1、第四讲第四讲 万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用 专题一专题一 2021 内 容 索 引 01 02 体系构建体系构建 真题感悟真题感悟 高频考点高频考点 能力突破能力突破 体系构建体系构建 真题感悟真题感悟 【网络构建网络构建】 【高考真题高考真题】 1.(2020全国卷)嫦娥四号探测器于2019年1月在月球背面成功着陆,着陆 前曾绕月球飞行,某段时间可认为绕月做匀速圆周运动,圆周半径为月球半 径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍,地球质量是月球质量的Q倍, 地球表面重力加速度大小为g。则嫦娥四号绕月球做圆周运动的速率为 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 本题以嫦娥四
2、号探测器绕月运行为背景,意在考查万有引力定律。 嫦娥 四号探测器绕月球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,G 月 (月)2=m 2 月,解 得v= 月 月 ;在地球表面G 地 2 =mg,其中R=PR月,m地=Qm月,联立可得v= 选项 D 正确。 情境剖析 本题属于基础性题目,以“嫦娥四号探测器绕月运动”为素材创 设科技类情境。 素养能力 本题利用探测器绕转现象考查万有引力定律,属于对物理观念 和科学思维的考查,对考生的理解能力和逻辑推理能力有一定要求。 2.(2020山东卷)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m 的着陆器在着陆火星前,会在火星表面附近经历一个时长为t0、速
3、度由v0 减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍,半径约为地球的0.5 倍,地球表面的重力加速度大小为g,忽略火星大气阻力。若该减速过程可 视为一个竖直向下的匀减速直线运动,此过程中着陆器受到的制动力大小 约为( ) A.m 0.4g-0 0 B.m 0.4g+0 0 C.m 0.2g-0 0 D.m 0.2g+0 0 答案 B 解析 地球表面重力加速度 g= 2 ,火星表面重力加速度 g= 0.1 (0.5)2=0.4g。 着陆 器减速的加速度大小 a=0 ,根据牛顿第二定律有 F-mg=ma,得出制动力 F=m(0.4g+0 ),选项 A、C、D 错误,选项 B 正确。 情境剖析
4、 本题属于基础性题目,以“天问1号火星探测”为素材创设科技类 情境。 素养能力 本题利用万有引力定律求解火星表面的重力加速度,然后利用 牛顿第二定律求力,考查了运动与相互作用等物理观念,对考生的理解能力、 分析综合能力有一定要求。 3.(2019全国卷)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动, 它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别 为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金R地a地a火 B.a火a地a金 C.v地v火v金 D.v火v地v金 答案 A 解析 由万有引力提供向心力得, 2 =ma= 2 。由 a= 2 可知,a 1 2,可判断 A 正确、B
5、 错误;由 v= 可知,半径增加,速度减小,可判断 C、D 错误。 情境剖析 本题属于基础性题目,以“行星公转”为素材创设自然现象类情 境。 素养能力 本题利用行星公转现象考查行星的绕转规律,属于对物理观念 和科学思维的考查,主要考查考生的理解能力。 4.(2018全国卷)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉 冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms,假设星体为质量均匀分布的球 体,已知万有引力常量为6.6710-11N m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的 密度最小值约为( ) A.5109kg/m3 B.51012 kg/m3 C.51015
