1、泰州市2021届高三年级期中考试 数学试题 一、 选择题: (本题共8小题， 每小题5分， 共40分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符 合题目要求， 请将答案填涂到答题卡相应区域) 1设集合M=xlog2x1 集合N=x-2 x1 则MN= () A(0,1)B 2,2C(0,2)D(-2,1) 【答案】 A 2已知a,bR, i为虚数单位， 则“ab=0”是“a+ b i 为纯虚数”的 () A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 B 3欧拉是瑞士著名数学家， 他首先发现:ei=cos+isin(e 为自然对数的底数， i为虚数单 位)，
2、 此结论被称为“欧拉公式”， 它将指数函数的定义域扩大到复数集， 建立了三角函数 和指数函数的关系。根据欧拉公式可知， ei= () A1 B0 C1 D1+i 【答案】 C 4埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓， 世界七大奇迹之一， 其中较为著名的是胡夫金 字塔令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿， 还有发生在胡夫金宇塔上的数 字“巧合”如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度， 得到的商为3.14159， 这就是圆 周率较为精确的近似值， 金字塔底部形为正方形， 整个塔形为正四棱锥， 经古代能工巧 匠建设完成后， 底座边长大约230米， 因年久风化， 顶端剥落10米， 则胡夫金字塔现在
3、的 高度大约为 () A 128.4米 B 132.4米 C136.4米 D 110.4米 【答案】 C 5在平行四边形 ABCD 中， 点 E,F分别满足 BE = 1 2 BC， DF = 1 3 DC若 BD = AE + AF,则实数+的值为 () A 1 5 B 1 5 C 7 5 D 7 5 【答案】 B 6函数f(x)= sinx+x 3x+3x 的图像大致为 () 1 【答案】 A 7电影 流浪地球 中反复出现这样的人工语音:“道路千万条， 安全第一条， 行车不规范， 亲人两行泪”成为网络热句讲的是“开车不喝酒， 喝酒不开车” 2019年， 公安部交通 管理局下发 关于治理酒驾
4、醉驾违法犯罪行为的指导意见 ， 对综合治理酒驾醉驾违法 犯罪行为提出了新规定， 根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准， 车辆驾驶人员饮 酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表。经过反复试验， 一般情况下， 某人喝 一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图， 且图表所示的函数模型 f(x)= 40sin 3 x +13, 0 xbc B logablogbc CalogbcDcbba 【答案】 D 二、 选择题:本题共4小题， 每小题5分， 共20分在每小题给出的选项中， 有多项符合题目 要求， 全部选对的得5分， 有选错的得0分， 部分选对的得3分， 9已知向量a=(-3,2
5、),6=(-1,0)， 则下列选项正确的有( ) A(a +b )b =4 B(a 3b)b Ca b = 2b D a 2=b2+4ab 【答案】 ABD 10已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a0)的导函数y=f(x)的两个零点为1,2， 则下列结 论正确的有( ) A abc0 Bf(x)在区间0,3的最大值为0 C f(x)只有一个零点 D f(x)的极大值是正数 【答案】 BC 11某港口一天24h内潮水的高度S(单位: m)随时间t(单位:h:0t24)的变化近似满 足关系式S(t)=3sin( 12 t+ 5 6 ),则下列说法正确的有( ) A S(t)在0,2上的平均变
6、化率为 3 4 m/h B 相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h C 当t=6时， 潮水的高度会达到一天中最低 D 18时潮水起落的速度为 8 m/h 【答案】 BD 12在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， 点 P 是棱 BC 的中点， 点 Q 是底面 A1B1C1D1上的动点， 且APD1Q,则下列说法正确的有( ) ADP与D1Q所成角的最大值为 4 B四面体ABPQ的体积不变 C AA1Q的面积有最小值 2 5 5 D平面D1PQ截正方体所得截而面积不变 【答案】 BCD 三、 填空题: (本题共4小题， 每题5分， 共20分， 请将答案填写在答题卡相应的位置上)
7、13已知tan( 4 )= 1 3 ， 则cos2的值为 【答案】 - 3 5 14 乒乓球被称为中国的“国球”， 目前国际比赛用球的直径为 4cm 某厂家计划生产乒 3 乓球包装盒， 包装盒为长方体， 每盒装 6 个乒乓球， 现有两种方案， 方案甲: 6 个乒乓球 放一排;方案乙: 6个乒乓球并排放置两排， 每排放3个， 乒乓球与盒子、 以及乒乓球之间 紧密接触， 确保用料最省， 则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多 cm2 【答案】 64 15已知正实数x,y满足x+y=1, 则 y x + 2 xy 的最小值为 【答案】 4+2 6 16已知直三棱柱ABCA1B1C1中，
