1、 湖北省黄冈市湖北省黄冈市 20182018 年秋季高二年级期末考试年秋季高二年级期末考试 数学试题（理科）数学试题（理科） 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.任意抛两枚一元硬币，记事件 ：恰好一枚正面朝上； ：恰好两枚正面朝上； ：恰好两枚 正面朝上； ：至少一枚正面朝上； ：至多一枚正面朝上，则下列事件为对立事件的是（ ） A. 与 B. 与 C.
2、 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对立事件的定义，逐项判断即可. 【详解】因为 与 的并事件不是必然事件，因此 A 错；至少一枚正面朝上包含恰好两枚正面朝 上，所以 与 m 不是对立事件，故 B 错；因 与 是均表示两枚正面向上，所以 与 是相等事件， 故 C 错；所以选 D. 【点睛】本题主要考查对立事件的概念，属于基础题型. 2.某同学的 6 次数学测试成绩（满分 100 分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于 该同学数学成绩的以下说法：中位数为 84；众数为 85；平均数为 85,；极差为 12. 其中，正确说法的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B
3、【解析】 【分析】 由茎叶图分析中位数、众数、平均数、极差 【详解】根据茎叶图可知，中位数为，故正确 根据茎叶图可知，数据出现最多的是 83，故众数为 83，故错误 平均数.故正确 根据茎叶图可知最大的数为 91，最小的数为 78，故极差为 91-78=13，故错误 综上，故正确的为 故选 B 【点睛】本题主要考查了分析茎叶图中的数据特征，较为简单 3.已知双曲线方程为，则其焦点到渐近线的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 先由双曲线的方程求出焦点坐标，以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 因为双曲线方程为， 所以可得其一
4、个焦点为,一条渐近线为, 所以焦点到渐近线的距离为，故选 A. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型. 4.点的坐标分别是，直线与相交于点，且直线与的斜率的商是 ，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】 设点 M 坐标，由题意列等量关系，化简整理即可得出结果. 【详解】设，由题意可得, 因为直线与的斜率的商是， 所以，化简得，为一条直线,故选 A. 【点睛】本题主要考查曲线的方程，通常情况下，都是设曲线上任一点坐标，由题中条件找 等量关系，化简整理，即可求解，属于基础题型. 5.下列命题中的假命题是（ ） A. 对于命题
5、，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题为真命题，则都是真命题 D. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则” 【答案】C 【解析】 【分析】 利用命题的否定，判断 A；根据充要条件判断 B；由复合命题的真假判断 C；由四种命题的逆 否关系判断 D。 【详解】对于 A:，则，正确； 对于 B:满足 “”能推出“”，反之不成立，故 B 正确； 对于 C：若命题为真命题，则有一个真命题即可，故 C 错误； 对于 D：命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，正确； 故选 C. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，属于基础题型. 6.南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率 的值在
6、 3.1415926 与 301415927 之间，成为世界上第一把圆周率的值精确到 7 位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家 得出这样精确数值的时间，至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平.我们用概率模型 方法估算圆周率， 向正方形及其内切圆随机投掷豆子 （豆子大小忽略不计） ， 在正方形中的 1000 颗豆子中，落在圆内的有 782 颗，则估算圆周率的值为（ ） A. 3.118 B. 3.148 C. 3.128 D. 3.141 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆的面积与正方体的面积比，计算圆周率的值即可. 【详解】设正方形的边长为，则内切圆的半径为 ，由题意得 ，解得，
7、故选 C 【点睛】本题主要考查几何概型中的模拟方法估计概率的问题，属于基础题型. 7.某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查， 设平均每人每天做作业的时间为 分钟， 有 1200 名小学生参加了此项调查，调查所得到的数据用程序框图处理（如图） ，若输出的结 果是 840，若用样本频率估计概率，则平均每天做作业的时间在 060 分钟内的学生的概率是 （ ） A. 0.32 B. 0.36 C. 0.7 D. 0.84 【答案】A 【解析】 【分析】 由程序框图和题意，分析该程序的作用，即可求解. 【详解】由程序框图可知：该程序的作用是统计 1000 名学生中，平均每天做作业的时间不在 06