6、kg/m3 D.51018 kg/m3 答案 C 解析 设星体“赤道”表面上有一质量为 m 的物体,当其刚好不脱离星体时,星 体的体积最大,密度最小,其所受万有引力提供物体随星体做匀速圆周运动 的向心力,有 G 2 =m(2 )2r,星体密度 = = 4 3 3,解得 = 3 2=510 15 kg/m3, 选项 C 正确。 情境剖析 本题属于应用性题目,以“射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星”为 素材创设科技类情境。 素养能力 本题考查星体稳定不解体时的最小密度的计算,属于对物理观 念和科学思维的考查,主要考查考生的理解能力和逻辑推理能力。解题时 要注意星体赤道上的物体需要的向心力最大,最容易
7、因星球自转而脱离星 体,当恰好脱离时与星体表面的弹力为零,万有引力全部提供向心力。 5.(多选)(2018全国卷)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并 的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它 们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看 作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知 识,可以估算出这一时刻两颗中子星( ) A.质量之积 B.质量之和 C.速率之和 D.各自的自转角速度 答案 BC 解析 设两中子星质量为 m1、m2,环绕半径为 r1、r2,两星间距为 r。所以有 G 12 2 =m12r
8、1 G 12 2 =m22r2 可解得 m1= 222 ;m2= 212 所以 m1+m2= 23 ,故 B 项正确; 设两星速率分别为 v1、v2。所以有 v1+v2=(r1+r2)=r 由题意可得 、r,故 C 项正确。 情境剖析 本题属于综合性、创新性题目,以“探测到来自双中子星合并的 引力波”为素材,创设学习探索类问题情境。 素养能力 本题利用双星模型考查万有引力定律的应用,属于对物理观念 和科学思维的考查,对考生的模型建构能力、信息加工能力、逻辑推理能 力和分析综合能力有较高要求。 高频考点高频考点 能力突破能力突破 考点一考点一 万有引力定律及天体质量和密度的求解万有引力定律及天体
9、质量和密度的求解(H) 规律方法 天体质量及密度的估算方法 1.天体质量的估算一般有下列两种情况 (1)已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期,由 2 =m 2 2 r 得 M=4 23 2 。 (2)已知天体表面重力加速度和天体半径,由 mg=G 2 得 M= 2 。 2.天体密度的估算一般是在质量估算的基础上利用 M= 4 3R 3 进行计算,同时注意 R 与 r 的区别。 【典例1】(2020广西南宁高三第一次适应性测试)若宇航员在月球表面附 近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球,测出小球从抛出到落地的位移为 L。已知月球半径为R,万有引力常量为G,则下列说法正确的是( ) A.月球表
10、面的重力加速度 g月= 02 2-2 B.月球的质量 m月= 202 (2-2) C.月球的第一宇宙速度 v=v0 2 2-2 D.月球的平均密度 = 302 2(2-2) 答案 C 解析 小球做平抛运动,依题意有 h=1 2g 月t2、 2-2=v0t,则 g月=20 2 2-2 ,选项 A 错误;由 g月= 月 2 ,得 m月=2 202 (2-2),选项 B 错误;第一宇宙速度 v= 月=v0 2 2-2,选项 C 正确;根据 m 月=4 3R 3,得月球平均密度 = 302 2(2-2),选项 D 错误。 解题指导 审题 读取题干 获取信息 月球表面附近 重力加速度不变,月球表面物体的
11、重 力等于月球对物体的万有引力 自高h处以初速度v0水平抛出一个小 球,测出小球从抛出到落地的位移为 L 可求月球表面物体平抛运动的加速 度,即月球表面的重力加速度 月球半径为R,万有引力常量为G 求得月球表面的重力加速度的前提 下可求月球质量 破题根据平抛运动的初速度、水平位移和竖直位移可求月球表面的重力 加速度,进一步用“黄金代换”可求月球质量,结合月球体积公式可求月球密 度。 【类题演练类题演练】 1.(多选)已知人造航天器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动,经过时 间t(t小于航天器的绕行周期),航天器运动的弧长为s,航天器与月球的中心 连线扫过角度为,万有引力常量为G,则( ) A.