8、AB=BC=1, AC= 3， 侧棱AA1=2,则该三棱柱外 接球的体积为 【答案】 8 2 3 三、 解答题: (本大题共6小题， 共70分解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 ) 17 (本题满分10分) 设集合A= x x+1 x2 0 ， B=xx22mx+m240 (1) 当m=2时， 求AB; (2)若AB=B,求实数m的取值范围 【解析】 解： x+1 x-2 0， 即(x-2)(x+1)0， 得： -1x2， 即A=(-1,2),x2-2mx+m2 -40， 即(x-m+2)(x-m-2)0， 得： m-2x0 因此， cosA= 1 3 ； (2)由余弦定理： a2=b2
9、+c2-2bccosA 把cosA= 1 3 ， a=2代入得： 4=b2+c2- 2 3 bc 4 3 bcbc3 当且仅当b=c时取等； 又因为A为ABC内角， 故sinA0， 则sinA= 1-cos2A = 2 2 3 则S= 1 2 bcsinA= 2 3 bc 2， 即S的最大值为 2 20 (本题满分12分) 如图， 在四棱锥PABCD中， PD=2,AB=3， AD= 3， DAB=90， BCD为正 三角形， E是CD的中点， DE=PE， PDBC (1)求证: 平面PDE平面PBC; (2)求二面角PBCD的余弦值; (3)求四棱锥PABCD的体积 【解析】 (1)证：
10、因为BCD为正三角形， E是BC中点 5 所以， BCDE 又因为BCPD， PDDE=D， PD平面PDE， DE平面PDE 所以， BC平面PDE 又因为BC平面PBC， 所以， 平面PDE平面PBC； (2)解： 由(1)知： BC平面PDE， 又PE平面PDE 故PEBC， 又DEBC， 故PED为二面角P-BC-D的平面角 ABD中， AB=3， AD= 3， DAB=90， 故BD= AB2+AD2=2 3 又BCD为正三角形， 故DE= 3 2 BD=3， 又PE=DE， 则PE=3， 又PD=2 故PDE中， 由余弦定理得： cosPED= PE2+DE2-PD2 2PEDE
11、= 7 9 因此， 二面角P-BC-D的余弦值为 7 9 ； (3)解： 由(2)知： sinPED= 1-cos2PED = 4 2 9 作PHDE于H， 则PH=PEsinPED= 4 2 3 由(1)知： BC平面PDE， 又PH平面PDE 故PHBC， 又PHDE， BCDE=E 又BC平面ABCD， DE平面ABCD 所以， PHABCD 故VP-ABCD= 1 3 (SABD+SBCD)PH= 1 3 ( 1 2 3 3 +3 3) 4 2 3 =2 6 21 (本题满分12分) 已知函数f(x)=2x， g(x)=f(x)+f(x ) (1)解不等式:f(2x)f(x+1)3;
12、(2)当x 1， 1 2 时， 求函数g(x)的值城， (3)若x1(0,+)， x21,0 ， 使得g(2x1)+ag(x1)+2g(x2)0成立， 求实数a 的取值范围 【解析】 解： (1)22x-2x+13 22x-22x-30 (2x-3)(2x+1)0 2x3 xlog23； (2)g(x)=2x+2 x ， x-1, 1 2 6 x-1,0时， g(x)=2x+2-x， g(x)=(2x-2-x)ln2= 22x-1 2x ln20 故g(x)在-1,0递减， g(-1)= 5 2 ， g(0)=2， 故g(x)2, 5 2 ； x(0, 1 2 时， g(x)=22x(2,2
13、2； 综上， x-1, 1 2 时， g(x)的值域为2,2 2； (3)x10， x2-1,0时， g(2x1)=222x1， g(x1)=22x1， g(x2)=2x2+2-x2 x10， x2-1,0， 使得： g(2x1)+ag(x1)+2g(x2)0成立 即： g(2x1)+ag(x1)+2g(x2)max0 由(2)知： g(x2)max= 5 2 ， 则g(2x1)+ag(x1)+50 222x1+2a2x1+5022x1+52-x1+2a0 令2x1=x(1,+)， 则x1， 不等式2x+ 5 x +2a0恒成立 2x+ 5 x 210， 当且仅当2x= 5 x ， 即x= 5
14、 2 时取等 故210 +2a0， 得： a-10 22 (本题满分12分) 已知函数f(x)=x2lnx,g(x)=kx (1)求函数f(x)的最小值: (2)若g(x)是f(x)的切线， 求实数k的值: (3)若f(x)与g(x)的图象有两个不同交点A(x1,y1),B(x2,y2)， 求证: x1x21 解： 解： (1)f(x)= 2x2-1 x ， x0 x(0, 1 2 )时， f(x)0， f(x)递增； 故f(x)min=f( 1 2 )= 1+ln2 2 ； (2)设切点横坐标为x0， x00 k= 2x2 0-1 x0 = x2 0-lnx0 x0 x2 0+lnx0-1=
15、0 令h(x)=x2+lnx-1， x0， h(x)=2x+ 1 x 0， 故h(x)在(0,+)递增 又h(1)=0， 故方程x2 0+lnx0-1=0的解为x0=1， 则k=1； (3)由题意知： f(x)=g(x)有两个不同的解， 分别为x1， x2 即x- lnx x =k有两个不同的解， 分别为x1， x2 7 令F(x)=x- lnx x ， 则F(x1)=F(x2)=k F(x)= x2+lnx-1 x2 ， 由(2)知： x(0,1)时， F(x)0 故F(x)在(0,1)递减， (1,+)递增， 则0x111， 只要证： x2 1 x1 1， 只要证： F(x2)F( 1 x1 ) 只要证： F(x1)F( 1 x1 )， 只要证： x(0,1)时， F(x)-F( 1 x )0 下证之： 令G(x)=F(x)-F( 1 x )=x- lnx x - 1 x -xlnx， x(0,1) G(x)= (1-x2)lnx x2 G(1)=0， 证毕 8
