1、2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数综合题 知识精练类型一线段问题1. (2023重庆A卷节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2过点(1，3)，且交x轴于点A(1，0)，B两点，交y轴于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PDBC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求PDE周长的最大值及此时点P的坐标第1题图2. (2023济宁节选)如图，直线yx4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A. P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一
2、点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)若m，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由第2题图类型二面积问题3. (2023安徽)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线yax2bx(a0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x2.(1)求a，b的值；(2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E.()当0t0)为抛物线上一动点，过点P作PNx轴交直线BC于点M，交x轴于点N.(1)直接写出抛物
3、线和直线BC的解析式；(2)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由第7题图类型七角度问题8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点A(4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C，作直线AC.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点M是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接MA，MC，BC，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)若点D是抛物线的顶点，点P是抛物线上的一个动点，是否存在点P，使得ACPCAD，若存在，请直接写出点P的坐标
4、；若不存在，请说明理由第8题图参考答案与解析1. 解：(1)将点(1，3)，(1，0)代入抛物线yax2bx2，得解得该抛物线的表达式为yx2x2；(2)当x0时，y2，C(0，2).当y0时，x1或x4，B(4，0)，OC2，OB4，BC2.直线BC过点B(4，0)，C(0，2)，直线BC的函数表达式为yx2.PDBC，PEy轴，PDEBOC90，PEDBCO，PDEBOC，DEPE，PDPE.设P(m，m2m2)，则E(m，m2)(0m4).PEm2m2( m2)(m2)22.0，当m2时，PE有最大值，最大值为2，PDE周长的最大值为DEPDPEPEPEPE2.此时点P的坐标为(2，3)
5、.2. 解：(1)在直线yx4中，当x0时，y4，当y0时，x4，B(4，0)，C(0，4).由题可设抛物线的解析式为ya(x)2k(a0)，把B(4，0)，C(0，4)的坐标代入可得解得抛物线的解析式为y(x)2x23x4；(2)存在，理由如下：点A是抛物线yx23x4与x轴的另一个交点，点A(1，0).当1m时，点P在x轴的上方，MN2ME，点E为线段MN的中点，点E的横坐标为xE，纵坐标yE点E的坐标为(，).又点E在直线BC：yx4上，代入得m23m10，解得m1(舍去)，m2.当m1时，P点即A点，此时点E与点M重合，不合题意当m1时，点P在x轴下方，点E在射线NM上设线段MN的中点
6、是点F(，).MN2ME，M为EF的中点，点M的横坐标为xm3m.纵坐标为ymm23m4.点E的坐标为(2m，).又点E在yx4上，代入得2m，即3m25m130，解得m1(舍去)，m2.综上，存在m使MN2ME，m或m.3. 解：(1)由题意得解得；(2)(i)如解图，延长BD与x轴交于点M，延长CE与x轴交于点N，过点A作AFCE于点F，第3题解图由(1)知抛物线的解析式为yx24x，由题意知直线OA的解析式为yx，B(t，t24t)，C(t1，(t1)24(t1)，D(t，t)，E(t1，t1)，OMt，BDt23t，CE(t1)23(t1)，AFt2，0t2，1t13，SOBDSACE
7、OMBDCEAFt(t23t)(t1)23(t1)(t2)2.(ii)存在如解图，当点B在点D上方，即2t3时，如解图，过点D作DQEC于点Q，第3题解图此时S四边形DBCE(BDEC)DQ(t23tt2t2)1t22t1，令t22t1，解得t113，t213，均舍去综上所述，t的值为. 4. 解：(1)点C(1，0)和点B(0，3)是二次函数yx2bxc图象上的两点，把点C(1，0)和点B(0，3)代入上式得解得二次函数的解析式为yx22x3；(2)存在如解图，连接AB，作线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，连接AM，BM，过点M作MGy轴于点G. 设点M(1，y)，对称轴与x轴交于点Q，则