8、0 分钟内的学生的人数.由输出结果为 680，则平均每天做作业的时间在 060 分钟内的 学生人数为 1000-680=320， 故平均每天做作业的时间在 060 分钟内的学生的概率是, 故选 A. 【点睛】本题主要考查程序框图，需要先分析框图的作用，再结合题意求解，属于基础题型. 8.已知圆，直线上至少存在一点 ，使得以 为圆心，1 为半径的 圆与圆 有公共点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意转化为直线与圆有交点，运用点到直线距离小于或等于半径来求解 【详解】圆， 整理可得圆，即圆 是以（4，0）为圆心，1 为半径的圆 又直线上至少存在一
9、点 ，使得以 为圆心，1 为半径的圆与圆 有公共点， 只需与直线有公共点即可 设圆心 （4，0）到直线的距离为 d 则,即 解得 故选 C 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题关键是要转化为直线与圆相交，然后运 用求解，需要掌握解题方法 9.2018 年秋季，我省高一年级全面实行新高考政策，为了调查学生对新政策的了解情况，准 备从某校高一三个班级抽取 10 名学生参加调查.已知三个班级学生人数分别为 40 人，30 人，30 人.考虑使用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽 样和分层抽样时，将学生按三个班级依次统一编号为 1,2，100；使用系统抽样，将 学生统一
10、编号为 1,2，100，并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得的号码有下列四种情 况： 7,17,27,37,47,57,67,77，87,97；3,9,15,33,43,53,65,75,85,95； 9,19,29,39,49,59,69,79,89,99,；2,12,22,32,42,52,62,73,83,96. 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A. 都可能为分层抽样 B. 都不能为分层抽样 C. 都可能为系统抽样 D. 都不能为系统抽样 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，结合三种抽样方法得到数据的特点是：系统抽样方法得到的数据每个数据与前一 个数据的差都是 10，
11、 分层抽样方法得到的数据在 1-40 之间的有 4 个， 4170 之间的有 3 个， 71100 之间的有 3 个；依次分析四组数据，即可得出结果. 【详解】对于，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分 层抽样或系统抽样； 对于，只满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样； 对于，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样或 系统抽样； 对于，只满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样； 故选 A. 【点睛】本题主要考查分层抽样和系统抽样，由抽样方法的特征，即可判断出结果，属于基 础题型. 10.已知在平行六面体中， ，则的长为（ ）
12、 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 运用向量表示出，然后平方计算出结果 【详解】 在平行六面体中，,， ， , 则 故选 D 【点睛】本题考查了平行六面体中的长度问题，运用向量将其进行分解，线性表示出要求向 量，然后求出结果，属于中档题，需要掌握解题方法 11.已知双曲线，过其左焦点 作 轴的垂线，交双曲线于 ， 两点，若双曲 线的右顶点在以为直径的圆内，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由双曲线的方程，得出以为直径的圆的半径，再由点在圆内，可得点到圆心的距离小 于半径，从而可求出结果. 【详解】由于双曲线，则直
13、线方程为，因此， 设，所以，解之得,得, 因为双曲线的右顶点在以为直径的圆内，所以，即, 所以，所以，即,即, 所以离心率,故选 C. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，由点和圆的位置关系判断关系即可求双曲线离 心率的取值范围，属于基础题型. 12.如图，在四棱锥中，侧面是边长为 4 的正三角形，底面为正方形，侧面 底面， 为平面上的动点，且满足，则点到直线的最远距离 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，求出点的轨迹，然后求出点到直线的最远距离 【详解】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABCD 的垂线为
