1、北京外国语大学附属中学2024届数学高一上期末教学质量检测试题考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（）A.B.C.D.2函数有（ ）A.最大值B.最小值C.最大值2D.最小值23已知函数，若关于的方程有四
2、个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.D.4数向左平移个单位，再向上平移1个单位后与的图象重合，则A.为奇函数B.的最大值为1C.的一个对称中心为D.的一条对称轴为5已知，都是实数，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6函数的零点所在的区间为（）A.B.C.D.7关于函数有下述四个结论：是偶函数；在区间单调递减；在有个零点；的最大值为.其中所有正确结论的编号是（ ）A.B.C.D.8如图，在下列四个正方体中，、为正方体两个顶点，、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面 不平行的是（）A.B.C.D.9 “
3、当时，幂函数为减函数”是“或2”的（）条件A.既不充分也不必要B.必要不充分C.充分不必要D.充要10如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11某房屋开发公司用14400万元购得一块土地，该地可以建造每层的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层整幢楼房每平方米建筑费用提高640元已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为8000元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成_层，此时
4、，该楼房每平方米的平均综合费用最低为_元12已知，且，则的最小值为_.13已知函数若是函数的最小值，则实数a的取值范围为_14我国古代数学名著续古摘奇算法（杨辉著）一书中有关于三阶幻方的问题：将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等 (如图所示)，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是_.83415967215已知，则_.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16已知函数，其中（1）若的最小值为1，求a的值
5、；（2）若存在，使成立，求a取值范围；（3）已知，在（1）的条件下，若恒成立，求m的取值范围17已知函数（1）若有两个零点、，且，求的值；（2）若命题“，”假命题，求的取值范围18已知集合，集合.（1）若，求和（2）若，求实数的取值范围.19已知函数，（1）求函数的定义域；（2）试讨论关于x的不等式的解集20为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；（2
6、）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.21已知函数（1），求的单调递减区间；（2）若，的最大值是，求的值参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、B【解析】求出，根据题意结合正弦函数图象可得答案.【详解】，根据题意结合正弦函数图象可得，解得.故选：B.2、D【解析】分离常数后，用基本不等式可解.【详解】（方法1），则，当且仅当，即时，等号成立.（方法2）令，.将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：
7、D3、D【解析】先作函数和的图象，利用特殊值验证A错误，再结合对数函数的性质及二次函数的对称性，计算判断BCD的正误即可.【详解】作函数和的图象，如图所示：当时，即，解得，此时，故A错误；结合图象知，当时，可知是方程，即的二根，故，端点取不到，故BC错误；当时，即，故，即，所以，故，即，所以，故D正确.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可.4、D【解析】利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的图象，得出结论【详解】向左平移个单位，再向上平移1个单位后，可得的图
8、象，在根据所得图象和的图象重合，故，显然，是非奇非偶函数，且它的最大值为2，故排除A、B；当时，故不是对称点；当时，为最大值，故一条对称轴为，故D正确，故选D【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.5、C【解析】根据充分条件和必要条件定义结合不等式的性质即可判断.【详解】若，则，所以充分性成立，若，则，所以必要性成立，所以“”是“”的充分必要条件，故选：C.6、C【解析】分析函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答.【详解】函数的定义域为，且在上单调递增，而，所以函数的零点所在的区间为.故选：C7、A【解析】利
9、用偶函数的定义可判断出命题的正误；去绝对值，利用余弦函数的单调性可判断出命题的正误；求出函数在区间上的零点个数，并利用偶函数的性质可判断出命题的正误；由取最大值知，然后去绝对值，即可判断出命题的正误.【详解】对于命题，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，命题为真命题；对于命题，当时，则，此时，函数在区间上单调递减，命题正确；对于命题，当时，则，当时，则，由偶函数的性质可知，当时，则函数在上有无数个零点，命题错误；对于命题，若函数取最大值时，则，当时，函数取最大值，命题正确.因此，正确的命题序号为.故选A.【点睛】本题考查与余弦函数基本性质相关的命题真假的判断，解题时要结合自变量的取值范围去绝对
