1、高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 1 页页 （共（共 11 页）页） 吉林市普通中学吉林市普通中学 2020202020212021 学年度高中毕业班第一次调研测试学年度高中毕业班第一次调研测试 文文科数学科数学 本试卷共本试卷共 22 小题，共小题，共 150 分，共分，共 6 页，考试时间页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一 并交回。并交回。 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码形码、姓名、
2、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2 2选择题答案使用选择题答案使用 2B2B 铅笔填涂铅笔填涂, ,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案的标号；非选择题答案必须必须使用使用 0.50.5 毫米黑色毫米黑色字迹的字迹的签字笔书写，字体工整、签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。笔迹清楚。 3 3请按照题号在各题的答题区域请按照题号在各题的答题区域( (黑色线黑色线框框) )内作答，超出答题区域书写的答案内作答，超出答题区域书写的答案 无效。无效。 4. 4. 作图可先
3、用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。纸刀。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小小题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求。符合题目要求。 1. 已知集合已知集合06| 2 xxxA，|NxxB ，则，则 BA A. 2 , 1 B. 2 , 1 , 0 C. 3 ,
4、 2 , 1 D. 3 , 2 , 1 , 0 2. 下列函数中最小正周期为下列函数中最小正周期为 的函数的个数是的函数的个数是 |sin|xy ； ) 3 2cos( xy； xy2tan A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列向量中不是单位向量的是下列向量中不是单位向量的是 A. )0 , 1( B.)1 , 1( C. )sin,(cos D.)0|(| | a a a 4. 为了得到函数为了得到函数) 42 1 cos( xy的图象，可将函数的图象，可将函数xy 2 1 cos 的图象的图象 A. 向左平移向左平移 4 个单位个单位 B. 向右平移向右平移 4 个单位个单位
5、 C. 向左平移向左平移 2 个单位个单位 D. 向右平移向右平移 2 个单位个单位 5. 设角设角 的始边为的始边为x轴非负半轴，则“角轴非负半轴，则“角 的终边在第二、三象限”是“的终边在第二、三象限”是“0cos ”的”的 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 2 页页 （共（共 11 页）页） A. 充分不必要条件充分不必要条件 B. 必要不充分条件必要不充分条件 C. 充要条件充要条件 D. 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 6. 等差等差数列数列 n a中，中， 51015 30aaa，则，则 2216 2aa 的值为的值为 A10 B20 C10 D20 7.
6、已知定义在实数集已知定义在实数集R上的偶函数上的偶函数)(xf在区间在区间), 0 是单调增函数，若是单调增函数，若)2()1(faf ，则，则 实数实数a的取值范围是的取值范围是 A. 31 a B. 1 a或或3 a C. 13 a D. 3 a或或1 a 8. 已知已知 21,e e 是两个夹角为是两个夹角为 60的单位向量，若的单位向量，若 2121 32,eebeea ，且，且ba ，则，则 A. 2 3 B. 3 2 C. 4 1 D. 8 7 9. 已知某函数的已知某函数的图象图象如右图所示，则该函数的解析式可能是如右图所示，则该函数的解析式可能是 A. x e e y x x
7、cos) 1 1 ( B. 22 2| xy x C. 2|2 | xy x D. xxycos)1( 2 10. 某兴趣小组对函数某兴趣小组对函数)(xf的性质的性质进行研究，发现函数进行研究，发现函数)(xf是偶函数，在定义域是偶函数，在定义域R上满足上满足 )1()1()1(fxfxf ，且在区间，且在区间0 , 1 为减函数则为减函数则)3( f与与) 2 5 ( f的关系为的关系为 A) 2 5 ()3( ff B) 2 5 ()3( ff C) 2 5 ()3( ff D) 2 5 ()3( ff 11. 周髀算经中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角周髀算经中给出了