14、z 轴，建立空间直 角坐标系 则, 设， , , ，整理得 为底面内以为圆心，以为半径的圆上的一个动点 则点到直线的最远距离为 故选 B 【点睛】本题考查了运动点的轨迹问题，需要建立空间直角坐标系，结合题意先求出运动点 的轨迹，然后再求出点到线的距离问题 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.设边长为 2 的正方形的中心为 ，过 作平面垂线， 为中点， 则与夹角余弦值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，分别求出各点坐标，运用向量夹角的计算公式求出结果
15、 【详解】 以 O 为原点，OV 为 z 轴建立空间直角坐标系 则 B(1,1,0),E（0，0，1） ，v（0，0，2） ，C(-1，1，0) 则 , 故 则与夹角余弦值为 【点睛】本题考查了空间向量夹角余弦值，建立空间直角坐标系，运用向量夹角计算公式即 可求出结果，较为基础 14.一个车间为了规定工作原理，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，收 集数据如下： 零件数 （个） 15 20 30 40 50 加工时间 （分钟） 65 70 75 80 90 由表中数据， 求得线性回归方程， 则估计加工 70 个零件时间为_分钟 （精 确到 0.1） 【答案】101.7 【解析
16、】 【分析】 结合题意先求出线性回归方程，然后再计算出结果 【详解】由题意可得 , ， ， 则线性回归方程为 当时， 【点睛】本题考查了求线性回归方程，然后求出估计结果，需要掌握解题方法，较为基础 15.有三张卡片编号，卡片上分别写有数字 1 和 2,1 和 3,2 和 3，甲、乙、丙三人各取走 一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 1”，乙看了丙的卡片后 说：“我与丙的卡片上上相同的数字是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之后大于 3”，则甲 取走的卡片编号为_（填） 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据丙的说法推出丙的卡片上写着 1 和 3，或 2 和 3，再由乙的
17、说法，即可推出乙丙的卡片， 进而可确定甲的卡片. 【详解】由丙的说法可退出，丙的卡片上写着 1 和 3，或 2 和 3；又由乙的说法推出，乙和丙 都有 1，所以乙的卡片是 1 和 2，丙的卡片是 1 和 3，因此甲的卡片是 2 和 3，即甲取走的是 卡片 C.故答案为 C. 【点睛】本题主要考查简单的合情推理，由题中条件进行推理即可得出结果，属于基础题型. 16.给出下列命题，其中所有正确命题的序号是_ 抛物线的准线方程为； 过点作与抛物线只有一个公共点的直线 仅有 1 条； 是抛物线上一动点，以 为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过定点. 抛物线上到直线距离最短的点的坐标为. 【答案】
18、 【解析】 【分析】 运用直线与抛物线的位置关系分别判定命题的正确性 【详解】抛物线的标准方程为不是；故错误 过点作与抛物线只有一个公共点的直线 有两条，一条是过点与抛物线 相切的直线，一条是过点平行于 轴的直线，故错误 设,则以 P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆的方程为,化 简可得,当时恒成立，故此圆一定过定点，故正确 设抛物线上到直线距离最短的点的坐标为 则 当时， 取最小值 则抛物线上到直线距离最短的点的坐标为，故正确 综上其中所有正确命题的序号为 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题时需要进行分类讨论，还考查了计算能 力，注意解题方法，本题属于中档题 三、解答题三、解答题
19、（本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知命题 ：方程表示椭圆，命题. （1）若命题 为真，求实数 的取值范围； （2）若为真，为真，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 (1)由命题 为真，可知成立，讨论和，即可得出结果; (2)由为真，为真可知： 为假， 为真，进而可求出结果. 【详解】 （1）命题 为真， 当时，； 当时，不等式恒成立. 综上知，. （2）若 为真，则且 若为真，为真，为假， 为真. . 【点睛】本题主要考查复合命题的真假，
20、其中常涉及一元二次不等式成立或恒成立的问题， 需要结合题意认真分析，避免失误即可，属于基础题型. 18.（1）已知函数，其中，求函数的图象恰好经过第一、二、 三象限的概率； （2）某校早上 8:10 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7:308:00 之间到校，且每 人到该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差 10 分钟以上的概率. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 (1)先求出函数的系数构成的数对的个数，再求出满足题意的数对的个数，由古典概型 的概率公式即可求出结果; (2)先设小张和小王到校时刻分别为，依题意确定的关系，作出对于图像，由几何概型的 计算公式，即可求
