1、 2020-2021 学年度第一学期第一次月考学年度第一学期第一次月考 高二数学高二数学 （考试用时：120 分钟 总分：150 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1. 在等差数列中， 3 a+ 4 a+ 5 a=12，则 1 a+ 2 a+ 7 a= A. 14 B. 21 C. 28 D.35 2. 已知等差数列 n a中，15, 6 52 aa.若 nn ab 2 ，则数列 n b的前 5 项和等于 A.186 B. 90 C.45 D.30 3. 若 ab0，则下列不等式中一定成立的是 Aa 1
2、 bb 1 a B. b a b1 a1 Ca 1 bb 1 a D. 2ab a2b a b 4. 南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式， 所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高 次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数 列，其前 7 项分别为 3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第 19 项为 A. 174 B. 184 C. 188 D. 160 5在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于 300 m2的内接矩形花园(阴影 部分)， 则其边长 x(单位
3、 m)的取值范围是 A15，20 B12，25 C10，30 D20，30 6记 n S为数列 n a 的前 n 项和，且 12 nn aS ，则 6 S的值为 A 665 729 B 486 665 C 665 243 D 65 9 7已知dcba,均为实数，则下列命题正确的是（ ） 40m x 40m A若 dcba ,，则bdac B若0, 0adbcab，则0 b d a c C若 dcba ,则cbda D若0,dcba则 c b d a 8. 设 n a 是等差数列下列结论中正确的是 A若 12 0aa，则 23 0aa B若 13 0aa，则 12 0aa C若 12 0aa，则
4、 213 aa a D若 1 0a ，则 2123 0aaaa 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9. 如图， 二次函数 yax2bxc 图象的一部分， 图象过点 A(3,0), 对称轴为 x1.给出下面四个结论正确的是 Ab24ac B2ab1 Cabc0 D5ab0，则下列不等式中一定成立的是( A ) Aa 1 bb 1 a B. b a b1 a1 Ca 1 bb 1 a D. 2ab a2b a b 4. 南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本
5、末中，提出了一些新的垛积公式， 所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高 次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数 列，其前 7 项分别为 3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第 19 项为( A ) A. 174 B. 184 C. 188 D. 160 5在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于 300 m2的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长 x(单位 m)的取值范围是 （ C ） A15，20 B12，25 C10，30 D20，30 40m x 40m 6记 n S为数列 n a
6、的前 n 项和，且12 nn aS，则 6 S的值为（ A ） A 665 729 B 486 665 C 665 243 D 65 9 7已知dcba,均为实数，则下列命题正确的是（ B ） A若 dcba ,，则bdac B若0, 0adbcab，则0 b d a c C若 dcba ,，则cbda D若0,dcba，则 c b d a 8. 设 n a 是等差数列下列结论中正确的是( C ) A若 12 0aa ，则 23 0aa B若 13 0aa ，则 12 0aa C若 12 0aa ，则 213 aa a D若 1 0a ，则 2123 0aaaa 二、多项选择题：本题共 4 小
7、题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9. 如图， 二次函数 yax2bxc 图象的一部分， 图象过点 A(3,0), 对称轴为 x1.给出下面四个结论正确的是( AD ) Ab24ac B2ab1 Cabc0 D5a2 时，f(2)=3-3a-2，无解； a-2，-1a0； 20 a时，21)( 2 aaaf, 2 51 0 a . 所以 2 51 1 a .10 分（注：对 1 种情况得 2 分，全对得 6 分） 18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 n a的前n项和为qnpn
