1、2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 知识精练1. 如图,ABC为等边三角形,D是BC上一点,连接AD,点P,Q在AD上,连接BP,CQ,且BPDCQD60,若BP3,CQ5,则PQ的长为_第1题图2. 如图,在四边形ABCD中,AD4,AB10,点E是AB的中点,连接DE,CE,若ABDEC,则的值为_第2题图3. (2023重庆A卷)如图,在RtABC中,BAC90,ABAC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BEAD于点E,过点C作CFAD交AD的延长线于点F.若BE4,CF1,则EF的长度为_第3题图4. 如图,在等腰RtABC中,AB
2、AC,点D是CB延长线上一点,且ABDB,连接AD,若AD6,则ACD的面积为_第4题图5. (2023荆州)如图,点P是线段AB上与点A,点B不重合的任意一点,在AB的同侧分别以A,P,B为顶点作123,其中1与3的一边分别是射线AB和射线BA,2的两边不在直线AB上,我们规定这三个角互为等联角,点P为等联点,线段AB为等联线(1)如图,在53个方格的纸上,小正方形的顶点为格点、边长均为1,AB为端点在格点的已知线段请用三种不同连接格点的方法,作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角,并标出等联角,保留作图痕迹;(2)如图,在RtAPC中,A90,ACAP,延长AP至点B,使ABAC
3、,作A的等联角CPD和PBD,将APC沿PC折叠,使点A落在点M处,得到MPC,再延长PM交BD的延长线于E,连接CE并延长交PD的延长线于F,连接BF.确定PCF的形状,并说明理由;若APPB12,BFk,求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)图图图第5题图参考答案与解析1. 2【解析】BPDCQD60,APBCQA.ABC是等边三角形,ABAC,BAC60.BPDBAPABP60,BACBAPCAQ60,ABPCAQ.在ABP和CAQ中,ABPCAQ(AAS),BPAQ3,APCQ5.APAQPQBPPQ,PQAPBP532.2. 【解析】ABDEC,DAEEBC钝角一线三等角(同
4、侧),.AD4,AB10,点E是AB的中点,AEBE5,.3. 3【解析】BEAD,CFAD,AEBCFA90,ABEBAE90.BAC90,CAFBAE90,ABECAF.又ABAC,ABECAF,AECF1,AFBE4,EFAFAE413.4. 9【解析】如解图,过点B作BGAD于点G,过点C作CHAD交DA的延长线于点H,CH即为点C到直线AD的距离BGAD,ABDB,AGB90,AGDGAD3.ABC为等腰直角三角形,ABAC,ABCACB45,BAC90,GABHAC90.又CHAD,AGBCHA90,HCAHAC90,GABHCA.在ABG和CAH中,ABGCAH(AAS),AGC
5、H3,SACDADCH639.第4题解图5. 解:(1)作图如解图;(注:只需作出其中三种)方法1 方法2方法3 方法4方法5 方法6方法7 方法8方法9第5题解图(2)PCF是等腰直角三角形理由如下:如解图,过点C作CNBE交BE的延长线于点N.由折叠的性质得ACCM,CMPCMEA90,12,A,CPD,PBD互为等联角,ACPDPBD90.ACAB,APBDN90,四边形ABNC为正方形,CNACCM.又CECE,RtCMERtCNE(HL),34.123490,CPF90,PCF23CFP45,PCF是等腰直角三角形第5题解图如解图,过点F作FQBE于点Q,作FRPB交PB的延长线于点R,则RA90.155690,16.由PCF是等腰直角三角形,得PCPF,APCRFP(AAS),APFR,ACPR.ACAB,APBRFR.在RtBRF中,BR2FR2BF2,BFk,APBRFRk.APPB12,PB2AP2k,ABAPPBBN3k.由BRFR,QBRRFQB90,得四边形BRFQ为正方形,BQQFk,由FQBN,CNBN,得FQCN,而QEBNNEBQ3kNEk2kNE,即,解得NEk,由知PMAPk,MENEk,PEPMMEkkk.