1、2020-2021 学年高二数学上学期期中测试卷 04（人教 A 版） （理） （本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 测试范围：人教 A 版必修 5 全册+选修 2-1 全册 一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的. 1已知命题p： 2 0, x xex ，则 p 为（ ） A 0 0 x， 0 2 0 x ex B 0 0 x， 0 2 0 x ex C0 x ， 2x ex D0 x ， 2x ex 【答案】A 【解析】因为命题p： 2 0, x xex ， 所以 p 为 0 0 x， 0 2 0
2、 x ex， 故选 A 2关于 x的不等式 2 450 xx的解集为（ ） A( 5,1) B( 1,5) C( , 5)(1,) D(, 1)(5,) 【答案】B 【解析】不等式可化为 2 450 xx，有( 5)(1)0 xx ， 故不等式的解集为( 1,5). 故选 B 3设a b c d, ,是非零实数，则“a dbc”是“a b c d, ,成等差数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若a b c d, ,依次成等差数列，则adbc一定成立， 所以必要性成立， 若2,2,1,3adbc，满足adbc，但a
3、b c d, ,不成等差数列， 即充分性不成立， 所以“ad bc”是“a b c d, ,成等差数列”的必要不充分条件， 故选 B 4在ABC中， 9,10,60abA，则此三角形解的情况是（ ） A一解 B两解 C一解或两解 D无解 【答案】B 【解析】因为sin5 3bAab，所以有两解. 故选 B. 5已知等比数列 n a， 10 a， 30 a是方程 2 10160 xx的两实根，则 20 a等于（ ） A4 B4 C8 D8 【答案】A 【解析】因为 10 a， 30 a是方程 2 10160 xx的两实根， 由根与系数的关系可得 1030 10aa ， 1030 16aa，可知
4、10 0a， 30 0a 因为 n a是等比数列，所以 2 201030 16aaa， 因为 10 2010 aaq ，所以 20 0a， 所以 20 4a， 故选A 6 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中，M为 11 AC的中点， 若 1 ,ABa AAc BCb， 则下列向量与BM 相等的是（ ） A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D 11 22 abc 【答案】A 【解析】由于M是 11 AC的中点，所以 11 BMAMABAAAMAB 111 1 2 AAABAC 1 1 2 AAABAC 1 1 2 AAABABBC 1 11 22 AAA
5、BBC 11 22 abc . 故选 A. 7双曲线 22 2 :1(0) 36 xy Ca a 左、右焦点分别为 12 ,FF，一条渐近线与直线430 xy垂直，点M在 C上，且 2 14MF ，则 1 |MF （ ） A6或 30 B6 C30 D6或 20 【答案】C 【解析】 双曲线 22 2 :1(0) 36 xy Ca a 左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 一条渐近线与直线430 xy垂直， 可得 63 4a ，解得8a ， 点M在C上， 2 | 14216MFa，所以M在双曲线的右支上， 则 12 | 2| 30MFaMF 故选C 8已知实数x，y满足不等式组 40, 0,
6、 1, xy xy y ，则23zxy的最小值为（ ） A0 B2 C3 D5 【答案】D 【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 由23zxy，得 2 33 z yx ， 作出直线 2 3 yx ，即直线230 xy， 将此直线向下平移过点C时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值， 由 1 0 y xy ，得 1 1 x y ，即 ( 1, 1)C ， 所以23zxy的最小值为2 ( 1)3 ( 1)5 ， 故选 D 9已知数列 n a满足 1 2a ， * 1 1() 1 2 n n anN a ，则 2020 a（ ） A2 B 1 3 C 1 2 D3 【答案】D 【解析】由已知
7、得 1 2a ， 2 21 1 123 a ， 3 21 1 1 2 1 3 a ， 4 2 13 1 1 2 a ， 5 2 12 1 3 a ， 可以判断出数列 n a是以 4为周期的数列，故 2020505 44 3aaa ， 故选 D. 10正四棱锥SABCD中，2SAAB，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为（ ） A 3 6 B 6 6 C 3 3 D 6 3 【答案】C 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 有图知 2 222 222SOSAAO ， 由题得1, 1,0A、1,1,0C 、1,1,0B、0,0, 2S. 2, 2,0CA， 1, 1, 2BS ， 1,
8、 1, 2CS . 设平面SBC的一个法向量, ,nx y z， 则 0 0 n BS n CS ， 20 20 xyz xyz ， 令 2z ，得0 x，2y ， 0,2, 2n . 设直线AC与平面SBC所成的角为，则 43 sincos, 32 26 ACn . 故选 C. 11在锐角三角形ABC中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 222 3acac b ， 则c o ss i nAC 的取值范围为（ ） A 3 3 , 22 B 2 ,2 2 C 1 3 , 2 2 D 3,2 【答案】A 【解析】由 222 3acacb 和余弦定理得 222 3 cos 22 acb B