8、Sn 2 ， N,R,nqp ，且 6 3 a. 数列 n b 满足 nn ba 2 log2 （1）求 p、q的值； （2）求数列) () 1( nn n ba 的前 2n 项和 n T2 18. 解：（1） qpSa1 11 ，13 122 pSSa ，15 233 pSSa ， 所以 615p,1p ，由 312 2aaa得0q， 所以 p=1，q=0. 2 分 （2） nan2 ， n n b2 ，6 分 nn nn n nba)2(2) 1()() 1( n n nnT 22 2 222)222()86()42( 3 2 3 2 2 3 212 2 12 2 n n nn .12 分
9、 （p，q 的值 2 分，两个通项公式各 2 分，求和 6 分） 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 1 )( x ax xf ，Ra. （1）若关于 x 的不等式 2)( xxf 在 ), 1 ( 有解，求 a 是取值范围； （2）解关于 x 的不等式 1)(xf. 19.解： 2)( xxf在), 1 ( 有解，即 2 1 x x ax 在 ), 1 ( 有解， 因为 )2)(1(xxax ， 3 2 x xa ， 因为 3223 2 x x ，所以322a。4 分 （2） 1 1 x ax ，0 1 1) 1( x xa ， 0) 1(1) 1(xxa 且1x， 1）1a时， 1x
10、； 2）1a时， 1x或 1 1 a x ； 3） 10 a时， 1 1 1 a x ； 4）0a时，无解； 5）0a 时， 1 1 1 x a ；12 分 （注：对 1 种情况得 1 分，对 3 种情况得 4 分，全对得 8 分） 20.(本小题满分 12 分) 在5 3 a ， 252 6baa ；2 2 b ， 343 3baa ；9 3 S ， 254 8baa 这三个条件中 任选一个，补充在下面问题中，并解答已知等差数列 n a 的公差为 ) 1(dd ，前 n 项和为 n S，等 比数列 n b的公比为 q，若 11 ba ，qd ，且满足_ （1）求数列 n a ， n b 的通
11、项公式 （2）记 n n n b a c ，求数列 n c 的前 n 项和 n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 20.解： 1 1 n nd21n, 11 1 2 nn n bbq - =6 分 1 1 6(23) 2 n n Tn 12 分 21.(本小题满分 12 分) 某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建 好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经 预算， 修建一个增压站的费用为 400 万元， 铺设距离为 x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用 为(x2x)万元设
12、余下工程的总费用为 y 万元 (1) 试将 y 表示成 x 的函数； (2) 需要修建多少个增压站才能使 y 最小？其最小值为多少？ 解：(1) 设需要修建 k 个增压站，则(k1)x240，即 k 240 x1， 所以 y400k(k1)(x2x)400( 240 x1) 240 x (x2x) 96 000 x 240 x160. 因为 x 表示相邻两增压站之间的距离，则 0 x240， 故 y 与 x 的函数关系为 y 96 000 x 240 x160(0 x240)6 分 （注：定义域不写扣 1 分） (2) y 96 000 x 240 x1602 96 000 x 240 x16
13、02 4 8001609 440， 当且仅当 96 000 x 240 x，即 x20 时，等号成立，此时 k 240 x1 240 20111. 故需要修建 11 个增压站才能使 y 最小，其最小值为 9 440 万元12 分 （注：等号成立条件不写扣 2 分） 22.(本小题满分 12 分) 已知数列 n a 的各项均为正数，其前 n 项和 2 ) 1( nn n aa S, Nn. （1）求数列 n a 的通项公式； （2）设 1 2 log2 n n n a a b ；若称使数列 n b 的前 n 项和为整数的正整数 n 为“优化数”，试求区 间(0，2020)内所有“优化数”的和 S
14、. 22.（1）由数列 n a的前n和 1 2 nn n aa S 知： 当1n 时， 11 111 1 =, 2 a a SaS ， 11 10a a，又 1 0a ，所以 1 1a ， 当1n 时， 11 1 11 22 nnnn nnn aaaa aSS ， 整理得： 11 10 nnnn aaaa ， 因为 1 0 nn aa ，所以有 1 1 nn aa ， 所以数列 n a是首项 1 1a ，公差1d 的等差数列， 数列 n a的通项公式为 1 1 n aandn；6 分 （2）由 n an知： 22 +22 loglog 11 n n n an b an ， 数列 n b的前n项和为 1232222 3452 loglogloglog 2341 n n bbbb n 22 3452 loglog21 2341 n n n ， 令 123n bbbbk kZ，则有 1 2 log21,22 k nk n ， 由0,2020 ,nkZ知10k 且k N， 所以区间0,2020内所有“优化数”的和为 23410 22222222S 29 2341011 21 2 222218182222026 1 2 .12 分