8、QMy，BG3y.AMB是等腰三角形，AMBM，则AM2BM2，在RtAQM中，AM2AQ2MQ222y2.在RtBMG中，BM2MG2BG212(3y)222y212(3y)2，解得y1，点M的坐标为 (1，1).第4题解图5. 解：(1)抛物线过点B(0，4)，c4，即抛物线的函数表达式为yax2bx4.将点A(4，0)代入yax2bx4中，得16a4b40.抛物线的对称轴是直线x1，1，由解得抛物线的函数表达式为yx2x4；(2)PEAB，PFy轴，PEGBFG90.PGEBGF，PEGBFG.A(4，0)，B(0，4)，OAOB4，OAB是等腰直角三角形，OBA45.PFy轴，BFG是
9、等腰直角三角形，BGF45，PGE45PEAB，PEG是等腰直角三角形，PGEG.当PEGBFG时，EGFG，PGFG.由A(4，0)，B(0，4)可知直线AB的函数表达式为yx4，P(t，t2t4)，G(t2t，t2t4)，PGt(t2t)t22t，FGt2t，t22t(t2t)，解得t0(舍去)或t2；第5题解图(3)当PMN为直角三角形时，所有符合条件的点P的纵坐标为或或或.【解法提示】yx2x4(x1)2，y1(x14)23(x3)2 x23x3，N(3，).令x0，则y13，M(0，3).抛物线y的对称轴为直线x1，点P在抛物线对称轴上，设P(1，m)，PN2(13)2(m)2，MN
10、2，PM212(m3)2.PMN为直角三角形，需要分以下三种情况：当MNP90时，MN2PN2PM2，(13)2(m)212(m3)2，解得m；当PMN90时，PM2MN2PN2，12(m3)2(13)2(m)2，解得m；当MPN90时，PM2PN2MN2，12(m3)2(13)2(m)2，解得m或m.综上所述，当PMN为直角三角形时，所有符合条件的点P的纵坐标为或或或.6. 解：(1)抛物线yax2xc经过A，B两点，解得抛物线的解析式为yx2x4；(2)抛物线与y轴交于点C，当x0时，y4，即C(0，4).B(4，0)，M(t，t1)，BC4，BM2(t4)2(t1)22t26t17，CM
11、2t2(t5)22t210t25，如解图，当BC为对角线时，MBCM，2t26t172t210t25，解得t，M(，).由菱形的性质可得解得R(，)；当CM为对角线时，如解图，四边形BMRC为菱形，BMBC，2t26t17(4)2，解得t或t，t11或t11，M(，)或M(，).由菱形的性质可得，或解得或R(，)或R(，)；当BM为对角线时，如解图，即四边形CMRB是菱形，点R的坐标即为四边形BMRC为菱形时，点M的坐标，R(，)或R(，).综上所述，点R的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)或(，).图图图第6题解图7. 解：(1)抛物线的解析式为yx2x2，直线BC的解析式为yx2；【解法
12、提示】(1)抛物线过点A(1，0)，B(2，0)，抛物线的解析式为ya(x1)(x2)，将点C(0，2)的坐标代入上式，得22a，a1.抛物线的解析式为y(x1)(x2)，即yx2x2.设直线BC的解析式为ykxt，将点B(2，0)，C(0，2)的坐标代入上式，得，解得.直线BC的解析式为yx2；(2)存在P(，)，Q(0，1)或P(，)，Q(0，)或P(1，1)，Q(0，1)或P(1，3)，Q(0，2).【解法提示】点P与点C相对应，POQCBN或POQCNB.若点P在点B左侧，则CBN45，BN2m，CB2.当POQCBN，即POQ45时，直线OP的解析式为yx，m2m2m，解得m或m(舍
13、去).OP2()2()24，即OP2.，即，解得OQ1.P(，)，Q(0，1).当POQCNB，即PQO45时，当点Q在点P上方时，PQm，OQm2m2mm22m2，即，解得m1(舍去)或m1(舍去).当点Q在点P下方时，PQm，直线QP的解析式为yxm22.OQm22，即，解得m或m(舍去)，OQ，P(，)，Q(0，).若点P在点B右侧，则CBN135，BNm2.当POQCBN，即POQ135时，直线OP的解析式为yx，m2m2m，解得m1或m1(舍去)，OPm，即，解得OQ1.P(1，1)，Q(0，1).当POQCNB，即PQO135时，PQm，OQ|m2m2m|m22m2.，即，解得m1
14、或m1(舍去).P(1，3)，Q(0，2).综上所述，P(，)，Q(0，1)或P(，)，Q(0，)或P(1，1)，Q(0，1)或P(1，3)，Q(0，2).8. 解：(1)抛物线yx2bxc经过点A(4，0)，B(2，0)，解得抛物线的函数表达式为yx2x4；(2)在yx2x4中，令x0，得y4，点C(0，4).设直线AC的函数表达式为ykxc，将A(4，0)，C(0，4)代入，得解得直线AC的函数表达式为yx4.如解图，过点M作MEx轴于点E，交AC于点F，设点M的坐标为(d，d2d4)，则点F的坐标为(d，d4)，MF(d4)(d2d4)d22d.A(4，0)，B(2，0)，C(0，4)，
15、OA4，AB6，OC4，SABCABOC6412，SACMMFOA(d22d)4d24d(d2)24.当d2时，SACM取得最大值，为4.四边形ABCM面积的最大值12416，此时点M的坐标为(2，4)；第8题解图(3)存在点P，点P的坐标为(5，)或(，).【解法提示】如解图，过点D作DGx轴于点G，过点P作PHy轴于点H，则DGACHP90.由题意得点D(1，)，设P(m，m2m4)，DG，AG3，CHm2m4(4)m2m，PHm，分两种情况讨论：当点P在直线AC上方时，记为P1，设过点P1作P1Hy轴的点H为H1，ACP1CAD，P1CAD，易得DAGCP1H1.又DGACH1P190，DAGCP1H1，即，解得m0(舍去)或m5，点P1(5，)；当点P在直线AC下方时，记为P2，设过点P2作P2Hy轴的点H为H2，OAOC4，OACOCA.ACP2CAD，OACCADOCAACP2，即DAGP2CH2.又DGAP2H2C90，DAGP2CH2，即，解得m0(舍去)或m，点P2(，).综上所述，存在点P，点P的坐标为(5，)或(，).第8题解图
