1、 周口市周口市 20182018- -20192019 学年高二年级（上）期末抽测考试学年高二年级（上）期末抽测考试 数学（理科）数学（理科） 一、选择题一、选择题. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，分别求得集合，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 则，故选 B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合 的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础
2、题. 2.命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据全称命题与存在性命题的关系，即可求得命题的否定，得到答案. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否 定为“”，故选 D. 【点睛】本题主要考查了含有量词的否定问题，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关 系，准确作出书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3.双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由双曲线的方程，可得，再根据双曲线的渐近线的方程的形式，即可求解 【详解】由双曲线的方程，可得双
3、曲线的焦点在 轴上，且， 所以双曲线的渐近线方程为，即，故选 A. 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的方程求解其渐近线的方程，其中解答中熟记双曲线的 标准方程及其简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 4.已知 ，则“”是“方程表示的曲线是椭圆”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由方程表示的曲线是椭圆时，满足，且，进而利用充要条件的判定， 即可得到答案. 【详解】由题意，可得方程表示的曲线是椭圆时，满足，且， 所以“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选 B.
4、 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及必要不充分条件的判定，其中解答中熟记椭 圆的标准方程，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的 能力，属于基础题. 5.已知，则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，以及指数函数与对数函数的单调性，逐项判定，即可得到答案. 【详解】由题意，因为，则 对于 A 中，则 ，所以，所以不正确； 对于 B 中，因为函数为单调递减函数，所以，所以不正确； 对于 C 中，因为函数为单调递增函数，又因为，则， 所以是正确的； 对于 D 中，由，所以，所以不正确，故选 C. 【点
5、睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，以及比较大小问题，其中解答中熟练应用作 差法比较，以及熟记指数函数与对数函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能 力，属于基础题. 6.已知数列的前 项和为，且，则当取得最大值时， ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当 时，当时，即可得到答案. 【详解】由题意，数列满足，即， 所以数列为等差数列， 设等差数列的公差为 ，则， 所以数列的通项公式为， 令，即，解得， 所以当时，当时， 所以数列中前 项的和最大，故选 C. 【点睛】本题主要考查了等差
6、数列的中项公式的应用，以及前 n 项和的最值问题，其中解答 中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键， 着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 7.已知变量 ， 满足约束条件则目标函数的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，画出约束条件所表示的平面区域，由目标函数，得，结合图象，得到 目标函数的最优解，即可得到答案. 【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域， 如图所示， 又由目标函数，得， 由图象可知，当直线过可行域内点 A 时，直线在 轴上的截距最小，此时 取得最大值， 又由，解得， 所以
7、目标函数的最大值为，故选 A. 【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中 解答中正确画出约束条件坐标表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解是解答的关键， 着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 8.已知等比数列中的各项均为正数，则的值为( ) A. 30 B. 15 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由等比数列的性质可得，再根据对数的运算，即可求解. 【详解】由题意，等比数列中的各项均为正数，满足， 由等比数列的性质可得 所以，故选 B. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算求值，其中解答中熟练应用等比 数列的性质，以及熟
8、练应用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力， 属于基础题. 9.已知空间三点，若向量与垂直，则 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 用点坐标表示出向量与，由向量垂直得到向量点乘等于零，计算出 的值 【详解】， , 向量与垂直， 则 即： , 解得 故选 【点睛】本题考查了运用点坐标求解向量垂直时参数的取值，运用向量垂直计算公式即可计 算出结果，较为简单 10.在正方体中，若棱长，则点 到平面的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 以 为原点，为 轴，为 轴，为 轴，建立空间直角坐标系，利用向
9、量法能求出点 到 平面的距离。 【详解】以 为原点，为 轴，为 轴，为 轴，建立空间直角坐标系， 则 , 设平面的法向量 则，取，可得 点 到平面的距离为 故选 【点睛】本题考查了点到平面的距离，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，运用公式 计算出结果，较为基础 11.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点 在双曲线的 右支上，且轴，若的面积为，则的周长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意中三角形面积结合双曲线的几何性质，运用勾股定理得到关于 的方程，求出 的值，然 后再计算出三角形周长 【详解】由题意可得， 故 轴， ， ，, , 解得 由定义可得
10、, , 根据勾股定理可得 , , 解得，或（舍去） 则， 的周长为 故选 【点睛】本题主要考查了焦点三角形的周长问题，在计算过程中熟练运用双曲线的性质来解 题，较为基础，注意计算不要出错 12.已知是等腰直角三角形，点 在线段的延长线上，若，则( ) A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 画出图形，运用余弦定理求出的长 【详解】 由图可得 , 解得或（舍去） 故选 【点睛】本题主要考查了运用余弦定理解三角形，画出图形后即可计算出结果，较为基础 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13.已知的三边长分别为 2，5，则的面积为_ 【答案】 【解析