12、航天器的轨道半径为 B.航天器的环绕周期为2 C.月球的质量为 3 2 D.月球的密度为 32 42 答案 BC 解析 根据几何关系得r= ,故A错误;经过时间t,航天器与月球的中心连线扫 过角度为,则: = 2,得T= 2 ,故B正确;由万有引力充当向心力而做圆周运 动,所以: 2 =mr4 2 2 ,所以:M=4 23 2 = 3 2,故 C 正确;人造航天器在月球表面 附近绕月球做匀速圆周运动,月球的半径等于 r,则月球的体积:V=4 3r 3,月球 的密度为 = = 32 42,故 D 错误。故选 BC。 2.(2020广东广州广大附中高三模拟)地球半径为R,在距球心r处(rR)有一
13、颗同步卫星,另有一半径为2R的星球A,在距其球心2r处也有一颗同步卫星, 它的周期是72 h,那么,A星球的平均密度与地球平均密度的比值是( ) A.13 B.31 C.19 D.91 答案 C 解析 万有引力提供向心力 G 2 =m(2 )2r,则 M=4 23 2 、密度 = = 423 2 4 3 3 = 33 23,因为星球 A 的同步卫星和地球的同步卫星的轨道半径比为 21,星球 A 和地球的半径比为 21,两同步卫星的周期比 31,所以 A 星球和地球的 密度比为 19,故只有选项 C 正确。 3.(2020河北石家庄高三教学质量检测)嫦娥四号着陆器已完成第二十月昼 工作,于202
14、0年7月27日按地面指令完成月夜模式设置,进入第二十月夜,远 远超出设计寿命。若嫦娥四号经过若干次轨道调整后,先在距离月球表面 h的高度处绕月球做匀速圆周运动,然后开启反冲发动机,嫦娥四号着陆器 暂时处于悬停状态,最后实现软着陆。月球的半径为R且小于地球的半径, 月球表面的重力加速度为g0且小于地球表面的重力加速度,引力常量为G。 不考虑月球的自转,则下列说法正确的是( ) A.嫦娥四号的发射速度大于地球的第二宇宙速度 B.嫦娥四号绕月球做匀速圆周运动的速度可能大于地球的第一宇宙速度 C.由题可知月球的平均密度= D.嫦娥四号在绕月球做匀速圆周运动的周期为 30 4 T=2 + 02 答案 C
15、 解析 发射速度大于第二宇宙速度就能脱离太阳束缚,飞到太阳系外进入银河系,而 嫦娥四号还是在地月系内运动,故其发射速度大于地球的第一宇宙速度而小于第二 宇宙速度,选项 A错误;根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力,有 mg表=m1 2 星,可得星球的第一宇宙速度为 v1= 表星,因 g 地g0,R地R,故月球的第一 宇宙速度小于地球的第一宇宙速度,而嫦娥四号的运行速度小于月球的第一宇宙速 度,故嫦娥四号绕月球表面做匀速圆周运动的速度一定小于地球的第一宇宙速度,选 项 B 错误;对月球表面的物体有 G 月 2 =mg0,而 M月= 4 3R 3,联立解得 = 30 4,选项 C 正确;对嫦
16、娥四号做匀速圆周运动,有 G 月 (+)2=m 42 2 (R+h),G 月 2 =mg0,联立可得周期 为 T=2 (+) 3 02 ,选项 D错误。 考点二考点二 卫星的定轨和变轨问题卫星的定轨和变轨问题 考法考法1 卫星运行参量的分析卫星运行参量的分析(H) 规律方法 1.在讨论有关卫星的运动规律时,关键要明确向心力、轨道半 径、线速度、角速度、周期和向心加速度,它们之间彼此影响、互相联系。 2.不管是定性分析还是定量计算,必须抓住卫星运动的特点。万有引力提 供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力,根据 求出相应物理量的表达式即可讨论或求解,需要注意的是a、v、T均与 卫星质量无关。 G 2
17、 =m 2 =m2r=m4 2 2 r=ma 3.两种卫星的特点 (1)近地卫星 轨道半径=地球半径。 卫星所受万有引力=mg。 卫星向心加速度=g。 (2)同步卫星 同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。 所有地球同步卫星都在赤道上空相同的高度上。 【典例2】(2020四川眉山高三三诊)我国在酒泉卫星发射中心用“快舟一号” 甲运载火箭,以“一箭双星”方式,成功将微重力技术实验卫星和潇湘一号07 卫星发射升空,卫星均进入预定轨道。假设微重力技术实验卫星轨道半径 为R1,潇湘一号07卫星轨道半径为R2,两颗卫星的轨道半径R1R2,两颗卫星 都做匀速圆周运动。已知地球表面的重力加速
