1、2023-2024学年广东省遂溪县第三中学数学高二上期末达标检测模拟试题请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1命题“，”否定是（）A.，B.，C.，D.，2已知直线和直线互相垂直，则等于（ ）A.2B.C.0D.3等差数列的公差为2，若成等比数列，则（）A.72B.90C.36D.454若函数在上有两个极值点，则
2、下列选项中不正确的为（）A.B.C.D.5已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（ ）A.B.C.D.6若圆与圆相切，则的值为（）A.B.C.或D.或7对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是（ ）A.若，则B.，则C.若，则，D.若，则8已知直线与抛物线C：相交于A，B两点，O为坐标原点，的斜率分别为，则（ ）A.B.C.D.9设，直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10已知、是直线，、是平面，、是点（、不重合），下列叙述错误的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则11设双曲线的实轴长为8，一条渐近线
3、为，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.12若直线与直线垂直，则（ ）A.6B.4C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13一支车队有10辆车，某天下午依次出发执行运输任务第一辆车于14时出发，以后每间隔10分钟发出一辆车假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息截止到18时，最后一辆车行驶了_小时，如果每辆车行驶的速度都是60km/h，这个车队各辆车行驶路程之和为_千米14某校对全校共1800名学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是_人.15函数，则函数在处切线的斜率为_.16若，都为正实数，且，成
4、等比数列，则的最小值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.18（12分）已知，C是圆B：（B是圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线交BC于点P（1）求动点P的轨迹的方程；（2）设E，F为与x轴的两交点，Q是直线上动点，直线QE，QF分别交于M，N两点，求证：直线MN过定点19（12分）已知函数（1）求函数单调区间；（2）函数在区间上的最小值小于零，求a的取值范围20（12分）如图，直四棱柱中，底面是边长为的正方形，点在棱上.（1）求证：；（2）从条件、条件
5、、条件这三个条件中选择两个作已知，使得平面，并给出证明.条件：为的中点；条件：平面；条件：.（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.21（12分）如图，在四棱柱中，底面，且，（1）求证：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值22（10分）写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题：（1）若，则；（2）已知为实数，若，则参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据含有量词的命题的否定即可得出结论.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为：，.故选：D.2、D【解析】利用直线垂直系数之间的关系即可得出.【详解
6、】解：直线和直线互相垂直，则，解得：.故选：D.3、B【解析】由题意结合成等比数列，有即可得，进而得到、，即可求.【详解】由题意知：，又成等比数列，解之得，则，故选：B【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量1、由成等比，即；2、等差数列前n项和公式的应用.4、C【解析】求导，根据题意可得，从而可得出答案.【详解】解：，因为函数在上有两个极值点，所以，即.所以ABD正确，C错误.故选：C.5、B【解析】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程.【详解】由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，
7、则故选：B.6、C【解析】分类讨论: 当两圆外切时，圆心距等于半径之和；当两圆内切时，圆心距等于半径之差，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.当两圆外切时，有，此时.当两圆内切时，有，此时.综上，当时两圆外切；当时两圆内切.故选：C【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解答两圆相切问题时易忽略两圆相切包括内切和外切两种情况.解答时注意分类讨论，属于基础题.7、C【解析】对于选项A，可以举反例判断；对于选项BCD可以利用作差法判断得解.【详解】解：A.若，则不一定成立.如：.所以该选项错误；B.，所以，所以该选项错误；C.，所以该选项正确；D.，所以该选项错误.故选：C8、C
8、【解析】设，由消得：，又，由韦达定理代入计算即可得答案.【详解】设，由消得：，所以，故.故选：C【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.9、A【解析】由可求得实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若，则，解得或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.10、D【解析】由公理2可判断A选项；由公理3可判断B选项；利用平行线的传递性可判断C选项；直接判断线线位置关系，可判断D选项.【详解】对于A选项，由公理2可知，若，则，A对；对于B选项，由公理3可知，若，则，B对；对于C选项，由空间中平行线的传
9、递性可知，若，则，C对；对于D选项，若，则与平行、相交或异面，D错.故选：D.11、D【解析】双曲线的实轴长为，渐近线方程为，代入解析式即可得到结果.【详解】双曲线的实轴长为8，即，渐近线方程为，进而得到双曲线方程为.故选：D.12、A【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.【详解】由题意可知，即故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、 .2.5# .1950【解析】通过分析，求出最后一辆车的出发时间，从而求出最后一辆车的行驶时间，这10辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解.【详解】因为，所以最后一辆车出发时间为15时30分，则最后一辆车行驶时间为
