1、茂名市 2021 届五校联盟高三级第一次联考 数学试题 本试卷共 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡对应位置上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.复数 2i 1i ，的虚部为 A.1
2、 B.1 C.i D.i 2.已知集合 Ax| x1 x1 0，BxZ|yln(6xx2)，则 AB A.0，1 B.1，0，1 C.(1，1 D.1，1 3.己知向量|a|4，|b|8，a与b的夹角为 60 ，则|2ab| A.53 B.83 C.82 D.63 4.电影夺冠讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体 育改革 40 年的力作，该影片于 2020 年 09 月 25 日正式上映。在夺冠 ，上映当天，一对夫 妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的 4 张电影票恰好在同一排且连在一起。为 安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数
3、是 A.8 B.12 C.16 D.20 5.若 a( 2 3 ) 1，blog 23，c( 1 2 )0.3，则 A.abc B.cba C.acb D.cab 6.在ABC 中，B 4 ，AD 是 BC 边上的高，且 CD2AD，则 cosBAC A. 3 10 10 B. 10 10 C. 10 10 D. 3 10 10 7.十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础。著名的“康托三分集”是数学理性思 维的构造产物，具有典型的分形特征其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段，去掉中间 的区间段( 1 3 ， 2 3 )，记为第一次操作；再将剩下的两个区0， 1 3 ， 2 3 ，1
4、分别均分为三段， 并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将 剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段。操作过程不断地进行下去， 以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集” 。若使去掉的各区间长度之和不小于 9 10 ，则 需要操作的次数 n 的最小值为(参考数据：lg20.3010，lg30.4771) A.4 B.5 C.6 D.7 8.若函数 f(x) 1 2 cos2x3a(sinxcosx)(4a1)x 在 2 ，0上单调递增，则实数 a 的取值 范围为 A. 1 7 ，1 B.1， 1 7 C.(， 1 7 1，) D.1，) 二、
5、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9.空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其 对应关系如表： 如右下图是某市 12 月 1 日20 日 AQI 指数变化趋势，则下列叙述正确的是 A.这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100 B.这 20 天中的中度污染及以上的天数占 1 3 C.该市 12 月的前半个月的空气质量越来越好 D.总体来说，该市 12 月，上旬的空气质量比中旬的空气质量好 10.函数f(x)
6、2sin(x2) cosx(00) 个单位得到函数 g(x)sin(2x 6 )1 的图像，则下列结论正确的是 A.直线 x 4 是 yf(x)的一条对称轴 B.函数 yf(x)的最小正周期是 C.函数 yf(x)的值域是0，2 D. 的最小值是 6 11.双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦点在圆 O：x2y213 上，圆 O 与双曲线 C 的渐 近线在第一、二象限分别交于 M、N 两点，点 E(0，a)满足EOEMEN0(其中 O 为坐 标原点)，则正确说法是 A.双曲线 C 的一条渐近线方程为 3x2y0 B.|OE|1 C.双曲线 C 的离心率为 13 2 D
7、.OMN 的面积为 6 12.如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，E，F 分别是棱 AA，CC的中点，过直线 EF 的平面分别与棱 BB，DD交于 M，N，设 BMx，x(0，1)，则正确的说法是 A.四边形 MENF 为平行四边形 B.若四边形 MENF 面积 Sf(x)，x(0，1)，则 f(x)有最小值 C.若四棱锥 AMENF 的体积 Vp(x)，x(0，1)，则 p(x)是常函数 D.若多面体 ABCDMENF 的体积 Vh(x)，x( 1 2 ，1)，则 h(x)为单调函数 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.设数列an的前 n 项和为
8、Sn，且 an2n1，则数列 n S n 的前 20 项和为 。 14.已知直线 yx1 是曲线 f(x)ln(xa)的切线，则 a 。 15.设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F(1，0)，准线为 l，过焦点的直线交抛物线于 A，B 两点， 分别过 A，B 作 l 的垂线，垂足为 C，D，若|AF|4|BF|，则|AB| 。CDF 的面积 为 。(本题第一个空 2 分，第二个空 3 分) 16.如图，已知正方体的 ABCDA1B1C1D1棱长为 2，点 M，N 分别是棱 BC，C1D1的中点， 点 P 在平面 A1B1C1D1内， 点 Q 在线段 A1N 上， 若 PM5， 则 PQ 长
9、度的最小值为 。 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。 17.(满分 10 分) 如图，在平面四边形 ABCD 中，B120 ，BC2，ABC 的面积为 23。 (1)求 AC； (2)若ADC60 ，求四边形 ABCD 周长的最大值。 18.(满分 12 分) 在a2，a3，a44 成等差数列；S1，S22，S3成等差数列；an1Sn2 中任选一个，补 充在下列问题中，并解答。 在各项均为正数等比数列an中，前 n 项和为 Sn，已知 a12，且 。 (1)求数列an的通项公式； (2)若 bn(n1)log2an，记数列 2 n 4n2
10、 b 的前 n 项和为 Tn，证明 Tn2。 19.(满分 12 分) 已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为菱形，PDPB，H 为 PC 上的点，过 AH 的平面分别 交 PB，PD 于点 M，N，且 BD/平面 AMHN。 (1)证明：MNAH； (2)当 H 为 PC 的中点，PAPC3AB，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60 ，求平面 ABCD 与平面 AMHN 所成锐二面角的大小。 20.(满分 12 分) 受新冠肺炎疫情影响，上学期同课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学 们的视力造成了非常大的损害。我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年 级
11、2000 名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了 100 名学生的体检表，绘制了频率分 布直方图如下左图： (1)求 a 的值，并估计这 2000 名学生视力的平均值(精确到 0.1)； (2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前 50 名与后 50 名的学生进行 了调查，得到的数据如右上列联表，根据表中数据，能否有 95%把握认为视力与学习成绩有 关? (3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的 高度重视。近年来我市空军飞行员录取情况喜人，继 2019 年我市有 6 人被空军航空大学录取 之后，今年又有 3 位同学顺利拿到了空军
12、航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实 立德树人根本任务已初见成效。2020 年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于 5.0，若以 该样本数据来估计全市高三学生的视力， 现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学， 这 3 名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望。 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中 nabcd。 21.(满分 12 分) 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点是 F(c，0)，P 椭圆上的一动点，且|PF|的最小值 是 1，当 PF 垂直长轴时，|PF| 3 2 。 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 相切，且交圆 O：x2y24 于 M，N 两点，求MON 面积的最大值， 并求此时直线 l 方程。 22.(满分 12 分) 已知函数。f(x)x2m，g(x)xlnx。 (1)若函数 F(x)f(x)g(x)，求函数 F(x)的极值； (2)若 f(x)g(x)xexx22x2ex在 x(0，4)时恒成立，求实数 m 的最小值。