18、度为g,则下面说法中正确 的是( ) A.微重力技术实验卫星在预定轨道的运行速度为 B.卫星在R2轨道上运行的线速度大于卫星在R1轨道上运行的线速度 C.卫星在R2轨道上运行的向心加速度小于卫星在R1轨道上运行的向心加 速度 D.卫星在R2轨道上运行的周期小于卫星在R1轨道上运行的周期 1 答案 C 解析 由万有引力提供向心力有 G 12 =m1 2 1 得 v1 = 1 ,设地球半径为 R,则有 G 2 =mg,联立得 v1 = 1 = 2 1 ,由于 RR1,故 v1 1,选项 A 错误;由公式 G 2 =m 2 得 v= ,由于 R1R2,故卫星在 R2轨道上运行的线速度小于卫星在 R1
19、轨道上运行的线速度,选项B错误;由公式G 2 =ma得a= 2 ,则卫星在R2轨道 上运行的向心加速度小于卫星在 R1轨道上运行的向心加速度,选项C 正确;由开 普勒第三定律 3 2=k 可知,由于 R1vA,对 B、C 卫星,由 v= 可 知 vBvC,故 vBvCvA,选项 A 正确;A、C 周期相同,而对 B、C 卫星,根据 T=2 3 可知,C的周期大于B,可知运行周期最长的是A、 C,选项B错误;A、 C 的角速度相同,则由 a=2r 可知 aCaA,对 B、C 卫星,由 a= 2 可知 aBaC, 可知 aBaCaA,向心加速度最小的一定是 A,选项 C 错误;三个物体的质量关 系
20、不确定,不能比较受到万有引力的大小,选项 D 错误。 5.(2020三湘名校教育联盟高三第二次大联考)我国嫦娥四号探测器已成功 发射,实现人类首次在月球背面无人软着陆。通过多次调速让探月卫星从 近地环绕轨道经地月转移轨道进入近月环绕轨道。已知地球与月球的质 量之比及半径之比分别为a、b,则关于近地卫星与近月卫星做匀速圆周运 动的下列判断正确的是( ) A.加速度之比为 B.周期之比为 3 C.线速度之比为 D.从近地轨道进入到地月转移轨道,卫星必须减速 答案 B 解析 根据 a= 2 可知, 地 月 = 地月2 月地2 = 2,选项 A 错误;由 T=2 3 可得 地 月 = 地3月 月3地
21、= 3 ,选项B正确;根据v= 可得 地 月 = 地月 月地 = ,选项C错误 从近地轨道进入到地月转移轨道,卫星必须要加速变轨,选项 D 错误。 6.(2020安徽马鞍山高三下学期第二次质检)2019年12月16日15时22分,我 国在西昌卫星发射中心以“一箭双星”方式成功发射第五十二、五十三颗 北斗导航卫星。至此,所有中圆地球轨道卫星全部发射完毕,标志着北斗三 号全球卫星导航系统核心卫星部署完成。已知中圆地球轨道卫星到地球 表面的距离为地球半径的3倍,地表重力加速度为g,第一宇宙速度为v1。则 中圆地球轨道卫星的( ) A.向心加速度为 9 B.周期为161 C.角速度为 161 D.线速
22、度为1 4 答案 B 解析 根据 G 2 =ma 解得 a= 2 = (4)2 = 1 16 2 = 16,选项 A 错误;根据 G 2 =m 2 可得 v1= = ,中圆地球轨道卫星的线速度 v2= 4 = 1 2v1, 周期 T=2 4 2 = 16 1 = 161 ,选项 B 正确、D 错误;角速度为 =2 = 81,选 项 C 错误。 考法考法2 卫星的变轨与对接卫星的变轨与对接(L) 规律方法 1.卫星变轨的常见情况 2.航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径的变化根据万有引力和所需向心力的大小关系判断; 稳定在新轨道上的运行速度变化由v= 判断。 (2)航天器在不同轨
23、道上运行时机械能不同,轨道半径越大,机械能越大。 (3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等,外轨道的速度大于内 轨道的速度。 【典例3】(2020山东新高考质量测评联盟高三下学期5月联考)中国北斗卫星导航系统 是中国自行研制的全球卫星导航系统,也是继GPS、GLONASS之后的第三个成熟的卫 星导航系统。北斗卫星导航系统(BDS)和美国GPS、俄罗斯GLONASS、欧盟 GALILEO,是联合国卫星导航委员会已认定的供应商。2020年7月31日上午,北斗三号 全球卫星导航系统正式开通。同步卫星是北斗卫星导航系统非常重要的组成部分,如 图为地球某同步卫星的转换轨道示意图,其中为近地轨道,
