos 设计意图：检测学生对基本知识和技能的掌握情况
