1、淮南市淮南市 20182018 届届高三第一次模拟考试高三第一次模拟考试 数学文数学文科试卷科试卷 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知 () 2 , ai bi a bR i + =-?，其中i是虚数单位，则a b+ =( ) A.1- B.3 C.2 D.1 2.已知集合 2 3Ax yxx=-， 2 ,1 x By yx=，则AB为( ) A.
2、 0,3 B. ) 3,+? C. 1,3 D.( 2,3 3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可 中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) A B C D 4.已知函数 ( ) 3 sin 2 2 fxx p 骣 琪=- 琪 桫 () xR，下列说法错误的是( ) A.函数 ( ) f x最小正周期是p B.函数 ( ) f x是偶函数 C.函数 ( ) f x在0, 2 p 轾 犏 犏 臌 上是增函数 D.函数 ( ) f x图像关于,0 4 p 骣 琪 琪 桫 对称 5.若实数, x y满足 10 0 2 xy x y -+ ? ，则
3、 1y x + 的取值范围是( ) A.( ) 0,3 B. 0,3 C.( ) 3,+? D. ) 3,+? 6.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化 的可能图象是( ) A B C D 7.执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 8.函数 lnxx y x =的图象是( ) A B C D 9.在ABC中， 角, , ,ABC的对边分别是, ,a b c， 已知bc=， () 22 21 sinabA=-， 则A=( ) A. 6 p B. 4 p C. 3 p D. 3 4 p 10
4、.设F为抛物线 2 :3C yx=的焦点， 过F且倾斜角为30的直线交C于,A B两点，O为坐标 原点，则OAB的面积为( ) A. 9 4 B. 3 3 4 C. 9 3 8 D. 63 32 11.已知G是ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC交于点,M N，且AMxAB=， ANyAC=，( ) ,0 x y ，则3xy+的最小值是( ) A. 8 3 B. 7 2 C. 5 2 D. 42 3 33 + 12.已知函数 ( )()3 1 log1 2 x fxx 骣 琪=- 琪 桫 有两个零点 12 ,x x，则( ) A. 1212 xxxx?+ B. 12 1xx? C. 12
5、12 xxxx?+ D. 1212 xxxx?+ 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.若 2 10,Ax axaxxRf=-+ =，则a的取值范围是 . 14.九章算术“竹九节”问题：现有 1 根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列， 上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第五节的容积为 . 15.已知函数 ( ) 1 2 1 1 x fxe x + =- + ，则使得 ( )() 21f xfx-成立的x的取值范围是 . 16.过动点P作圆：( )() 22 341xy-
6、+-=的切线PQ，其中Q为切点，若PQPO=(O为坐 标原点)，则PQ的最小值是 . 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤. .） 17.已知数列 n a为等差数列，且 3 5a =， 5 9a =，数列 n a的前n项和为 21 33 nn Sb=+. (1)求数列 n a和 n b的通项公式； (2)设 nnn ca b=，求数列 n c的前n项和 n T. 18.如图所示，正四棱椎PABCD-中，底面ABCD的边长为 2，侧棱长为2 2，E为PD的 中点.
7、(1)求证：PB平面AEC； (2)若F为PA上的一点，且3 PF FA =，求三棱椎ABDF-的体积. 19.某中学为研究学生的身体素质与与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生的 课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟) 将学生日均课外体育运动时间在 ) 40,60上的学生评价为“课外体育达标”. 平均每天 锻炼的时 间(分钟) ) 0,10 ) 10,20 ) 20,30 ) 30,40 ) 40,50 ) 50,60 总人数 20 36 44 50 40 10 (1) 请根据上述表格中的统计数据填写下面22列联表，并通过计算判断是否能
8、在犯错误 的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 女 20 110 合计 (2) 从上述 200 名学生中，按“课外体育达标”、“课外体育不达标”分层抽样，抽取 4 人得到一个样本，再从这个样本中抽取 2 人，求恰好抽到一名“课外体育不达标”学生 的概率. 参考公式： () ()()()() 2 2 n adbc K abcdacbd - = + ，其中nabcd=+ + +. 参考数据： () 2 0 P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.63
9、5 7.879 10.828 20.椭圆 () 22 22 :10 xy Cab ab +=的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C， 若直线AB与直线CF的交点为( ) 3 ,16a. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点 () ,0P m为椭圆C的长轴上的一个动点， 过点P且斜率为 4 5 的直线l交椭圆C于,S T两 点，证明： 22 PSPT+为定值. 21.已知函数 ( ) 2 lnfxxx=-. (1)求函数 ( ) f x在点 ( )() 1,1f处的切线方程； (2)在函数 ( ) 2 lnfxxx=-的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且 切点的横坐