24、为转换轨道,为同步轨 道,下列说法正确的是( ) A.赤道上静止物体的向心加速度为a0,轨道上卫星的加速度为a1, 轨道上卫星的加速度为a3,则加速度的大小关系为a3a1a0 B.在轨道上,从P到Q的过程中机械能增加 C.在P点,轨道的线速度大于轨道的线速度 D.轨道的运行周期大于轨道的运行周期 答案 C 解析 赤道上静止物体与地球同步卫星角速度相等,由a=r2可得a3a0,根据 G 2 =ma 可得 a= 2 ,则 a1a3,所以 a1a3a0,选项 A 错误;在轨道上,从 P 到 Q 的过程中只有万有引力做功,机械能守恒,选项 B 错误;卫星从轨道转 移到轨道要在P点点火加速做离心运动,所
25、以在P点,轨道的线速度大于 轨道的线速度,选项 C 正确;由开普勒第三定律 3 2=k 可知,由于轨道半长 轴小于轨道的半径,故轨道的运行周期小于轨道的运行周期,选项 D 错误。 解题指导 审题 读取题干 获取信息 为近地轨道,为转 换轨道,为同步轨道 近地轨道半径为地球半径,同步卫星的角速度等于 地球自转的角速度 题图 卫星在近地轨道P点做离心运动进入转换轨道,卫 星在转换轨道Q点做离心运动进入同步轨道 破题对背景材料不过分解读,要提取关键信息。卫星变轨时速度的变化要 根据万有引力和所需向心力的大小关系判断;根据牛顿第二定律比较各点 的加速度;根据开普勒第三定律比较不同轨道上卫星的周期关系。
26、 素养点拨 卫星变轨问题的实质 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆 轨道上运动,在新的轨道上运行速度 将减小,重力势能、机械能均增大 变为椭圆轨道运动或在较 小半径圆轨道上运动,在新 的轨道上运行速度将增大, 重力势能、机械能均减少 应用 卫星的发射和回收 GMm r2 mv 2 r 【类题演练类题演练】 7.(多选)(2020四川绵阳高三下学期模拟)2020年4月24日,国家航天局将我国行星 探测任务命名为“天问系列”。首次火星探测任务被命名为“天问一号”,目标是通 过一次发射,实现“火星环绕、火星表
27、面降落、巡视探测”三大任务。若探测器 登陆火星前,除P点在自身动力作用下改变轨道外,其余过程中仅受火星万有引 力作用,经历从椭圆轨道椭圆轨道圆轨道的过程,如图所示,则探测器 ( ) A.在轨道上从P点到Q点的过程中,机械能不变 B.在轨道上运行的周期小于在轨道上运行的周期 C.在轨道上运行速度大于火星的第一宇宙速度 D.在轨道上P点受到火星的万有引力等于在轨道上 P点受到火星的万有引力 答案 AD 解析 在轨道上从P点到Q点的过程中,只有万有引力对探测器做功,则机械能 守恒,选项A正确;由开普勒第三定律 3 2=k可知,由于轨道半长轴比轨道的半 径大,故在轨道上运行的周期大于在轨道上运行的周期
28、,选项 B 错误;第一宇 宙速度即为物体绕火星表面做圆周运动的线速度,由公式 G 2 =m 2 得 v= , 由于轨道的半径比火星半径大,其速度比火星的第一宇宙速度小,选项 C 错误; 由万有引力公式 F=G 2 可知,在轨道上 P 点受到火星的万有引力等于在轨道 上 P 点受到火星的万有引力,选项 D 正确。 8.(多选)北京时间2019年7月19日21时06分,“天宫二号”受控离轨并再入大 气层,以一道绚烂的光芒消逝在大气层中,少量残骸落入南太平洋预定安全 海域,功成身退。圆满完成全部任务的“天宫二号”创造了我国航天史上的 多个第一,也标志着我国进入空间站时代。“天宫一号”的轨道是距离地面
29、 343 km的近圆轨道,“天宫二号”的轨道是距离地面393 km的近圆轨道,后继 发射的“神舟十一号”与之对接。下列说法正确的是( ) A.在各自的轨道上正常运行时,“天宫二号”比“天宫一号”的周期大 B.在低于“天宫二号”的轨道上,“神舟十一号”需要先加速才能与之对接 C.“天宫二号”受控离轨到再入大气层的过程中速度减小 D.“天宫二号”再入大气层后的运动过程中所受地球的引力一定越来越大 答案 AB 解析 根据万有引力提供向心力可得 2 =m4 2 2 r,解得 T=2 3 ,因为“天宫 二号”的轨道半径大,所以周期较大,选项 A 正确;在低于“天宫二号”的轨道 上,“神舟十一号”需要先加
