1、 高三数学试卷 考生注意: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 2.请将各题答案填写在答题卡上。 3.本试卷主要考试内容: 小题内容为集合与常用逻辑用语, 函数与导数(50 分), 三角函数(30 分), 大题内容为新高考范围。 第 I 卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.若 sin1000 a,则 cos10 A.a B. 2 1 a C.a D. 2 1 a 2.设集合 Ax|xx2,Bx|x2x60,则 AB A.(0,1) B
2、.(2,0)(1,3) C.(3,1) D.(3,0)(1,2) 3.下列四个数中,最大的是 A.log0.16 B.log29 C.log312 D.log415 4.若 0bb3”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数 f(x)x2sinxxcosx 在,上的图象大致为 6.设集合 Ay|yx24xa,By|ysin2x2sinx,若 ABA,则 a 的取值范围是 A.(,5 B.1,) C.(,1 D.5,) 7.某艺术展览馆在开馆时间段(9:0016:00)的参观人数(单位:千)随时间 t(单位:时)的变化 近似满足函数关
3、系 f(t)Asin( 3 t 11 6 )5(A0,9t16),且下午两点整参观人数为 7 千,则 开馆中参观人数的最大值为 A.7 千 B.8 千 C.9 千 D.1 万 8.太阳是位于太阳系中心的恒星,其质量 M 大约是 21030千克地球是太阳系八大行星之一, 其质量 m 大约是 61024千克下列各数中与 m M 最接近的是(参考数据:lg30.4771,lg60.7782) A.10 5.519 B.105.521 C.105.523 D.105.525 二、选择题:本题共 4 小题,每个小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分,
4、部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分。 9.若 tan2xtan(x 4 )5,则 tanx 的值可能为 A. 6 3 B. 6 2 C. 6 3 D. 6 2 10.设命题 p:a(0,),f(x)x3ax1 在(1,)上是增函数,则 A.p 为真命题 B.p 为a(0,),f(x)x3ax1 在(1,)上是减函数 C.p 为假命题 D.p 为a(0,),f(x)x3ax1 在(1,)上不是增函数 11.已知函数 f(x) 22 x2x2x2x2,则 A.f(x)的极值点不止一个 B.f(x)的最小值为 22 C.f(x)的图象关于 y 轴对称 D.f(xt)在(,0上单调递减 12.已
5、知函数 f(x)的导函数为 f(x),若 f(x)xf(x) (2) 2 f B.f(1) (2) 2 f C.f(1) (2) 4 f 1 2 D. (2) 4 f 1 2 f(1) 第 II 卷 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡中的横线上。 13.已知函数 f(x) 4 53xx0 xax0 , , ,且 f(1)f(1),则曲线 yf(x)在点(2,f(2)处的切线 方程为 。 14.已知曲线 ysin(x 6 )关于直线 x1 对称,则|w|的最小值为 。 15.不等式 3x 14x5 的解集为 。 16.关于函数 f(x)cos2x2|c
6、osx|有如下四个命题: f(x)的最小值为 3 2 ; f(x)在( 2 3 ,),上单调递增; f(x)的最小正周期为 ; 方程 f(x)2在(0,)内的各根之和为 2。 其中所有真命题的序号是 。 四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分) 在 1 1 2 n n a a ,an1an 1 6 ,anlann8 这三个条件中任选一个,补充在下面的 问题中,若问题中的 Sn存在最大值,则求出最大值;若问题中的 Sn不存在最大值,请说明理由。 问题:设 Sn是数列an的前 n 项和,且 a14, ,求an的通项公式,并判断 Sn
7、是否 存在最大值。 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 18.(12 分) 2020 年 3 月,受新冠肺炎疫情的影响,我市全体上在线学习。为了了解学生在线学习的情况。 市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取 60 名学生对线上教学情况进行调查(其中男生与女 生的人数之比为 2:1),结果发现男生中有 10 名对线上教学满意,女生中有 12 名对线上教学不满 意 (1)请完成如下 22 列联表, 并回答能否有 90%的把握认为 “对线上教学是否满意与性别有关” ; (2)以这 60 名学生对线上教学的态度的频率作为 1 名学生对线上教学的态度的概率,若从全市 学生中随机抽取
8、3 人, 设这 3 人中对线上教学满意的人数为 X, 求随机变量 X 的分布列与数学期望。 附:参考公式及临界值表 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ,其中 nabcd。 19.(12 分) 在ABC 中,cosA4cosC,sinC 3 21 14 。 (1)求 B; (2)若ABC 的周长为 57,求ABC 的面积。 20.(12 分) 如图,已知 ACBC,DB平面 ABC,EA平面 ABC,过点 D 且垂直于 DB 的平面 与平面 BCD 的交线为 l,ACBD1,BC3,AE2。 (1)证明:l平面 AEC。 (2)设点 P 是 l 上任意一点,求平面 PAE 与平面 ACD 所成锐二面角的最小值。 21.(12 分) 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O,对称轴为坐标轴,且 C 经过点 A(4,6)。 (1)求 A 到 C 的焦点的距离; (2)若 C 的对称轴为 x 轴,过(9,0)的直线 l 与 C 交于 M,N 两点,证明:以线段 MN 为直径的 圆过定点。 22.(12 分)。 已知函数 f(x)(x 1 2 )exa(x 1 2 )2。 (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围。