1、等效法处理对称性破缺的场叠加问题等效法处理对称性破缺的场叠加问题 在万有引力和静电场一章，有一类题目，在质量或电荷的几何分布出现对称的破缺后，若直接用微元 法和平行四边形定则求解，数学计算繁复。对其中有一类题目，大多资料介绍的方法是填补法填补法：若填补这 些空缺后，使得原来不对称的分布变成对称的分布，从而根据对称性，用现有的物理规律即可获得待求的 物理量。不过，“填补法”思路实际上打的是迂回战术，需要先填回去再挖掉，这样的反复对学生提出了 较高的思维能力要求，致使其掌握效果不佳。 笔者在总结了大量“填补法”类题目后，提出了一种更直接的方法等效法，这种方法因为思路直 接，对学生思维能力要求低，学
2、生掌握起来就相对容易一些。特此介绍，并期与同行交流。 【例 1】如图所示，阴影区域是“质量为 M、半径为 R 的球体”挖去一个 小圆球后的剩余部分 所挖去的小圆球的球心 O和大球体球心间的距离是 R/2 求 球体剩余部分对球体外离球心 O 距离为 2R、质量为 m 的质点 P 的引力 F。 【解析】填补法填补法分析：先将挖去部分填补回去，则可得到填补后的球体对 m 的引力 2 )2( R Mm GF 合 ， 这个 合 F实际上是如图阴影部分和挖去部分对 m 的引力 的矢量和，即FFF 合 ；而挖去部分对 m 的引力为 2 2 1 8 1 )2(RR mM GF ，联立解得 2 100 23 R
3、 Mm GF 等效法等效法分析：空腔部分可看做是质量为 8 M 和 8 M 的均匀球体组成*，其中 8 M 部分与阴影部分对 m 的引力 2 1 )2( R Mm GF ， 8 M 对m的斥力为 2 2 1 8 1 2 )2(RR mM GF ， 两力的矢量和为 2 21 100 23 R GMm FFF。 *说明“负质量”是一个数学等效的假设，负质量的物体对正质量的物体的“万有引力”是斥力。负质量 与正质量同时存在的区域如同正负电荷一样会“中和”（此处分析时不涉及能量问题）。 【例 2】如图，P、Q 为某地区水平地面上的两点，在 P 点正下方一球形区域内储藏有石油。假定区 域周围岩石均匀分布
4、，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区 域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方 向； 当存在空腔时， 该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小 偏离。重力加速度在原竖直方向(即 PO 方向)上的投影相对于正常值的偏 离叫做“重力加速度反常”。已知引力常数为 G。 设球形空腔体积为 V，球心深度为 d(远小于地球半径)，PQ=x， 求空腔所引起的 Q 点处的重力加速度反常。 【解析】等效法等效法分析：空腔部分可看做是密度为和两部分的组合，其中密度为的部分与周围 岩石、整个地球形成所谓正常重力加速度。造成“重力加速度反常”就是那个密度为的部分，这个部分 在 Q
5、处产生的“引力加速度”为g= r M G 2 ，方向沿 OQ 斜向上，其中VM， 22 xdr. 重力加速度反常 g 是这一改变在竖直方向上的投影g r d g 联立解得 2/322 )(xd VdG g . 【例 3】如图甲所示，半径为R均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点P（坐 标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E=2 2 1 22 1 xr x ，方向沿x 轴。现考虑单位面积带电量为 0 的无限大均匀带电平板，从 其中间挖去一半径为r的圆板，如图乙所示。则圆孔轴线上 任意一点Q（坐标为x）的电场强度为 A. 2 0 2 1 22 xr x B. 2
6、 0 2 1 22 xr r C. 2 0 r x D. 2 0 x r 【解析】等效法等效法分析：将图乙中空白部分看做是电荷面密度分别为 0 和 0 的两部分的组合，其中 面密度分别为 0 的部分与灰色部分组合在一起后在 Q 点场强为 1 E=2 0 （分析：r， 2 1 22 1 xr x =1） ， 而面密度分别为 0 的部分在 Q 点场强为 2 E=2 0 2 1 22 1 xr x ， 1 E与 2 E 方向相反，则两者的矢量和为 2 0 2 1 22 xr x ，本题选 A。 【例 4】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在 半球面 AB
7、上均匀分布正电荷，总电荷量为 q，球面半径为 R，CD 为通过 半球顶点与球心 O 的轴线，在轴线上有 M、N 两点，OMON2R。已 知 M 点的场强大小为 E，则 N 点的场强大小为() A. kq 2R2E B. kq 4R2 C. kq 4R2E D. kq 4R2E 【解析】填补法填补法分析：若球面完整，由均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心 处产生的电场，则在 M、N 点所产生的电场为 E k2q 2R 2 kq 2R2，当如题图所示半球面电荷在 M 点产生的 场强为 E，由对称性，则 N 点的场强为 E kq 2R2E。 等效法等效法分析：在直径 AOB 右侧同