30、速做离心运动,才能与之对接,选项B正确;“天宫二 号”受控离轨到再入大气层的过程中,引力做正功,速度会增大,选项 C 错 误;“天宫二号”再入大气层后的过程中,由于大气层与其摩擦生热,部分实体 烧毁,质量越来越小,根据 F=G 2 可知受地球的引力可能减小,选项 D 错误。 9.(2020浙江嘉兴高三下学期5月教学测试)如图所示为“嫦娥四号”探月过 程的示意图。探测器在圆形轨道上运动,到达轨道的A点时变轨进入椭 圆轨道,变轨前后的速度分别为v1和v2;到达轨道的近月点B时再次变 轨进入月球近月轨道绕月球做圆周运动,变轨前后的速度分别为v3和v4, 则探测器( ) A.在A点变轨需要加速 B.在
31、轨道上从A点到B点,速度变小 C.在轨道上B点的加速度大于轨道上B点的加速度 D.四个速度大小关系满足v3v4v1v2 答案 D 解析 探测器在圆形轨道上运动,到达轨道的A点时变轨进入椭圆轨道,做近 心运动,故需要在 A 点减速,选项 A 错误;在轨道上从 A 点到 B 点,引力做正功, 动能增大,速度增大,选项B错误;根据牛顿第二定律可知G 2 =ma,在轨道上B 点的加速度等于轨道上 B 点的加速度,选项 C 错误;到达轨道的近月点 B 时 再次变轨进入月球近月轨道绕月球做圆周运动,变轨前后的速度分别为 v3和 v4,变轨做近心运动所以需要减速,故 v3v4,探测器在圆形轨道上运动,到达轨
32、 道的 A 点时变轨进入椭圆轨道,做近心运动,故需要在 A 点减速,v1v2,根据 G 2 =m 2 可知圆周运动中轨道半径大则速度小,所以 v4v1,则 v3v4v1v2,选项 D 正确。 考点三考点三 双星与多星问题双星与多星问题(L) 规律方法 天体运动中的多星模型 (1)双星模型:天体运动中,将两颗彼此距离较近且绕同一点做圆周运动的 星体称为双星模型。双星模型具有如下特点: 双星间的万有引力提供向心力; 双星共同绕它们连线上某点做圆周运动,轨道半径与星体的质量成反比; 双星与旋转中心始终共线,它们的周期、角速度相同; 双星模型中(A、B间距离为l,A、B质量分别为m1、m2)常见公式有
33、轨道 半径 r1= 2 1+2l,r2= 1 1+2l,双星运行周期 T=2l (1+2)。 (2)天体运动中,三星、四星等多星模型是指相互作用且围绕某一点做圆周 运动的星体。星体做圆周运动所需向心力由其他星体对它的万有引力的 合力提供,在多星系统中各星体运行的角速度相等,其中三星模型常常有两 种情况: 三个星体连在同一直线上,两个星体围绕中央的星体做周期相同的圆周 运动,向心力来源于其他两个星体对它的引力的合力; 三个星体位于等边三角形的三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆轨道 运行,三个星体运行周期相同,向心力来源于其他两个星体对它的万有引力 的合力。 【典例4】(2020辽宁辽南协作体高三
34、下学期二模)一百多年前爱因斯坦预言了 引力波存在,2015年科学家探测到黑洞合并引起的引力波。双星的运动是产生 引力波的来源之一,在宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成,这两颗星绕它 们连线的某一点只在二者间的万有引力作用下做匀速圆周运动,测得P星的周期 为T,P、Q两颗星的距离为l,P、Q两颗星的轨道半径之差为r(P星的轨道半径大 于Q星的轨道半径),引力常量为G,则下列结论错误的是( ) A.Q、P 两颗星的质量差为4 22 2 B.P、Q 两颗星的线速度大小之差为2 C.P、Q 两颗星的质量之比为 - D.P、Q 两颗星的运动半径之比为+ - 答案 C 解析 双星系统靠相互间的万有引力