10、值，结合余弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.8、D【解析】利用线面平行判定定理可判断A、B、C选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，如下图所示，连接， 在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面；对于B选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面；对于C选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、中点，则，平面，平面，平面；对于D选项，如下图所示，连接交于点，连接，连接交于点，若平面，平面，平面平面，
11、则，则，由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，、分别为、的中点，则，且，则，则，又，则，所以，与平面不平行；故选：D.【点睛】判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（，），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（，）.9、C【解析】根据幂函数的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】当时，幂函数为减函数，所以有，所以幂函数为减函数”是“或2”的充分不必要条件，故选：C10、C【解析】在正方体中，利用线面垂直的判定定理，证得平面，由此能求出结果
12、【详解】如图所示，在正方体中，连结，则，由线面垂直的判定定理得平面，所以,所以异面直线与所成的角的大小是故选C本题主要考查了直线与平面垂直判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、 .15 .24000【解析】设公司应该把楼建成层，可知每平方米的购地费用，已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为8000元，从中可得出建层的每平方米的建筑费用，然后列出式子求得其最小值，从而可求得答案【详解】设公司应该把楼
13、建成层，则由题意得每平方米购地费用为（元），每平方米的建筑费用为（元），所以每平方米的平均综合费用为，当且仅当，即时取等号，所以公司应把楼层建成15层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为24000元，故答案为：15，2400012、#2.5【解析】将变形为，利用基本不等式求得答案.【详解】由题意得：，当且仅当时取得等号，故答案为：13、【解析】考虑分段函数的两段函数的最小值，要使是函数的最小值，应满足哪些条件，据此列出关于a的不等式，解得答案.【详解】要使是函数的最小值，则当 时，函数应为减函数，那么此时图象的对称轴应位于y轴上或y轴右侧，即当 时，当且仅当x=1时取等号，则，解得，所以
14、 ，故答案为：.14、8【解析】三阶幻方，是最简单的幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9其中有8种排法4 9 2、3 5 7、8 1 6；2 7 6、9 5 1、4 3 8；2 9 4、7 5 3、6 1 8；4 3 8、9 5 1、2 7 6； 8 1 6、3 5 7、4 9 2；6 1 8、7 5 3、2 9 4； 6 7 2、1 5 9、8 3 4；8 3 4、1 5 9、6 7 2故答案为：815、【解析】求得函数的最小正周期为，进而计算出的值（其中），再利用周期性求解即可.【详解】函数的最小正周期为，当时，所以，因此，.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明
15、，证明过程或演算步骤.）16、（1）5（2）（3）【解析】（1）采用换元法，令，并确定的取值范围，化简为关于二次函数后，根据其性质进行计算；（2）将存在，使成立，转化为存在，求出的最大值列不等式即可；（3）根据第（1）问的信息，将转化为关于的不等式，采用分离参数法，使用基本不等式，求得的取值范围.【小问1详解】令，则，当时，解得【小问2详解】存在，使成立，等价于存在，由（1）可知，当时，解得【小问3详解】由（1）知，则又，则恒成立，等价于恒成立，又，则等价于即，当且仅当时等号成立17、（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件可得，结合韦达定理可求得实数的值；（2）由已知可知，命题“，”为真命题
16、，可得其判别式，即可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：由已知可得，可得或，由韦达定理可得，所以，解得，合乎题意.故.【小问2详解】解：由题意可知，则判别式，解得.所以，实数的取值范围是.18、（1），；（2）.【解析】把代入求出，即可得到和由得到，由此能求出实数的取值范围；解析：（1）若，则 ，（2）因为 , 若，则， 若，则或， 综上，19、（1）（2）答案见解析【解析】（1）解不等式得出定义域；（2）利用对数函数的单调性解不等式得出解集.【小问1详解】由题意可得解得故函数的定义域为【小问2详解】当时，函数是增函数因为，所以解得当时，函数是减函数因为，所以解得综上，当时，原不等式的解集为
17、；当时，原不等式的解集为20、（1），（2）【解析】分析】（1）利用函数图像，借助于待定系数法，求出函数解析式，（2）结合图像可知由药物释放完毕后的函数解析式中的可求得结果【详解】（1）由图可知直线的斜率为，所以图像中线段的方程为，因为点在曲线上，所以，解得，所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为，（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，即，解得，所以从药物释放开始，至少需要经过小时，学生才能回到教室21、（1），；（2）.【解析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数，通过余弦函数的单调性求解即可（2）利用函数的最大值为，由正弦函数的性质结合辅助角公式求解即可【详解】（1），由，得，又，所以单调的单调递减区间为，（2）由题意，由于函数的最大值为，即，从而，又，所以【点睛】方法点睛：函数的性质：(1) .(2)周期(3)由 求对称轴，由求对称中心.(4)由求增区间；由求减区间.