8、弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角 形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角 分别为分别为 , ，且小正方形与大正方形面积之比为，且小正方形与大正方形面积之比为25:1，则，则)cos( 的值为的值为 A. 25 24 B1 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 3 页页 （共（共 11 页）页） C 25 7 D0 12. 已知函数已知函数)2()(, 1, 1,ln )(fkxxg xxe xx xf x ，对，对3 , 3, 21 xRx，使得，使得 )()( 21 xgxf 成立，则
9、成立，则k的取值范围是的取值范围是 A. 6 1 3 1 ,( e B. ) 6 1 3 1 ， e C. 6 1 3 1 , 6 1 3 1 ee D. 6 1 3 1 ,( e ) 6 1 3 1 ， e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共，共 20 分分。 13. 已知已知复数复数iz32 ，则则 |1| z_. 14. 已知函数已知函数 x axf 1 )(0( a且且)1 a，若，若)2020()2021(ff ，则实数，则实数a的取值范围的取值范围 是是_. 15有一个数阵排列如下：有一个数阵排列如下： 1 2 4 7 11 16
10、 22 3 5 8 12 17 23 6 9 13 18 24 10 14 19 25 15 20 26 21 27 28 则第则第 40 行从左至右第行从左至右第 6 个数字为个数字为 . 16. 如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ABC，经测量，经测量 得，得，mBCmACmAB1310,40,30 ，在保护草坪的同，在保护草坪的同 时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路DE（其中点（其中点D在在 边边AB上，点上，点E在边在边AC上），若上），若DE恰好将恰好将该草坪的面积平分，该草坪的面积平分，
11、 则则ED,两点间的最小距离为两点间的最小距离为 m. 三、解答题：三、解答题：共共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 （本小题满分 10 分）分） 已知数列已知数列 n b满足满足 11 1 1, 2 nn bbb ， （I） 求求 n b的通项公式；的通项公式； C A B D E 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 4 页页 （共（共 11 页）页） （II）求）求 2462n bbbb值值. 18 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知函数已知函数) 3 cos(sin2)( xxxf
12、，Rx ， （I） 求函数求函数)(xf的对称中心；的对称中心； （II）若存在）若存在 4 3 , 4 0 x，使不等式，使不等式mxf )( 0 成立，成立，求实数求实数m的取值范围的取值范围. 19 （本小题满分 （本小题满分 12 分）分） 在在ABC中，中，cba,分别是内角分别是内角CBA,的对边，的对边，CbBcacos3sin3 ， （I） 求角求角B的大小；的大小； （II）若）若4 b，且，且ABC的面积等于的面积等于34，求，求ca,的值的值. 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 5 页页 （共（共 11 页）页） 20 （本小题满分 （本小题满分 12 分）
13、分） 已知函数已知函数xx a axxf3 2 12 3 1 )( 23 ， （I） 当当2 a时，求函数时，求函数)(xf的单调区的单调区间与极值；间与极值； （II）是否存在正实数）是否存在正实数a，使得函数，使得函数)(xf在区间在区间 1 , 1 上为减函数？若存在，请求上为减函数？若存在，请求a的取值范的取值范 围；若不存在，请说明理由围；若不存在，请说明理由. 21 （本小题满分 （本小题满分 12 分）分） 已知数列已知数列 n a的首项的首项 1 3a ，且满足，且满足 1 1 221 n nn aa ， （I） 设设 1 2 n nn a b ，证明，证明 n b是等差数列；