35、提供向心力,则角速度大小和周期相等,所以 Q 星的周期为 T,根据题意可知 rP+rQ=l、rP-rQ=r,解得 rP=+ 2 、rQ=- 2 ,则 P、Q两 颗星的运动半径之比为+ - ,选项 D 正确;双星系统靠相互间的万有引力提供向心 力,角速度大小相等,向心力大小相等,则有 G 2 =mPrP2=mQrQ2,解得 mP= 2 2 ,mQ= 22 ,则 Q、P 两颗星的质量差为 m=mQ-mP= 22 = 422 2 ,选 项 A 正确;P、Q 两颗星的线速度大小之差为 v=vP-vQ=2 2 = 2 ,选项 B 正确;P、Q 两颗星的质量之比为 = = - +,选项 C 错误。 思维点
36、拨 解答双星模型中物理量和、差、积、比的问题,基本思路是一 定的,都是根据双星有相等的向心力,结合已知条件求出相应物理量的表达 式,再求和、差、积、比,注意能合并的物理量要合并。 素养点拨 紧抓四点解决双星、多星问题 (1)根据双星或多星的特点、规律,确定系统的中心以及运动的轨道半径。 (2)系统中某星体的向心力由系统其他星体的万有引力的合力提供。 (3)星体的角速度相等。 (4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识,寻找两者之间的 关系,正确计算万有引力和向心力。 【类题演练类题演练】 10.(2020吉林长春高三二模)2019年诺贝尔物理学奖授予了三位科学家,以 表彰他们对于人类
37、对宇宙演化方面的了解所做的贡献。其中两位的贡献 是首次发现太阳系外行星,其主要原理是恒星和其行星在引力作用下构成 一个“双星系统”,恒星在周期性运动时,可通过观察其光谱的周期性变化知 道其运动周期,从而证实其附近存在行星。若观测到的某恒星运动周期为 T,并测得该恒星与行星的距离为L,已知万有引力常量为G,则由这些物理量 可以求得( ) A.行星的质量 B.恒星的质量 C.恒星与行星的质量之和 D.恒星与行星圆周运动的半径之比 答案 C 解析 恒星与行星组成双星,设恒星的质量为 M,行星的质量为 m。以恒星为 研究对象,行星对它的引力提供了向心力,假设恒星的轨道半径为 r1,动力学 方程为 2
38、=M 2 2r1,得到行星的质量 m=4 221 2 ,以行星为研究对象,恒星 对它的引力提供了向心力,假设行星的轨道半径为 r2,动力学方程为 2 =m 2 2r2,得到恒星的质量 M=4 222 2 ,则有 M+m=4 23 2 ,故只有选项 C 正确。 11.(多选)(2020山东济南模拟)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体 组成的三星系统,可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统 存在两种基本的构成形式:一种是直线三星系统三颗星体始终在一条直线上; 另一种是三角形三星系统三颗星体位于等边三角形的三个顶点上。已知某 直线三星系统A的每颗星体的质量均为m,相邻两颗星体
39、中心间的距离都为R;某 三角形三星系统B的每颗星体的质量恰好也均为m,且三星系统A外侧的两颗星体 与三星系统B每颗星体做匀速圆周运动的周期相等。引力常量为G,则( ) A.三星系统 A 外侧两颗星体运动的线速度大小为 v= B.三星系统 A 外侧两颗星体运动的角速度大小为 = 1 2 5 C.三星系统 B 的运动周期为 T=4R 5 D.三星系统 B 任意两颗星体中心间的距离为 L= 12 5 3 R 答案 BCD 解析 三星系统 A 中,三颗星体位于同一直线上,外侧两颗星体围绕中央星体 在半径为 R 的同一圆轨道上运行,外侧的其中一颗星体由中央星体和另一颗 外侧星体的万有引力的合力提供向心力,有 G 2 2 +G 2 (2)2 =m 2 ,解得 v= 5 4 , 选项A错误;三星系统A中,周期T=2 =4R 5 ,则外侧两颗星体的角速度 为 =2 = 1 2 5 ,选项 B 正确;由题意知三星系统 B 的运动周期与三星系 统 A 外侧两颗星体运动周期相同,即为 T=4R 5 ,选项 C 正确; 三星系统B中,三颗星体位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角 形的圆形轨道运行,对其中一颗星体,由万有引力定律和牛顿第二定律,有 2 2 2 cos 30 =m 2cos30 42 2 ,解得 L= 12 5 3 R,选项 D 正确。