11、】 【分析】 由余弦定理可得一内角的余弦值，进而可得正弦值，代入三角形的面积公式即可得到答案 【详解】在中，由题意不妨设的三边长分别为 则由余弦定理可得 , . 故答案为 【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，熟练掌握公式是解决本题的关键， 属于基础题。 14.已知正实数 ， 满足，则的最小值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 由题意，可得，利用基本不等式，即可求解最小值， 得到答案. 【详解】由题意，正实数 ， 满足， 则， 当且仅当，即时，取得最小值，其最小值为 4，故答案为 4. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，构造基本不 等式的条件
12、，利用基本不等式求解最小值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的 能力，属于基础题. 15.已知 是抛物线的焦点， ， 是抛物线上两点， 为坐标原点，若， 则_ 【答案】8 【解析】 【分析】 由已知条件计算出点三点共线，然后计算出三角形面积 【详解】， 则 ， , 为公共点， 则三点共线 由题可得 则 , 故答案为 【点睛】本题主要考查了抛物线与向量的综合，在计算过程中结合向量的知识将其转化为三 点共线，然后再计算三角形面积，属于基础题 16.已知数列的前 项和.设，则数列的前 10 项和为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由已知条件先推得的通项公式，然后运用裂项相消法求出最后结果 【
13、详解】 故答案为 【点睛】本题主要考查了求数列的和，需要掌握此类题目的解答过程，运用裂项相消法求出 最后的值，属于中档题 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知 函数在上单调递增；，.若为真， 为假，求实数 的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】 依题意，根据函数的单调性，求得当 为真，则；在根据三角函数的性质，求得当 为 真，则，又由命题一真一假，分类讨论，即可求解. 【详解】依题意，函数的定义域为. 由于， 故函数在和上单调递增， 若 为真，则. 因为，所以，. 若 为真，则. 若 真 假，则实数 满足无
14、解. 若 假 真，则实数 满足所以. 综上所述，实数 的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数问题，其中解答中根据函数单调性和 三角函数的性质， 正确求解命题为真时， 实数 的取值范围， 在分类讨论求解是解答的关键， 着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知正项等比数列满足，且 ， 依次成等差数列. （）求的通项公式； （）设，求数列的前 项和. 【答案】 （）（） 【解析】 【分析】 （）由题意，设的公比为 ，根据题意，求得公比，进而利用等比数列的通项公式， 即可求解. （）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前 n 项和. 【详解】 （）设的公
15、比为 . 因为 ， 依次成等差数列，, 所以所以. 解得（负值舍去）.所以. （）依题意，. 故 ， . 故 . 故 ， 即， 整理得. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式、数列的“错位相减法”，此类题目是数 列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求 和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数 形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 19.已知曲线 位于第一、四象限（含原点） ，且 上任意一点的横坐标比其到点的距离小 1. （）求曲线 的方程； （）求曲线 上到直线的距离最小的点的坐标. 【答案】 （）
16、（） 【解析】 【分析】 （）根据抛物线的定义，得到曲线 是以 为焦点，以为准线的抛物线，即可求得到曲 线的方程； （）设曲线 与直线平行的切线方程为，联立方程组，求得实数 的 值，进而可求得答案. 【详解】 （）因为曲线 上任意一点的横坐标比其到点的距离小 1， 所以任意一点到直线的距离等于其到的距离. 因此曲线 是以 为焦点，以为准线的抛物线. 所以曲线 的方程为. （）设曲线 与直线平行的切线方程为. 将与联立得. 由得. 此时，所以距离最近的点为. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义法求解抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置 关系的应用，其中解答中利用抛物线的定义，正确求解抛物线的
17、标准方程，以及合理利用直 线与抛物线联立，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属 于基础题. 20.已知的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且. （）求角 的大小； （）若，求的周长的最大值. 【答案】 （）（） 【解析】 【分析】 （）由正弦定理和两角和的正弦函数的公式，化简求得，进而得到角 的大小； （）由余弦定理和基本不等式，求得，得到，进而得到周长的最大值. 【详解】 （）由正弦定理可得. 所以. 因为，所以. 由于，故. （）由余弦定理，得. 即 ， 当且仅当时取等号. 所以，即，所以. 故的周长的最大值为. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的
18、应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地 解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键在中，通常涉及三 边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角 及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 21.如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，.过 的中点作于点 ，连接，. （）证明：平面； （）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ，求的长. 【答案】 （）见证明； （）1 【解析】 【分析】 （1）先证明，接着证明平面，.然后运用线面垂直的判定定理求出 结果 （2）分别以，所在直线为 ， ， 轴，建立空间直
19、角坐标系，求出法向量，由公式 计算出结果 【详解】 （）平面，平面， 平面平面. 四边形是矩形，. 又平面平面， 平面，. ，为的中点，. 又，平面. （）设，如图，以点 为坐标原点， 分别以，所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系. 则，. 由（）知平面，. 又，平面. 是平面的一个法向量， 易知是平面的一个法向量. . 解得， 即的长为 1. 【点睛】本题主要考查了空间位置关系，线面垂直的证明以及空间向量解决立体几何问题， 需要掌握并熟练运用，属于中档题 22.已知圆，点，点 是圆上任意一点，线段的中垂线与 交于点 . （）求点 的轨迹 的方程. （）斜率不为 0 的动直线 过点且与轨
20、迹 交于 ， 两点， 为坐标原点.是否存在常数 ，使得为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （）（）见解析 【解析】 【分析】 （1）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心和半径，结合已知可得点 的轨迹是以，为焦 点，且长轴长为的椭圆，进而求出 b，a,即可求得答案 （2）联立直线方程和椭圆方程，求出和的表达式，然后结合题意中 为定值计算出结果 【详解】 （）由，得， 所以，半径为 4. 因为线段的中垂线与交于点 ，所以， 所以. 所以点 的轨迹是以，为焦点，且长轴长为的椭圆， 所以. 所以点 的轨迹 的方程为. （）设直线，. 联立化简整理得， 所以，. 因为 ， ， 所以 . 当，即时，取定值 . 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质以及直线与圆的位置关系，在计算过程中需要注意 方法，设而不求，给出点坐标后进行计算，需要一定的计算能力，属于中档题
