1、第九章第九章 机械振动机械振动 一一 掌握掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系相位）的物理意义及各量间的关系.三三 掌握掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析.二二 掌握掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义.四四 理解理解同方向、同频率
2、简谐运动的合成规律，同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点.五五 了解了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律件及规律.机械振动机械振动 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。力学量（如位移力学量（如位移X）机械振动机械振动电磁振动电磁振动最基本、最基本、最简单、最重要的振动是最简单、最重要的振动是简谐振动简谐振动。电磁量（如电磁量（如 I、V、E、B）91 简谐振动简谐振动 定义及运动方程定义及运动方程（1）动力学观点）动力学观点定义定义：
3、ikxF 作用下的运动。作用下的运动。动力学角度动力学角度运动学角度运动学角度物体在回复力物体在回复力动力学方程动力学方程：maF kxF xmka 特点：变加速运动特点：变加速运动动力动力 学方程的一般式学方程的一般式以以水平水平弹簧振子为例：弹簧振子为例：kxma 0222 xdtxdxa2 mk 2 令令 （2）运动学观点）运动学观点定义定义：物体离开平衡位置的位移，按正弦、或余弦函数的：物体离开平衡位置的位移，按正弦、或余弦函数的规律随时间变化的运动。规律随时间变化的运动。运动方程：运动方程：)cos(tAx 特点：周期性的运动特点：周期性的运动 t 时刻与时刻与t+T 时刻的运动状态
4、相同时刻的运动状态相同 （机械）简谐振动的种类（机械）简谐振动的种类 线谐振线谐振（例弹簧振子）（例弹簧振子）kxF)cos(tAx kF)cos(tm轨迹是直线轨迹是直线 轨迹是曲线轨迹是曲线 角谐振角谐振（例单摆）（例单摆）描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量*描述运动状态描述运动状态：(平衡位置平衡位置 o：*位移位移x：*振幅振幅 A：*周期周期 T：*频率频率 ：2 秒内振动的次数秒内振动的次数（描述简谐振动快慢（描述简谐振动快慢）*位相位相 t+：*初位相初位相 ：)cos(tAx振动物体受合外力为零的位置振动物体受合外力为零的位置)振动物体任一时刻离开平衡位置的距离振动物体任
5、一时刻离开平衡位置的距离.振动物体离开平衡位置最大距离的绝对值振动物体离开平衡位置最大距离的绝对值.物体完成一次全振动所需的时间物体完成一次全振动所需的时间.物体在单位时间内完成全振动的次数物体在单位时间内完成全振动的次数.*圆频率圆频率 ：=2 ，T=1/=2 /=2 /T任一时刻任一时刻 t 的运动状态的运动状态.表征振子在表征振子在 t=0 时刻的运动状态时刻的运动状态.位置、速度位置、速度.特征量特征量 A、的求法：的求法：角频率角频率 是由振动系统本身的性质所决定的是由振动系统本身的性质所决定的.例如谐例如谐振子系统振子系统求求 A由由 初始条件初始条件 t=0 时，时，X0、V0共
6、同决定共同决定mk (已确定已确定)由系统的性质决定故称由系统的性质决定故称“固有频率固有频率”.与初始条件与初始条件(X0、V0)无关无关,只与只与m、k有关有关.mkmk根据根据)cos(tAx)sin(tAv当当 t=0 时时 cos0Ax sin0Av（1）（2）:/)2()1(222公式公式 ！（3）求求 ：)1()2(公式公式 ！2020)(vxA 00 xvtg 振动曲线振动曲线:)cos(tAxX0)(st)(mXoAT1)掌握振动方程掌握振动方程振动曲线振动曲线2)相位与振动状态相位与振动状态:0t 0v,Ax t0v,Ax 2/t 2/t mvv,0 x mvv,0 x g
7、mTTf0 x解：（1）kmgxkxmg/00)(2102xxkfRaMRIfRTRmaTmg xMmka2/m作简谐振动作简谐振动（2）kMmTMmk2/222/92 旋转矢量旋转矢量oAX0 t)cos(tAxx t+t=t :初角位置初角位置 t+：角位置角位置:角速度角速度角速度角速度 圆频率圆频率角位置角位置 相位相位初角位置初角位置 初相位初相位AX 位相位相“t+”:表示物体任意表示物体任意时刻的运动状态。时刻的运动状态。例：由例：由“t+”看看(X,V)0 t2 t23 t物体在正向物体在正向位移位移极大处极大处,速度速度为零为零.下个时刻要向下个时刻要向 物体正越过物体正越过
