1、 柳州市柳州市 20202121 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试 理科数学理科数学( (参考答案参考答案) ) 一、选择题：一、选择题：(每小题 5 分, 满分 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A D D C D C D A B C 二、填空题：二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 137 1415 2 1550 16 51 2 三、解答题：三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分） 17解：（1） 222 22cosbcbacabcC ， 222 2 cos 2 bcbca aC bc ， 1 分 由余弦定
2、理可得 2coscosbcAaC，2 分 由正弦定理可得 2sincossincossincosBACAAC，3 分 ABC， 2sincossincoscossinsinsinBACACACAB ， 4 分 sin0B， 1 cos 2 A 5 分 由0,A，则 3 A .6 分 （2）如图，在BCD中，2BD ，1CD， 由余弦定理得： 222 122 1 2cos54cosBCDD ，7 分 3 AB ， 3 C ，ABC为等边三角形， 2 15 3 sin3cos 234 ABC SBCD ，8 分 1 sinsin 2 BDC S=BDDCDD ，9 分 5 35 3 sin3cos
3、2sin 44 5 3 3 2 4 ABDC SDDD 四边形 ， 10 分 sin()1 3 D ， 11 分 (0, )D，即 5 6 D 12 分 18 解： （1） 应选择模型， 1 分 因为模型每组数据对应的残差绝对值都比模型的小，残差波动小，残差点比较均 匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高（言之有理即 可）3 分 （2）由（1）知，需剔除第一组数据，得到下表 x 6 7 8 9 10 y 3.5 5.2 7.0 8.6 10.7 4 分 则上表的数据中， 7.5 65 8 5 x ， 5.9 60.4 7 5 y ，5280 x y ， 2 5320 x ， 5 1 299.
4、85 0.4297.8 ii i x y ， 5 2 1 35525330 i i x ， 8 分 所以 5 1 5 22 1 5 297.828017.8 1.78 33032010 5 ii i i i x yx y b xx ，9 分 7 1.78 87.24aybx ， 10 分 得模型的回归方程为1.787.24yx， 11 分 则11x 时，1.78 11 7.2412.34mmy ， 当光照时间为11h时，该植物的平均增长高度为12.34mm 12 分 19（1）证明：AB是底面圆的直径，AC与圆切于点A ， AC AB ，1 分 又PO底面，则POAC， 2 分 POABO，A
5、C 面PAB， 则ACPB 3 分 在三角形PAB中， 2 2 PAPBAB PA PB 4 分 由PAACA，PB 面PAC，5 分 PB 面PBC 平面PBC 平面PAC； 6 分 （2）解：OBPO，ODPO， BOD为二面角BPOD的平面角， 2 3 BOD ，7 分 如 图 建 立 坐 标 系 ， 易 知1OB ， 则0,1, 0A，0,1,0B， 31 ,0 22 D ， 2 3 , 1,0 3 C ，0,0,1P， 31 1 , 32 2 E ，9 分 由（1） 知0 , 1 ,1BP 为平面PAC的一个法向量， 10 分 设平面ODE的法向量为, ,nx y z， 31 131
6、1 ,0 32 2322 OExyz ， 3131 ,00 2222 ODxy ， 解得：3,3,1n ， 11 分 设平面PAC与平面DOE所成的二面角为，则 26 cos 13 n BP n BP 平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值为 26 13 .12 分 20解：（1）设焦距为2c，由已知 3 2 c e a ，22b， 1b， 2a，.2 分 椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y. .4 分 （2）设 1122 ,M x yN x y，联立 2 2 1 4 ykxm x y 得 222 418440kxkmxm ，5 分 依题意， 2 22 84 41 440kmkm
7、， 化简得 22 41mk， 6 分 2 1212 22 844 , 4141 kmm xxx x kk ， 7 分 22 12121 212 y ykxmkxmk x xkm xxm， 8 分 若 5 4 OMON kk， 则 12 12 5 4 y y x x ， 即 1212 45y yx x， 9 分 22 1 2121 2 4445k x xkm xxmx x， 10 分 2 22 22 41 8 45440 4141 m km kkmm kk ， 即 222222 4518410kmk mmk ， 化简得 22 5 4 mk， 11 分 由得 22 615 0, 5 204 mk.
8、 点,m k在定圆 22 5 4 xy上. （没有求k范围不扣分） 12 分 21 解：（1） 1 ( )0( ), x f xfxm的定义域是（ ，）， 1 分 若0m， 则( ) 0fx ，( )f x在定义域内单调递增， 无最大值； 2 分 若0m，当 1 (0,)x m 时，( )0fx ，( )f x单调递增； 当 1 ()x m ，时，( )0fx ，( )f x单调递减。 当 1 x m 时，( )f x取得最大值， 即 1 ln()0 m ， 所以1m 3 分 又 1 ( )1f e e ， ( )2f ee 4 分 函数( )f x在xe 处的切线方程为 1 (1)1yx e
9、 5 分 （2）若( )( )f xg x恒成立，即 ln1 1 x x me x 在（0，+ ）恒成 立 6 分 设 ln1 ) x x xe x （，则 2 2 ln ) x x ex x x （ 设 2 ( )ln x Q xx ex，则 2 1 ( )(2 )0 x Q xxx e x 7 分 ( )Q x在其定义域内单调递增，且 1 ( )0 2 Q，(1)0Q 所以( )Q x有唯一零点 0 x 8 分 而且 0 2 00 ln0 x x ex，所以 0 0 0 0 ln x x x e x ，两边同时取对数得 0000 l nl n (l n)(l n)xxxx ， 易证明函数l
10、nyxx是增函数， 所以 00 lnxx ， 即 0 0 1 x e x 9 分 由)x（在 0 0,x（）单调递减，在 0 x （ ，）上单调递增，可得 10 分 0 00 0 000 ln111 )()1 x xx xxe xxx （ 11 分 于是m的取值范围是 (,0 12 分 22解：（1）由于直线l的参数方程为 82 32 42 32 xt yt （t为参数）， 消去参数t，得直线l的普通方程为 40 xy ，2 分 由 222 xy， cosx ，3 分 得曲线C的直角坐标方程为 22 60 xyxa.4 分 （2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，并整理， 得 2 5
11、 264 0 39 tta， (*) 5 分 依题意，直线l与曲线C相交于两点，则有 2 5 264 ()4()0 39 a ，即得 17 2 a 6 分 设 1 t， 2 t是方程(*)的两个根，则有 得 12 5 2 3 tt ， 1 2 64 9 t ta ，7 分 由于点 8 4 , 3 3 P 恰为线段AB的三等分点， 不妨设 12 2tt ， 则 8 分 2 5 2 3 t ，且 2 2 3250 929 a t ，9 分 解得：4a，符合条件0a .a的值为 4. 10 分 23解：（1）不等式 f xx即12xxx . 当1x 时，化简得3x .解得 1x ；1 分 当21x 时，化简得21xx .解得 1 1 3 x；2 分 当2x时，化简得3x.此时无 解. 3 分 综上，所求不等式的解集为 1 | 3 x x .4 分 （2） 12123xxxx，当且仅当2x时等号成 立. 5 分 3M ，即 491abc.6 分 又, ,0a b c ， 111111 (49 )abc abcabc 7 分 2 111 49abc abc 8 分 2 12336. 9 分 当且仅当 111 49 abc abc ,即 1 6 a ， 1 12 b ， 1 18 c 时取等号， 111 abc 的最小值为 36. 10 分