10、18-15.5=2.5小时，第一辆车行程为km，且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km，这10辆车的行驶路程可以看作首项为240，公差为-10的等差数列，则10辆车的行程路程之和为（km）.故答案为：2.5,195014、810【解析】分析：首先确定抽取的女生人数，然后由分层抽样比即可确定女生的人数.详解：设抽取的女生人数为，则：，解得：，则抽取的女生人数为人，抽取的男生人数为人，据此可知该校女生人数应是人.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比15、【解析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】解：因为，所
11、以，所以，所以函数在处切线的斜率为故答案为：16、#【解析】利用等比中项及条件可得，进而可得，再利用基本不等式即得.【详解】，都为正实数，成等比数列，又，即，当且仅当，即取等号.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1） （2）【解析】（1）根据等差数列条件列方程，即可求通项公式；（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，由，数列的通项公式为.【小问2详解】数列是首项为1，公比为2的等比数列，即，.18、（1） （2）证明见解析【解析】（1）根据，利用椭圆的定义求解； （2）（解法1）设，得到 ，的方程
12、，与椭圆方程联立，求得M，N的坐标，写出直线的方程求解； （解法2）上同解法1，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，然后由求解；（解法3）设，由，设：，：，其中，与椭圆方程联立，整理得，由F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，得到：求解.【小问1详解】解：由题知，则，由椭圆的定义知动点P的轨迹为以A，B为焦点，6为长轴长的椭圆，所以轨迹的方程为【小问2详解】（解法1）易知E，F为椭圆的长轴两端点，不妨设，设，则，于是：，：，联立得，解得或，易得，同理当，即时，：；当时，有，于是： ，即综上直线MN过定点（解法2）上同解法1，得，由对称性分析知动直
13、线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，得，即，于是，整理得，由t的任意性知，即，所以直线MN过定点（解法3）设，则，当时，直线MN即为x轴；当时，因为，所以，则，设：，：，其中，联立，得 ，整理得，易知F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，所以：，由及的任意性，知直线MN过定点19、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）对求导并求定义域，讨论、分别判断的符号，进而确定单调区间.（2）由题设，结合（1）所得的单调性，讨论、分别确定在给定区间上的最小值，根据最小值小于零求参数a的范围.【小问1详解】由题设，且定义域为，当，即时，在上，即在上递增；当，即时，在上，在上，
14、所以在上递减，在上递增；【小问2详解】由（1）知：若，即时，则在上递增，故，可得；若，即时，则在上递减，在上递增，故，不合题设；若，即时，则在上递减，故，得；综上，a的取值范围.20、（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）连结，由直四棱柱的性质及线面垂直的性质可得，再由正方形的性质及线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）选条件，设，连结，由中位线的性质、线面垂直的性质可得、，再由线面垂直的判定证明结论；选条件，设，连结，由线面平行的性质及平行推论可得，由线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明结论；（3）构建空间直角坐标系，求平面、平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求
15、平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】连结，由直四棱柱知：平面，又平面，所以，又为正方形，即，又，平面，又平面，.【小问2详解】选条件，可使平面.证明如下：设，连结，又，分别是，的中点，.又，所以.由（1）知：平面，平面，则.又，即平面.选条件，可使平面.证明如下：设，连结.因为平面，平面，平面平面，所以，又，则.由（1）知：平面，平面，则.又，即平面.【小问3详解】由（2）可知，四边形为正方形，所以.因为，两两垂直，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，所以，.由（1）知：平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，令，则.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.21、（1）
16、证明见解析；（2）.【解析】（1）证出，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明.（2）分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，由即可求解.【详解】（1）证明：因为，所以，因为，所以，所以，即因为底面，所以底面，所以因为，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：如图，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则令，得设平面的法向量为，则令，得，所以，由图知二面角为锐角，所以二面角所成角的余弦值为【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.22、（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）（2）根据逆命题、否命题以及逆否命题的定义作答即可；【小问1详解】解：逆命题：若，则；否命题：若，则；逆否命题：若，则【小问2详解】解：逆命题：已知为实数，若，则；否命题：已知为实数，若或，则；逆否命题：已知实数，若，则或