9、ac ，又 0,B， 6 B . 因为三角形ABC为锐角三角形，则 0 2 0 2 A C ，即 0 2 5 0 62 A A ，解得 32 A ， 13 cossincossincossincoscossin 6622 ACAAAAAAA 33 sincos3sin 223 AAA ， 32 A ，即 25 336 A ，所以， 13 sin 232 A ， 则 33 cossin 22 AC ，因此，cossinAC的取值范围是 3 3 , 22 . 故选 A. 12已知椭圆的方程为 2 2 2 11 x ya a ，上顶点为A，左顶点为B，设P为椭圆上一点，则PAB面积 的最大值为 21
10、 .若已知3,0 , 3,0MN，点Q为椭圆上任意一点，则 14 QNQM 的最小值为 （ ） A2 B3 2 2 C3 D 9 4 【答案】D 【解析】在椭圆 2 2 2 11 x ya a 中， 点0,1 ,0ABa，则 2 1ABa， 1 AB k a ， 直线AB的方程为 1 1yx a ，设与直线AB平行的椭圆的切线方程为 1 yxb a ， 由方程组 2 2 2 1 1 yxb a x y a 得 2222 220 xabxa ba， 由 2 222 24 20aba ba ，得 2 2b ，则2b ， 两平行线间的距离 22 2121 1 1 1 a d a a ， 则PAB面积
11、的最大值为 1 21 2 AB d ，得2a， 24QMQNa， 14114 4 QMQN QNQMQNQM 1 1 44 QMQN QNQM 19 12 444 QMQN QNQM ， 当且仅当2QMQN时取等号. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13设ABC内角 A，B，C所对应的边分别为 a，b，c.已知(4 )coscosacBbC，则cos B_ 【答案】 1 4 【解析】由(4)coscosacBbC及正弦定理， 得(4sinsin)cossincosACBBC， 即4sincossin()sinABBCA，因为(0, )A，sin0A， 所以 1 c
12、os 4 B 故填 1 4 14已知数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 21 n S n n ，则 17 aa_. 【答案】29 【解析】由 1 21 n S n n ，得 2 21 n Snn， 令1n ，则 1 2 1 12S ，即 1 2a ， 22 776 2 77 1 (2 66 1)27aSS ， 所以 17 22729aa， 故填 29 15若正实数 , x y满足 39 loglog1xy，则 2 xy的最小值为_. 【答案】6； 【解析】因为 39 loglog1xy，所以 2 2 9 3 loglog1xy，即 2 9 log ()1x y ， 所以 2 9x y
13、， 所以 22 22 96xyx y，当且仅当 2 xy，即3,3xy时取等号， 所以 2 xy的最小值为 6 故填 6 16以下四个关于圆锥曲线命题： “曲线 22 1axby为椭圆”的充分不必要条件是“ 0,0ab”； 若双曲线的离心率2e，且与椭圆 22 1 148 yx 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 3yx ； 抛物线 2 2xy 的准线方程为 1 8 x =； 长为 6的线段AB的端点,A B分别在x、y轴上移动， 动点( , )M x y满足 2AMMB ， 则动点M的 轨迹方程为 22 1 416 xy 其中正确命题的序号为_ 【答案】 【解析】对于， “曲线 22 1
14、axby为椭圆”的充要条件是“0,0ab且ab”. 所以“曲线 22 1axby为椭圆”的必要不充分条件是“ 0,0ab”，故错误； 对于，椭圆 22 1 148 yx 的焦点为0,6，又双曲线的离心率 222 669 2,6,2, 22 ecabca a ，所以双曲线的方程为 22 22 1 39 yx ，所以双 曲线的渐近线方程为 3 3 yx ，故错误； 对于，抛物线 2 2xy 的方程化为标准式 2 1 2 yx ，准线方程为 1 8 x =，故正确； 对于， 设()(), 0,0 ,AaBb， 3 2 2,2, 3 2 2 ax xax AMMBxa yx by ybyby ， 2
15、233 3 ,0 ,0,6,36 22 AxByABxy ，即 22 1 416 xy ，即动点M的轨迹方程为 22 1 416 xy .故正确. 故填. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l： 1 2 yxm交椭圆 C于 A，B 两点，且5AB ，求 m的值 【解析】 （1）由题意可得 2222 2 3 2 abc c a ， 解得：2a，1b， 椭圆 C的方程为 2 2 1 4 x
16、 y； （2）设 11 ,A x y， 22 ,.B x y 联立 22 1 2 44 yxm xy ， 得 22 2220 xmxm， 12 2xxm ， 2 12 22x xm， 222 12 5 1488 2 ABkxxmm 2 525m ， 解得1m 18已知, ,OA OB OC两两垂直,3,2OAOCOB,M为OB的中点，点N在AC上， 2ANNC. （1）求MN的长； （2）若点P在线段BC上，设 BP PC ,当AP MN时，求实数的值 【解析】 （1）由题意， 以 OA,OB,OC分别为 x 轴，y轴，z 轴建立直角坐标系， 0,0,0 ,3,0,0 ,0,2,0 ,0,0,
