1、2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 知识精练1. 如图，ABC为等边三角形，D是BC上一点，连接AD，点P，Q在AD上，连接BP，CQ，且BPDCQD60，若BP3，CQ5，则PQ的长为_第1题图2. 如图，在四边形ABCD中，AD4，AB10，点E是AB的中点，连接DE，CE，若ABDEC，则的值为_第2题图3. (2023重庆A卷)如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BEAD于点E，过点C作CFAD交AD的延长线于点F.若BE4，CF1，则EF的长度为_第3题图4. 如图，在等腰RtABC中，AB
2、AC，点D是CB延长线上一点，且ABDB，连接AD，若AD6，则ACD的面积为_第4题图5. (2023荆州)如图，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作123，其中1与3的一边分别是射线AB和射线BA，2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线(1)如图，在53个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图，在RtAPC中，A90，ACAP，延长AP至点B，使ABAC
3、，作A的等联角CPD和PBD，将APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF.确定PCF的形状，并说明理由；若APPB12，BFk，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)图图图第5题图参考答案与解析1. 2【解析】BPDCQD60，APBCQA.ABC是等边三角形，ABAC，BAC60.BPDBAPABP60，BACBAPCAQ60，ABPCAQ.在ABP和CAQ中，ABPCAQ(AAS)，BPAQ3，APCQ5.APAQPQBPPQ，PQAPBP532.2. 【解析】ABDEC，DAEEBC钝角一线三等角(同
4、侧)，.AD4，AB10，点E是AB的中点，AEBE5，.3. 3【解析】BEAD，CFAD，AEBCFA90，ABEBAE90.BAC90，CAFBAE90，ABECAF.又ABAC，ABECAF，AECF1，AFBE4，EFAFAE413.4. 9【解析】如解图，过点B作BGAD于点G，过点C作CHAD交DA的延长线于点H，CH即为点C到直线AD的距离BGAD，ABDB，AGB90，AGDGAD3.ABC为等腰直角三角形，ABAC，ABCACB45，BAC90，GABHAC90.又CHAD，AGBCHA90，HCAHAC90，GABHCA.在ABG和CAH中，ABGCAH(AAS)，AGC
5、H3，SACDADCH639.第4题解图5. 解：(1)作图如解图；(注：只需作出其中三种)方法1 方法2方法3 方法4方法5 方法6方法7 方法8方法9第5题解图(2)PCF是等腰直角三角形理由如下：如解图，过点C作CNBE交BE的延长线于点N.由折叠的性质得ACCM，CMPCMEA90，12，A，CPD，PBD互为等联角，ACPDPBD90.ACAB，APBDN90，四边形ABNC为正方形，CNACCM.又CECE，RtCMERtCNE(HL)，34.123490，CPF90，PCF23CFP45，PCF是等腰直角三角形第5题解图如解图，过点F作FQBE于点Q，作FRPB交PB的延长线于点R，则RA90.155690，16.由PCF是等腰直角三角形，得PCPF，APCRFP(AAS)，APFR，ACPR.ACAB，APBRFR.在RtBRF中，BR2FR2BF2，BFk，APBRFRk.APPB12，PB2AP2k，ABAPPBBN3k.由BRFR，QBRRFQB90，得四边形BRFQ为正方形，BQQFk，由FQBN，CNBN，得FQCN，而QEBNNEBQ3kNEk2kNE，即，解得NEk，由知PMAPk，MENEk，PEPMMEkkk.