10、标都在区间 1 ,1 2 轾 犏 犏 臌 上.若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由. 22.已知曲线 1 C的参数方程为 45cos 55sin xt yt =+ =+ (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sinrq=. (1)把 1 C的参数方程化为极坐标方程； (2)求 1 C与 2 C交点的极坐标( ) 0,02rqp常. 23.设函数 ( ) 241f xx=-+. (1)画出函数 ( ) yf x=的图象； (2)若不等式 ( ) f xax的解集非空，求a的取值范围. 数学数学( (文科文科) )参考参考答案答案
11、一、选择题一、选择题 1-5:BDACD 6-10:CCBBA 11、12：DA 二、填空题二、填空题 13. ) 0,4 14. 67 66 15. 1 ,1 3 骣 琪 琪 桫 16.12 5 三、解答题三、解答题 17.解：(1)数列 n a为等差数列， ()53 1 2 2 daa=-=， 又 3 5a =， 1 1a =，21 n an=-， 当1n =时， 11 21 33 Sb=+， 1 1b =， 当2n 时， 11 22 33 nnnnn bSSbb - =-=-， 1 2 nn bb - =-， 即数列 n b是首项为 1，公比为2-的等比数列， () 1 2 n n b
12、- = -. (2) () 1 212n nnn cabn - =?-?， ()() 1221 1 1 3 25223221 2 nn n Tnn - = ?+-?-， 则 ()() 231 21 23 25223221 2 nn n Tnn - = ?+-?-， 两式相减， ()() 121 1 2 22221 2 nn n Tn - -= +?- ()()() 1 22 1 221 21 2421 23322 1 2 n nnnn nnn - - = + ?-= +-=- +- - ， () 2323 n n Tn=-?. 18.(1)设BD交AC于O，连接OE，则在BDP中，,O E分别
13、为,BD PD的中点， OEPB，又OE 平面AEC，PB 平面AEC， PB平面AEC. (3) 易知 22 6POPDOD=-=，且PO 平面ABCD， 111116 226 343246 A BDFF ABDABD VVSPO - 骣 琪=创=创创? 琪 桫 19.(1)由题意可得如下列联表： 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 () 2 2 200602030 90 200 6.0616.635 150 50 90 11033 K 创-? = 创? . 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达
14、标”与性别有关. (2)由题意， 样本中“课外体育不达标”的学生有 3 人， 记为： 123 ,A A A； “课外体育达标” 的学生有 1 人，记为：B. 从这 4 人中抽取 2 人共有( )12 ,A A，( )13 ,A A，( )1, A B，( )23 ,A A，( )2, A B，( )3, A B6 种情况， 其中“恰好抽到一名课外体育不达标学生”有( )1, A B，( )2, A B，( )3, A B3 种情况， 设“恰好抽到一名课外体育不达标学生”为事件C，则 ( ) 31 62 P C =. 20.(1)由椭圆C的左顶点的坐标为 () ,0Aa-，上下定点的坐标为 ()
15、 0,Bb， () 0,Cb-，右焦 点的坐标为 () ,0F c，则直线AB的方程为 b yxb a =+，直线CF的方程为 b yxb c =-，又因为 直线AB和直线CF的交点为( ) 3 ,16a，所以有 163 163 b ab a b ab c =? =? ，解得4b =且35ac=，又因为 222 abc=+，解得5a =， 所以椭圆的标准方程为 22 1 2516 xy +=. (2)设l的方程为 () 4 5 yxm=-，即 5 4 xym=+，代入 22 1 2516 xy +=并整理得： () 22 25208250ymym+-=， 设 ()11 ,S x y， ()22
16、 ,T x y，则 12 4 5 yym+=-， () 2 12 825 25 m y y - =， 又因为 () 22 22 111 41 16 PSxmyy=-+=，同理 2 2 2 41 16 PTy=， 则 ()() () 2 2 222 22 121212 1625 4141414 241 161616516 m PSPTyyyyy ym 轾 - 骣 犏轾 琪+=+=+-=-= 琪犏 犏 臌 桫 犏 臌 ， 所以 22 41PSPT+=是定值. 21.(1) ( ) 11f=，又 ( ) 1 2fxx x =-， ( ) 12 1 1f=-=， 故所求切线方程为 () 1 11yx-
17、= ?即yx=. (2)设所求两点为( )11 ,x y，( )22 ,x y， 12 1 ,1 2 x x 轾 犏 犏 臌 ，不妨设 12 xx， ( ) 1 2fxx x =-， 由题意： 12 12 11 221xx xx 骣骣 琪琪 -?=- 琪琪 桫桫 ， ( ) 1 2fxx x =-在 1 ,1 2 轾 犏 犏 臌 上单调递增， 1 1 1 121x x - ?， 2 2 1 121x x - ?， 又 12 xx， ( )( )12 fxfx， 1 1 2 2 1 21 1 21 x x x x -=- -= ， 解得： 1 1 2 x =，( 1 1x = -舍)， 2 1x
18、 =，( 2 1 2 x =-舍) 所以，存在两点为 11 ,ln2 24 骣 琪+ 琪 桫 ，( ) 1,1即为所求. 22.(1)将 45cos 55sin xt yt =+ =+ 消去参数t，化为普通方程 ()() 22 4525xy-+-=，即 22 1: 810160Cxyxy+-+=， 将 cos sin x y rq rq = = 代入 22 810160 xyxy+-+=得 2 8 cos10 sin160rrqrq-+=， 所以 1 C的极坐标方程为 2 8 cos10 sin160rrqrq-+=. (2) 2 C的普通方程为 22 20 xyy+-= 由 22 22 81
19、0160 20 xyxy xyy +-+= +-= ，解得 1 1 x y = = 或 0 2 x y = = . 所以 1 C与 2 C交点的极坐标分别为2, 4 p 骣 琪 琪 桫 ，2, 2 p 骣 琪 琪 桫 . 23.(1)由于 ( ) 25,2 23,2 xx fx xx - + = -? ，则 ( ) yf x=的图象如图所示： (2)由函数 ( ) yf x=与函数yax=的图象可知，当且仅当 1 2 a 或2a -时， 函数 ( ) yf x=与函数yax=的图象有交点， 故不等式 ( ) f xax的解集非空时，a的取值范围是( ) 1 , 2, 2 轹 -?+? 滕 .