14、是等差数列； （II）求数列求数列 1 n a 的前的前n项和项和 n S. 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 6 页页 （共（共 11 页）页） 22. （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 设函数设函数xxmxf2ln)( ， （I） 当当 2 m 时，求函数时，求函数)(xf在点在点)1(, 1(f处的切线；处的切线； （II）当当 1 m 时，曲线时，曲线)(xfy 上上的点的点)0)(,( 000 xyx 处的切线与处的切线与 2 xy 相切相切，求满足条求满足条 件的件的 0 x的个数 的个数. . 命题、校对：高三数学核心组命题、校对：高三数学核心组 高三数学（
15、文科）试题高三数学（文科）试题 第第 7 页页 （共（共 11 页）页） 吉林市普通中学吉林市普通中学 20202021 学年度高中毕业班第一次调研测试学年度高中毕业班第一次调研测试 文科数学参考答案文科数学参考答案 一、一、选择题选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B C A A A C B B A D 二、填空题二、填空题 13. 3 2 14. (0,1) 15. 1030 16. 10 6 17【解析】 （1）由 1 1 2 nn bb 得 1 1 2 n n b b .1 分 n b为等比数列，且首项 1 1b 公比 1 2 q .3 分 所以 n
16、b的通项公式为 1 1 ( ) 2 n n b .5 分 （2）设 2nn ab ，则 21 2122 21 2 1 ( ) 11 2 ( ) 1 24 ( ) 2 n nn n nn ab ab .7 分 所以 2n b是首项为 1 2 ，公比 1 4 的等比数列.8 分 所以 2462 11 1( ) 21 24 1( ) 1 34 1 4 n n n bbbb .10 分 18【解析】 （1）由题得，) 3 sinsin 3 cos(cossin2) xxxxf（xxx 2 sin3cossin )2cos1 ( 2 3 2sin 2 1 xx 2 3 2cos 2 3 2sin 2 1
17、 xx 2 3 ) 3 2sin( x4 分 令 kx 3 2 )(Zk ，得 62 k x )(Zk 所以，函数)(xf的对称中心为) 2 3 , 62 ( k )(Zk 6 分 (2) 因为存在 4 3 , 4 0 x，使不等式mxf)( 0 成立，所以m大于)(xf的最小值8 分 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 8 页页 （共（共 11 页）页） 由 4 3 4 x，得 6 7 3 2 6 x， 当 6 7 3 2 x，即 4 3 x时，)(xf取最小值 2 13 ， 所以 2 13 m，则m的取值范围为), 2 13 ( .12 分 19【解析】 （1）由正弦定理得 3
18、sinsinsin3sincosACBBC 因为AB C，所以3sin()sinsin3sincosBCCBBC 即3(sincoscossin)sinsin3sincosBCBCCBBC2 分 化简，得3cossinBB4 分 因为(0, )B，所以 3 B 6 分 （2）由（1）知 3 B ，因为4b，所以由余弦定理，得 222 2cosbacacB，即 222 42cos 3 acac 化简，得 22 16acac8 分 因为该三角形面积为4 3 所以 1 sin4 3 2 acB ，即16ac 10 分 联立，解得4ac12 分 2020【解析】【解析】 （1 1）当2a时， 2 (
19、)(253)(1)(23)fxxxxx .1 分 令( )0fx ，解得 3 1 2 x 或-， .2 分 x 3 2 （- ,- ） 3 2 3 2 （-,-1） -1 +（-1， ） ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 增 极大值 减 极小值 增 .3 分 所以，( )f x的增区间为 3 2 （- ,- ），+（-1， ）， .4 分 ( )f x的减区间为 3 2 （-,-1） .5 分 ( )f x的极大值为 39 () 28 f ， .6 分 ( )f x的极小值为 7 ( 1) 6 f .7 分 （2 2）依题意： 2 ( )(21)301,1fxaxax 在上恒成立
