1、第第3课时课时 角平分线的性质角平分线的性质北师版七年级数学下册北师版七年级数学下册 问题导入问题导入1.1.什么是角平分线什么是角平分线?一条射线一条射线把一个角分成两个相等的角，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。这条射线叫作这个角的平分线。2.2.什么是点到直线的距离什么是点到直线的距离?过点作直线的垂线，过点作直线的垂线，垂线段的长度垂线段的长度就是就是点到直线的距离。点到直线的距离。3.3.下图中能表示点下图中能表示点P P到直线到直线l l 的距离的是的距离的是_。线段线段PCPC的长的长 在一张纸上任意画一个角，沿角的两边将角剪在一张纸上任意画一个角，沿角的两边
2、将角剪下，并将这个角对折，使角的两边重合，再打开纸片。下，并将这个角对折，使角的两边重合，再打开纸片。新课探究新课探究折痕与这个角有什么关系折痕与这个角有什么关系?折痕折痕是这个角的平分线。是这个角的平分线。角是轴对称图形吗角是轴对称图形吗?它的对称轴是什么它的对称轴是什么?角是轴对称图形角是轴对称图形。角平分线所在的直线是它的对称轴角平分线所在的直线是它的对称轴。角是轴对称图形，角是轴对称图形，角平分线所在的直角平分线所在的直线是它的对称轴线是它的对称轴。如图，如图，OPOP是是AOBAOB的平分线的平分线，点，点C C是是OPOP上上任意一点。在任意一点。在AOBAOB的两边上画出以的两边
3、上画出以OPOP所在直线为所在直线为对称轴的一组对应点对称轴的一组对应点D D和和DD，连接，连接CDCD和和CDCD。尝试尝试思考思考（1 1）线段）线段CDCD和和CDCD之间有什么关系之间有什么关系?说说你的理由。说说你的理由。CD CD=CDCD。理由如下：理由如下：因为因为OP是是AOB的平分线的平分线，所以所以POAPOA=POPOB。在在CODCOD和和CODCOD中，中，DO=DO，POA=POB，CO=CO。所以所以CED CED(SAS)所以所以CD=CD。（2 2）特别地，当）特别地，当CDCDOAOA时，如图所示，时，如图所示，CDCD 与与OBOB有怎样的位置关系有怎
4、样的位置关系?为什么为什么?CDCD OBOB。理由如下理由如下:因为因为 CDCDOAOA，所以所以ODCODC=90=90。由由(1)(1)可知，可知，ODCODC=ODCODC=90=90，所以所以CDCD OBOB。D（2 2）线段线段CDCD和和CDCD 之间还有之间还有(1)(1)中的关系吗中的关系吗?CDCD=CDCD。改变点改变点C C的位置的位置，线段，线段CDCD和和CD还相等吗还相等吗?由此你能得由此你能得到什么结论到什么结论?D 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。角平分线的性质角平分线的性质:几何语言几何语言:因为点因为点C
5、 C在在AOBAOB的平分线上，且的平分线上，且CDCDOAOA于点于点D D，CD CDOBOB于点于点DD。所以所以CDCD=CDCD。理由：在理由：在 RtABC 中，中，C=90，所以，所以 DCBC。因为因为 BD 是是ABC 的平分线，的平分线，DEAB，所以所以 DE=DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）1.1.如图，如图，BDBD是是 RtRtABC ABC 的一条的一条角角平分线，平分线，DEDEABAB，垂足为垂足为 E E。你认为。你认为DEDE与与DC DC 相等吗相等吗?为什么为什么?解：相等。解：相等。练习练习【课
6、本课本P133 随堂练习随堂练习 第第1题题】思考思考交流交流如图，已知如图，已知AOBAOB，如何作出它的平分线，如何作出它的平分线?思路思路：利用性质确定角平分线上的一个点；利用性质确定角平分线上的一个点；连接这个点和顶点确定角平分线。连接这个点和顶点确定角平分线。假设假设AOBAOB的平分线已作出，那么的平分线已作出，那么(1)(1)这条射线有什么特征这条射线有什么特征?(2)(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点如何确定这条射线上除端点之外的一个点?这条射线在这条射线在AOB内部，端点是内部，端点是，在这条射线上任，在这条射线上任取一点取一点(非点非点O)，这一点到边，这一点到边O
7、A，OB的距离相等。的距离相等。提示：需要确定的点是角的对提示：需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两称轴上的点，因此应当从角两边进行边进行“对称对称”的操作。的操作。例例 如图如图，已知，已知AOBAOB，请用，请用尺规作尺规作 AOBAOB 的的平分线平分线。请你说说这样请你说说这样作的道理。作的道理。1 1.任意画一个角，用尺规将它四等分。任意画一个角，用尺规将它四等分。练习练习【课本课本P133 随堂练习随堂练习 第第2题题】思考思考交流交流 过直线上一点作已知直线的垂线与作过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的角平分线，这两种尺规作图方法有一个平角的角平分线，这两种尺规作
8、图方法有什么共同点什么共同点?作一个平角的平分线的方法就是过直线上一点作作一个平角的平分线的方法就是过直线上一点作已知直线的垂线的方法，不同的是平角的平分线最已知直线的垂线的方法，不同的是平角的平分线最后是作后是作射线射线，而直线的垂线最后是作，而直线的垂线最后是作直线直线。1.1.如图，在如图，在RtRtABC ABC 中，中，BE BE 平分平分ABCABC，DEDEABAB，垂足为，垂足为D D，ACAC=3cm=3cm，那么，那么 AE AE+D DE E 的值为（的值为（）A.2cmA.2cm B.3cmB.3cm C.4cm D.5cm C.4cm D.5cmB 随堂演练随堂演练
9、2.2.如图，如图，AD AD 是是ABC ABC 中中BAC BAC 的角平的角平分线，分线，DE DE 垂直于点垂直于点 E E，S SABC ABC=7=7，DE DE=2=2，AB AB=4=4，则，则 AC AC 长是（长是（）A.3A.3 B.4B.4 C.5C.5 D.6D.6A 3.3.如图，在如图，在ABC ABC 中，中，AD AD 是它的角是它的角平分线，平分线，ABAB:AC AC=5:3=5:3，则，则S SABD ABD:S:SACD ACD=_=_。5:3ABCD 4.4.如图，如图，ABABCDCD，BPBP和和CPCP分别平分分别平分ABCABC和和DCBDC
10、B，ADAD过点过点P P，且与，且与ABAB垂直。若垂直。若ADAD=8=8，则，则点点P P到到BCBC的距离是的距离是()()CA.8 A.8 B.6B.6C.4 C.4 D.2D.25.5.某某部门要修建一座电视信号发射塔部门要修建一座电视信号发射塔，如图如图，按照设计要求按照设计要求，发射塔到两个城镇发射塔到两个城镇A A，B B的距离的距离必须相等必须相等，到两条高速公路到两条高速公路m m和和n n的距离也必须的距离也必须相等相等，发射塔应修建在什么位置发射塔应修建在什么位置?在图上标出它在图上标出它的位置的位置。解：如图所示解：如图所示，两条高速公路两条高速公路相交的角的角平分线和相交的角的角平分线和 AB AB 的的垂直平分线的交点垂直平分线的交点 P P1 1 与与 P P2 2 点点。课堂小结课堂小结角平分线的性质角平分线的性质性质性质尺规作图尺规作图应用应用角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。的对称轴。课后作业课后作业1.从教材习题中选取；从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。