21、解. 【详解】 （1）设函数的系数构成的数对为，则由题意知数对可能为： ， 共 16 种情况. 要使得函数的图象经过第一，二，三象限，则需，即 符合条件的数对为，共 3 对. 模型符合古典概型的定义，所以所求事件的概率为. （2）设小张和小王到校时刻分别为，且. 两人到校时刻相差 10 分钟等价于，且. 模型符合几何概型的定义，由图可知： 所以所求事件的概率为. 【点睛】本题主考查古典概型和几何概型，需要学生熟记列举法求古典概型概率的方法，以 及几何概型的概率计算公式，属于基础题型. 19.如图，已知在四棱锥中，底面， ，点 为棱的中点, （1）试在棱上确定一点，使平面平面，说明理由； （2）
22、若 为棱上一点，满足，求二面角的余弦值. 【答案】 （1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 取中点，然后证明面，面即可得证 建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，运用夹角公式求出二面角的余弦 值 【详解】 （1）取中点，则中点即所求的点.理由如下： 分别为的中点，. 又面，面.面. 易知四边形 ABMP 为平行四边形，所以，面，面， 面. 又，平面平面. （2）由题意知两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则向量，. 由点 在棱上，设，. 故. 由，得，因此，解得. 即. 设为平面的法向量， 则即. 不妨设，可得平面的一个法向量为. 取平面的法向量， 则. 易知，二面角是锐角，
23、 所以其余弦值为. 【点睛】本题考查了面面平行、二面角的余弦值，在证明面面平行时运用其判定定理求证， 二面角的余弦值可以建立空间直角坐标系，运用向量夹角公式求出结果。 20.为了了解我市参加 2018 年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取 60 名同学将 其成绩（百分制，均为正数）分成六组后，得到部 分频率分布直方图（如图） ，观察图形，回答下列问题： （1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值； （3）根据评奖规则，排名靠前 10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分？ 【答案】 （1）详见解析（2）众数为
24、：75 和 85，均值为：（3）88 分 【解析】 【分析】 由频率分布直方图即可计算出分数在内的频率 由频率分布直方图得到本次考试成绩的众数，然后计算平均值 结合题意计算出排名靠前 10%的分数 【详解】 （1）设分数在内的频率为 ，根据频率分布直方图，则有 ，可得， 分数在内的频率为 0.25. 所以频率分布直方图为： （2）由图知，众数为：75 和 85 均值为：. （3）因为分数在内的频率为 0.25，内的频率为 0.05， 而 所以得分前 10%的分界点应在 80 至 90 之间. 设所求的分界点为， 则，解得. 所以得分前 10%的分界点为 88，即获奖的同学至少需要 88 分.
25、【点睛】本题考查了频率分布直方图的实际运用，在解题过程中一定要会分析频率分布直方 图，并能正确计算出结果，较为基础。 21.已知圆，直线. （1）若直线 与圆 交于不同的两点，当时，求实数 的值； （2）若， 是直线 上的动点，过 作圆 的两条切线，切点为，试探究：直线 是否过定点.若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由. 【答案】 （1）（2）过定点 【解析】 【分析】 运用弦长公式结合计算出圆心到直线的距离，即可求出斜率 解法 1：设切点，求出两条切线方程，计算出直线的方程，从而 得到定点坐标；解法 2： 、 、 、 四点共圆且在以为直径的圆上，求出公共弦所在直线 方程，然后再求定点坐标
26、 【详解】 （1），设 到的距离为 ，则 点 到 的距离. （2）解法 1：设切点，则圆在点 处的切线方程为 ，所以，即. 同理，圆在点 处的切线方程为， 又点是两条切线的交点， 所以点的坐标都适合方程， 上述方程表示一条直线，而过 、 两点的直线是唯一的， 所以直线的方程为. 设，则直线的方程为， 即，由得， 故直线过定点. 解法 2：由题意可知： 、 、 、 四点共圆且在以为直径的圆上， 设，则此圆的方程为：. 即： 又 、 在圆上， 两圆方程相减得 即，由得， 故直线过定点. 【点睛】本题考查了直线与圆相交，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线 距离，然后求出结果，在求直线恒
27、过定点坐标时一定要先表示出直线方法，然后再求解。 22.已知椭圆直线，若椭圆 上存在两个不同的点关于 对称，设的 中点为. （1）证明：点在某定直线上； （2）求面积的取值范围. 【答案】 （1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 讨论和两种情况，当时设直线方程，代入方程 计算出结果 运用弦长公式表示出，运用点到直线的距离公式求出高，然后表示出面积，计算出取值 范围 【详解】 （1）当时，显然不符合题意，舍； 当时，设直线方程为，则由相减，整 理得， 即，. 又，. ，即. . 故点在定直线上. （2）由（1）易得点， 由题意知，点必在椭圆内部， ，解得或. 令，则，方程为， 代入整理得， ， ，由于，. ， 点 到直线的距离为 由知，所以. 【点睛】本题考查了点在定直线上，在解答此类题目时需要计算出点坐标的横或纵坐标为常 数，本题在求解三角形面积时运用了弦长公式求底，点到直线距离公式求高，还考查了计算 能力。