8、原点原点,以最大以最大速率速率运动运动.下个时刻要向下个时刻要向物体正越过物体正越过原点原点,以最大以最大速率速率运动运动.下个时刻要向下个时刻要向X 轴的轴的负负方向运动方向运动.X 轴的轴的负负方向运动方向运动.X 轴的轴的正正方向运动方向运动.位相差位相差:)cos()cos(222111 tAxtAx)()(12 tt (或或2 的整数倍）的整数倍）（或（或 的奇数倍）的奇数倍）X2 比比 X1 超前超前 23 我们说我们说X2 比比 X1 超前超前2 232 01 0 0 步调一致步调一致 步调相反步调相反或说或说X1 比比 X2 超前超前12 或或 X1 比比X2 落后落后 246
9、8101214-1-0.50.51vt xa)cos(tAx)2tcos(v)tsin(Adtdxvm )tcos(a)tcos(Adtdvam2 其中其中,vm=A为速度振幅为速度振幅,am=A2为加速度振幅为加速度振幅.各量作简各量作简谐振动的关系是谐振动的关系是:v比比x超前超前/2,a与与x反相反相.)scm(103x22 635.0t 例例2.一物体沿一物体沿 X 轴作简谐振动，轴作简谐振动，A =12 cm T=2s 当当 t=0 时，时，X0 =6 cm ，且向，且向 X 正正方向运动方向运动.由旋转矢量看由旋转矢量看Xcm0 t121 1 3 2 3 （2）t=0.5s 时，物
10、体的时，物体的位置、速度、加速度位置、速度、加速度.)tcos(A )sin(tA)cos(2 tA6cos12 )(410cm )(9181 s2 求求（1）初位相初位相06axv时，时，s5.0t,（3）在在 x=-6cm 处且向处且向 X 负负方向运动时，物体的方向运动时，物体的速度速度、加速度、加速度以及从这一位置回到平衡位置需的以及从这一位置回到平衡位置需的时间。时间。32sin12 )scm(361 )scm(622 avXcm6 2/3)sin(tAvxa2 )cos(tAx 32t 将将 代入代入 v ,a 的解析式，求得：的解析式，求得：32t )6(2 从这一位置回到平衡位
11、置从这一位置回到平衡位置 所需的所需的最短时间：最短时间：t6523 )(83306565s tXcm6 2/3t （4）从初始时刻开始，第二次通过平衡位置的时刻从初始时刻开始，第二次通过平衡位置的时刻23 611)(611s t t=Xcm0 t ttt 94 简谐运动的能量简谐运动的能量以弹簧振子为例：以弹簧振子为例：221mvWk221kxWp m 2 =k，代入代入（1）式得：）式得：)3()(sin2122 tkAWk 注意：注意：10 简谐振动系统的简谐振动系统的动能、势能随时间变动能、势能随时间变化，总能量为常数。化，总能量为常数。20 W总总 A2 对任意谐对任意谐振子适用。振
12、子适用。)cos(tAx)sin(tAv 21 2kAWWWpk 总总mk 2)1()(sin21222 tmA)2()(cos2122 tkA（2）+（3）：）：同理可得同理可得2max2221 21mvAmW 总总30 由图可看出：由图可看出：W k 、W p的变化频率的变化频率是振动频率的是振动频率的2倍倍.能量能量时间曲线时间曲线振动曲线振动曲线假定假定=0)(J)(stkAWp 22cos21tkAWk 22sin212kpkA21WWW 40 在平衡位置在平衡位置:Wk最大最大,Wp=0.在最大位移处在最大位移处 Wp最大最大,Wk=0.95 简谐振动的合成简谐振动的合成一一 两个
13、同方向、同频率的简谐振动合成两个同方向、同频率的简谐振动合成)cos(111 tAx)cos(222 tAx“x”：同方向同方向“”：同频率同频率方程：方程：简谐振动简谐振动 21xxx无论是用解析法还是旋转矢量法都能证明合振动仍是简谐无论是用解析法还是旋转矢量法都能证明合振动仍是简谐振动，其合振动方程为：振动，其合振动方程为：其中其中 与分振动相同与分振动相同)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAtg合振动：合振动：)cos(tAx)cos()cos(2211 tAtA2121xxxAAA2211221112212221coscossins
14、in)cos(2AAAAtgAAAAA2.557.51012.515-3-2-1123)cos(111 tAx)cos(222 tAx)cos(tAx210 212、kk21AAA )cos(212212221 AAAAA2.557.51012.515-3-2-1123210 )12(12、kk21AAA 二二 同方向的同方向的 N 个同频率简谐振动的合成个同频率简谐振动的合成设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其表达式为其表达式为：)cos(1tax )cos(2 tax)2cos(3 tax)1(cos NtaxN a ocAxR用矢量合成法用矢