20、.9 分 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 9 页页 （共（共 11 页）页） 又因为0a，所以， 0 ( 1)0 (1)0 a f f ，.10 分 【说明】 （【说明】 （1）此处只使用判别式小于等于）此处只使用判别式小于等于 0 加上加上 a0 的不给分；的不给分； （2）若使用变量分离的，需要分类讨论，可以酌情给分；）若使用变量分离的，需要分类讨论，可以酌情给分； 即 0 2 4 3 a a a 即无解。 所以，不存在满足条件的正实数a.12 分 【说明】 （【说明】 （1）此处若结算结果都正确，只结论错误，只扣）此处若结算结果都正确，只结论错误，只扣 1 分；分； （2
21、）此处若计算结果不正切，不给分；）此处若计算结果不正切，不给分； 21.【解析】 （1）解法一：将等式122 1 1 n nn aa两边都减去1得 1 1 2) 1(21 n nn aa.2 分 再除以 1 2 n 得1 2 1 2 1 1 1 n n n n aa ，即1 1 nn bb.4 分 即1 1 nn bb.且1 2 1 1 1 a b.5 分 所以 n b是首项为1，公差为1的等差数列.6 分 解法二：由 n n n a b 2 1 得 1 1 1 2 1 n n n a b.1 分 将 122 1 1 n nn aa代入上式得1 2 1 2 12 2 222 1 1 1 n n
22、 n n n n n n n aaa b.3 分 因此1 1 nn bb.且1 2 1 1 1 a b.5 分 所以 n b是首项为1，公差为1的等差数列.6 分 (2) 由（1）知 n bn ，所以 1 ,21 2 nn nnn a bn an .7 分 所以12n n an.8 分 则 23 1 22 23 22n n Sn . 2341 21 22 23 22n n Sn . -得： 231 22222 nn n Sn .10 分 11 2(21)2(1n)22 nnn n Sn 所以 1 (n 1)22 n n S .12 分 【说明】在求 n S时，也可以用 1 2n nn ccn
23、，采用累加法求和.其中(n 2)2n n c . 22【解析】 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 10 页页 （共（共 11 页）页） （I）当2m时， 2 ( )2fx x ， .1 分 (1)0kf .2 分 即切线方程为2y .3 分 （II）当1m时， 112 ( )2 x fx xx .4 分 则曲线( )yf x上的点 000 (,)(0)x yx 处的切线方程为 00 0000 00 1 21 2 (ln2)()ln1 xx yxxxxyxx xx 即 . 5 分 设直线l与 2 yx相切于点 2 11 ( ,)x x，即切线方程为 2 11 2yx xx.6 分
24、即 2 0 1 2 0 0 0000 02 01 1 2 2 1 2 1 ln4ln410 2 ln1 x x x x xxxx x xx 即即.7 分 2 ( )4ln41,( )8 ln44,( )8ln12g xxxxg xxxxgxx令则 3 2 ( )0,gxxe 令得， 33 22 ( )g x 即在(0,e )单调递减，在(e ,+ )单调递减增 33 22 min ( )()840g xg ee 即 .9 分 3 2 (0,)8ln120,( )(8ln12)44xexg xxx 当时，即， 1( )0 xg x当时， 所以，(0,1)( )0 xg x当时，(1,)( )0
25、xg x当时，, ( )1g x即在(0,1)单调递减，在( ,+ )单调递减增, min ( )(1)30g xg 即 .10 分 4222 2 24244 18448(4)8 ()10,( )4410 eee e gg eee eeeee 又因为且 .11 分 2 1 ( )01g x e 在(,1)和( ,e)上各有1个零点， ( )01g x 在(0,1)和( ,+ )上各有1个零点， 2 0000 4ln410 xxxx 即有两个实根，即满足条件的 有2个. .12 分 即 2 0 1 0 0 00 2 0002 01 1 2 2 1 211 1 lnln+0 24 ln1 x x
26、x x xx xxx xx 即即.7 分 高三数学（文科）试题高三数学（文科）试题 第第 11 页页 （共（共 11 页）页） 2 2323 11111221 ( )ln,( ) 422 xx g xxg x xxxxxx 令则 1313 ( )0,() 22 g xx 令得或舍，.9 分 1313 ( ) 22 g x 即在(0,)单调递减，在(,+ )单调递减增 min 13 ( )()0 2 g xg 即 .10 分 2 1 ()0,( )0gg e e 又因为且.11 分 2 11313 ( )0 22 g x e 在(,)和(,e)上各有1个零点， ( )01g x 在(0,1)和( ,+ )上各有1个零点， 00 2 00 11 ln0 4 xx xx 即有两个实根，即满足条件的 有2个.12 分