17、3OABC 由于M为OB的中点，点N在AC上，可得0,1,0M,1,0,2N 6MN （2）设0, ,Py z BP PC ，且点P在线段BC上 BPPC 23 0, 11 P APMN 0APMN 26 30 11 5 3 19已知数列 n a的前n项和 2 n Snn，等比数列 n b的公比(1)q q ，且 345 28bbb， 4 2b 是 3 b和 5 b的等差中项. （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）令 2 1 1 nn n cb a ， n c的前n项和记为 n T，若2 n Tm对一切 * nN成立，求实数m的最大 值. 【解析】 （1）1n 时， 11 2aS，
18、当2n时 1 2 nnn aSSn 1 2a 也符合上式，所以 * 2 n an nN， 又 345 28bbb和 435 22bbb，得 4 8b ，2q =或 1 2 q . 1q 2q =. 1 2n n b ， * nN （2） 11 22 11111 22 1412 2121 nn nn n cb annn 1 2111111111 (1)2)2 1 22335212 1 1(1 2121422 n nn n T nnnn 而 n T随着n的增大而增大，所以 1 8 22 3 n TT 故有m最大值为 8 3 . 20如图在ABC中，点 P 在边BC上， 3 C ，2AP ，4AC
19、PC （1）求APB； （2）若ABC的面积为 5 3 2 求sinPAB 【解析】 （1）在APC中，设ACx， 因为4AC PC， 4 PC x ，又因为 3 C ，2AP ， 由余弦定理得： 222 2cos 3 APACPCAC PC 即： 2 22 44 22cos 3 xx xx ， 解得2x， 所以ACPCAP， 此时APC为等边三角形， 所以 2 3 APB ； （2）由 15 3 sin 232 ABC SAC BC ， 解得5BC ，则3BP， 作ADBC交BC于 D，如图所示： 由（1）知，在等边APC中，3AD ，1PD ， 在RtABD中 22 3 1619ABADB
20、D 在 ABP 中，由正弦定理得 sinsin ABPB APBPAB ， 所以 3 3 3 57 2 sin 3819 PAB 21如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为梯形， / /BCAD，ABAD， E为侧棱PA上一点，且2AEPE，3AP，2ABBC，4AD. （1）证明：/ /PC平面BDE. （2）求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值. 【解析】 （1）证明：如图所示，连接AC交BD于点F，连接EF. 四边形ABCD为梯形，且2ADBC， :2:1AF CFAD BC，即2AFCF， 在PAC中，2AEPE，2AFCF， EF/PC 又PC 平面
21、BDE，EF 平面BDE， PC/平面BDE. （2）如图所示，以点A为坐标原点，以分别以AB、AD、AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐 标系，则2,0,0B，2,2,0C，0,4,0D，0,0,2E，0,0,3P. 所以，2,0,2BE ，2,4,0BD ，2,2, 3PC ，0,4, 3PD ， 设 111 ,mx y z和 222 ,nx y z分别是平面BDE和平面PCD的法向量，则 0 0 m BD m BE ，得 11 11 240 220 xy xz ，令 1 2x 得 1 1y ， 1 2z ，即 2,1,2m ， 0 0 n PC n PD ，得 222 22 2230 4
22、30 xyz yz ，令 2 3y 得 2 3x ， 2 4z ，即 3,3,4n 所以， 1734 cos, 6334 m n m n mn ， 故平面BDE和平面PCD所成角锐二面角的余弦值为平面 34 6 . 22已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为 F，过点 F的直线 l与抛物线 C 交于 M，N两点 （1）若(2,0)F，直线 l的斜率为 2，求OMN的面积； （2）设点 P是线段MN的中点（点 P与点 F不重合，点 0,0 Q x是线段MN的垂直平分线与 x轴的 交点，若给定 p 值，请探究： 2 | | PQ FQ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 【
23、解析】 （1）由题意得，直线:24l yx，抛物线 2 :8C yx 联立 2 8 24 yx yx ，整理得 2 4160yy，800 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 4yy ， 12 16y y ， 2 121212 1 |44 5 2 OMN SOFyyyyy y （2）由题意得，,0 2 p F ，易知直线 l的斜率存在且不为 0， 设直线 l的方程为(0) 2 p xtyt， 联立 2 2 2 p xty ypx ，整理得 222 22 20,440yptypp tp 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 2yypt， 2 1212 2xxt yypptp， 2 , 2 p P ptpt ， 直线PQ的方程为 2 2 p yptt xpt 令0y ，得 2 3 2 p xpt， 2 3 ,0 2 p Q pt ， 222 2 |PQpp t， 22 3 | 22 pp FQptptp， 2 | | PQ p FQ ，即 2 | | PQ FQ 为定值，定值为 p