15、量合成法 多边形法则或解析法均可得：多边形法则或解析法均可得：2)1(cos)2sin()2sin(NtNax三三 两个同方向、不同频率的简谐振动的合成两个同方向、不同频率的简谐振动的合成)cos(101 tAx)cos(202 tAx不同不同同，突出同，突出、假定假定 0 A合振动：合振动：)cos()cos(21021 ttAxxx和差化积：和差化积：22cos2cos221120 ttttAx)cos(tAx合振动不是简谐振动！合振动不是简谐振动！)2cos(2cos2 21120 ttAx注意：注意：10 合振动可看成振幅缓慢变化的简谐振动。合振动可看成振幅缓慢变化的简谐振动。2550
16、75100125150-2-112xt下图下图蓝色实线蓝色实线表示表示合振动位移与时间的关系。合振动位移与时间的关系。红色虚线红色虚线表示表示合振动振幅的周期性变化。合振动振幅的周期性变化。20 合振幅时强时弱的现象称为合振幅时强时弱的现象称为“拍现象拍现象”在声振动、电振在声振动、电振动动、波动、激光等问题中常遇到，、波动、激光等问题中常遇到，1、2 相差很小相差很小 时时出现。出现。30 拍频：合拍频：合 振幅振幅 在单位时间内加强（或减弱）的次数在单位时间内加强（或减弱）的次数可以证明：可以证明：拍频拍频12 拍现象的应用拍现象的应用 ：混频混频中放中放中放中放电台电台 1 本机振荡本机
17、振荡KHZ46512 中频（拍频）中频（拍频）KHZ465（2）超外差收音机利用电磁振动的拍现象）超外差收音机利用电磁振动的拍现象。（1）乐音调准。）乐音调准。二个谐振子合成的例子四四 两个振动方向互相垂直、同频率的简谐振动的合成两个振动方向互相垂直、同频率的简谐振动的合成)cos()cos(2211 tAytAx 形状由形状由 决定，大小与决定，大小与 有关。有关。2,1 AA0)1(12 0)(221 AyAxxAAy12 12)2(222212 AyAx )3(xAAy12 )2(23)4(1222212 AyAx直线直线正椭圆正椭圆（或圆）（或圆）直线直线正椭圆正椭圆（或圆）（或圆）)
18、cos(212212222121 AAxyAyAx)(sin122 0)(221 AyAx椭圆方程椭圆方程顺时针顺时针逆时针逆时针xAAy12 1222212 AyAxxAAy12 1222212 AyAxxy1A2Axy )1(0 )2(2 )3()4(23)2(5)为任意值时，合振动的轨迹为一般椭圆为任意值时，合振动的轨迹为一般椭圆 0 4 43 45 2 57 223 例例3.若若tAx cos1)4cos(2 tAy求：（求：（1）合振动的轨迹合振动的轨迹11223344556677881A2Axy12345678（2）已知已知求质点在任一位置所受的力求质点在任一位置所受的力 mA,4
19、（2）求质点在任一位置所受的力）求质点在任一位置所受的力 amF)(2222jdtydidtxdm i tAmFcos21)(2j yi xm xy0r)4cos(22jtA rm2 tAx cos1)4cos(2 tAy五五 两个振动方向垂直、不同频率的简谐振动的合成两个振动方向垂直、不同频率的简谐振动的合成 称为称为李萨如图形李萨如图形。两振动的频率成整数之比时，合成轨迹稳定。两振动的频率成整数之比时，合成轨迹稳定。一般轨迹曲线复杂，且不稳定。一般轨迹曲线复杂，且不稳定。-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51
20、xy2:13:25:4yxNN:由切点数之比和已知频率可测未知频率。由切点数之比和已知频率可测未知频率。xyyxNN 图形形状还与位相差、振幅有关图形形状还与位相差、振幅有关 96 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振（1）阻尼产生的原因：摩擦、辐射）阻尼产生的原因：摩擦、辐射。（2）特点：不是周期性的振动；振幅越来越小，）特点：不是周期性的振动；振幅越来越小，周期周期越来越大。越来越大。一一 阻尼振动：振动系统的振幅和能量随时间减小的振动。阻尼振动：振动系统的振幅和能量随时间减小的振动。102030401.00.50.51.0*阻尼振动的动力学描述阻尼振动的动力学描述则微分方程形为：
21、令,2,20mCmk022022xdtdxdtxd它的解形如：，如果0)cos(e)(tAtxt欠阻尼它的解形如：，如果0。，其中20221-)ee(e)(tttAAtx过阻尼tAtxe)(临界阻尼它的解形如：，如果0vCF线性阻尼：动力学方程：022kxdtdxCdtxdm二二 受迫振动：振动系统在周期性外力作用下的振动。受迫振动：振动系统在周期性外力作用下的振动。外外振振 22220204外外mFA特点：特点：0 外外令令ddA!max A00外时，若:阻尼因子阻尼因子mC2F F0 0外力的力幅外力的力幅mFv 20max振幅共振振幅共振速度共振速度共振xt时外2202maxA固固 外外 A1 2 3 0 321 三三 共振共振阻尼振动阻尼振动受迫振动受迫振动 共振共振0外m大大k小小要使要使 ！0外大理石板大理石板充气轮胎充气轮胎mk 还有多级隔振！还有多级隔振！如何设计一防振台？如何设计一防振台？F