8、时补上一个电荷量为+q 的右半球壳和一个电荷量为q 的右半球壳， 这相当于还是只有原来的“左半+q 的球壳”这时，N 点场强可以看做是完整的+2q 球壳和“右半q 的半球壳”共同产生的，其中“右半q 的半球壳”在 N 点产生的场强 由对称性可知与“左半+q 的球壳”在 M 点产生的场强是相等的， 故 N 点的场强为E R q kE 2 )2( 2 ，E kq 2R2E 即。 【例 5】如图所示，A、B、C、D、E 是半径为 r 的圆周上等间距的五个点，在 这些点上各固定一个点电荷， 除 A 点处的电荷量为q 外， 其余各点处的电荷量均为 q，则圆心 O 处() A场强大小为kq r2 ，方向沿
9、 OA 方向B场强大小为kq r2 ，方向沿 AO 方向 C场强大小为2kq r2 ，方向沿 OA 方向D场强大小为2kq r2 ，方向沿 AO 方向 【解析】等效法等效法分析：将 A 处的q 看做是q 和2q 组成，A 点处q 与 B、C、D、E 四点的q 在 O 点处场强为零，这时，只需要考虑2q 在 O 点处场强，直接选 C。 【例 6】(2018孝感模拟)如图所示，三根均匀带电的等长绝缘棒组成等边三角形 ABC，P 为三角形的中心，当 AB、AC 棒所带电荷量均为q，BC 棒带电荷量为2q 时，P 点场强大小为 E，现将 BC 棒取走，AB、AC 棒的电荷分布不变，则取走 BC 棒 后
10、，P 点的场强大小为() A.E 4 B.E 3 C.E 2 DE 【解析】等效法等效法分析：未取走 BC 棒时，可将 BC 棒（2q）看做是q 和3q 组成，则 P 点场强可 + + + + + + 看做是三根q 棒和一根3q 棒共同产生由对称性可知，三根q 棒在 P 点产生的场强为零，因此， P 点的场强 E 就是一根3q 棒产生的。 取走 BC 棒后，可以看做是在 BC 棒位置放上了一根q 棒和一根q 棒，同理，P 点的场强就是一根 q 棒产生的，为E 3。本题选 B. 【例 7】(2017衡阳二模)如图所示，一均匀带电荷量为Q 的细棒，在过中点 c 垂直于细棒的直线上 有 a、b、d
11、三点，且 abbccdL，在 a 点有一电荷量为 q=Q 2 的固定点电荷，已 知 b 点处的场强为零，则 d 点处场强的大小为(k 为静电力常量)() Ak5Q 9L2 Bk3Q L2 Ck3Q 2L2 Dk9Q 2L2 【解析】等效法等效法分析：在 d 点右侧距离为 L 的 e 点处同时放上一个电荷量为q 的点电荷和一个电荷 量为q 的点电荷，这相当于什么都没放。这时，d 点场强可以看做是这三个 点电荷与细棒共同产生的。由对称性可知，e 点的q 与Q 在 d 点产生的合 场强为零，因此 d 点场强只需要考虑 a 点q 和 e 点q 的电场： 2222 9 5 9 10 )3(L Q k L
12、 q k L q k L q kE。本题选 A。 【例 8】如图所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满 z0 的空间为真空。将电 荷量为 q 的点电荷置于 z 轴上 zh 处，则在 xOy 平面上会产生感应电荷。 空间任意一点处的电场皆是由点电荷 q 和导体表面上的感应电荷共同激发 的。已知静电平衡时导体内部电场强度处处为零，则在 z 轴上 zh 2处的电 场强度大小为(k 为静电力常量)() Ak4q h2 Bk 4q 9h2 Ck32q 9h2 Dk40q 9h2 【解析】等效法等效法分析：在 z 轴上 zh 处同时放上一个电荷量为q 的点电荷和一个电荷量为q 的 点电荷，这相当
13、于什么都没放。由对称性可知，h 处的q 和导体表面上的感应电荷在 xOy 平面上方共 同激发电场强度也是处处为零。因此，在 xOy 平面上方的电场，可以看做是 zh 处的q 和 zh 处q 的共同激发，则 zh 2处的电场强度向下，大小为 222 9 40 )2/3()2/(h q k h q k h q kE，本题选 D. 【总结】“等效法”的思路就是将“导致不对称的那个部分”视为“两个部分”叠合在一起形成的将“导致不对称的那个部分”视为“两个部分”叠合在一起形成的， 其中一部分与原来的其余部分组合形成对称分布，从而达到简化计算的目的。 【练习】直角坐标系 xOy 中，M、N 两点位于 x 轴上，G、H 两点坐标如图。M、N 两点各固定一负点 电荷，一电量为 Q 的正点电荷置于 O 点时，G 点处的电场强度恰好为零。静电力常量用 k 表示。若将该正 点电荷移到 G 点，则 H 点处场强的大小和方向分别为() A.3kQ 4a2 ，沿 y 轴正向B.3kQ 4a2 ，沿 y 轴负向 C.5kQ 4a2 ，沿 y 轴正向D.5kQ 4a2 ，沿 y 轴负向 提示不移走 O 点电荷， 而是在 O 点补上一个Q， 在 G 点放上一个Q。 e q q
