1、海南省 2020 年高考满分冲刺 6 月卷 数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 姓名_ 班级_ 考号_ 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4测试范围：高中全部内容. 第部分（选择题，共 60 分） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小
2、题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求一项是符合题目要求. 1已知集合1 20Ax xx，1Bx x，则AB （ ） A 1,1 B1,1 C,2 D2, 【答案】A 【解析】 (1)(2)012Ax xxxx ， 1,1AB . 2已知 i为虚数单位，复数 5 12 i i （ ） A1i B1i C1i D1 i 【答案】C 【解析】 55(1 2 ) 1 21 1 2(1 2 )(1 2 ) i iiiii iii . 3从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动要求至少有一名教师入选，且入选 教师人数不多于入选学生人数，则不同的选
3、派方案的种数是（ ） A20 B40 C60 D120 【答案】C 【解析】由题意可分成两类： （1）一名教师和三名学生，共 13 35 30C C ； （2）两名教师和两名学生，共 22 35 30C C ； 故不同的选派方案的种数是30 3060. 4已知向量2,am ，1,2b ，a bab，则实数m的值为（ ） A1 B 1 2 C 1 2 D1 【答案】D 【解析】向量, a b满足abab， 22 abab，即 22 ()()abab， 0a b r r ，则220m ，解得1m. 5已知 2 3 log 4 a ， 4 4 log 5 b ， 8 8 log 9 c ，则（ ）
4、Acba Babc Ccab Dacb 【答案】B 【解析】 1 2 2 422 2 4 log 4144 5 logloglog 5log 4255 b ， 1 2 3 8222 3 2 8 log 81882 9 loglogloglog 9log 83999 c ， 因为 3 944 16581 ，所以 1 2 3 342 459 ， 所以 1 2 222 3 342 logloglog 459 ，所以abc. 6函数 2 ee xx f x x 的图像大致为 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】 2 0,()( )( ) xx ee xfxf xf x x 为奇函数，舍去 A,
5、 1 (1)0fee 舍去 D; 2 43 ()()2(2)(2) ( )2,( )0 xxxxxx eexeexxexe fxxfx xx ， 所以舍去 C；因此选 B. 7已知圆 2 2 1: 24Cxy，抛物线 2 2: 20Cypx p的焦点F，其准线l经过 1 C的圆心，设P是 l与 1 C的交点，Q是线段PF与 2 C的一个交点，则FQ （ ） A208 5 B208 3 C 2 D2 5 【答案】A 【解析】 由题意， 1 2,0C ，抛物线 2 2: 8Cyx，过Q作QM 直线l于M， 由抛物线定义知QFQM， 1 C FMQ PFPQ ， 4 2 52 5 MQ MQ ， 2
6、0 8 5MQ . 8若函数 2x e fxm x x 恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ） A1,4 B 1 ,1 4 C 1 , 4 D4, 【答案】C 【解析】由 2 0 x e f xm x x 可得， 2 2 x e m x ，构造函数 2 2 x e g x x ， 2 3 2 x ex gx x ， 令 0gx 得到2x 或0x，令 0gx 得到02x， 所以 g x的单调递增区间为 02 +，递减区间为0 2， 显然 2 2 0 x e g x x ,当x时， 2 0 x e ， 2 1 0 x ，则 2 2 0 x e x 当x 时，由指函数 2x ye 增加的速度
7、比幂函数 2 yx=快得多，所以 2 2 x e x . 当0x时, 22x ee , 2 1 x ,所以 2 2 x e x . 画出函数 2 2 x e g x x 的大致图象，如图. 可知当0m时，直线y m 与 g x的图象无交点； 当0m时，函数 2 2 x e g x x 在2x时取得极小值，且 1 2 4 g. 当 1 4 m 时， 2 2 x e g x x 的图象与y m 有三个不同的交点， 即函数 2x e fxm x x 恰有三个不同的零点，所以m的取值范围为 1 , 4 . 二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2
8、0 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合 作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自 2013年以来，“一带一路”建设成果显著 下图是 2013-2017 年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ）. A这五年，2013年出口额最少 B这五年，出口总额比进口总额多 C这五年，出口增速前四
9、年逐年下降 D这五年，2017年进口增速最快 【答案】ABD 【解析】选项 A :观察五个灰色的条形图,可得 2013年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年, 2013年出口 额最少.故 A正确; 选项B:观察五组条形图可得2013年出口额比进口额稍低但2014年-2017年都是出口额高于进口额并且2015 年和 2016 年都是出口额明显高于进口额,故这五年,出口总额比进口总额多.故 B正确: 选项 C :从图中可知,红色的折线图是先上升后下降即 2013年到 2014 年出口增速是上升的.故 C 错误; 选项 D :从图中可知,蓝色的折线图 2017 年是最高的,即 2017年进口增速最快
10、,故 D 正确. 10将函数 f（x）2sinx（sinx 3 cosx）1图象向右平移 3 个单位得函数 g（x）的图象，则下列命题中 正确的是（ ） Af（x）在（ 4 ， 2 ）上单调递增 B函数 f（x）的图象关于直线 x 5 6 对称 Cg（x）2cos2x D函数 g（x）的图象关于点（ 2 ，0）对称 【答案】AC 【解析】因为 f（x）2sinx（sinx 3 cosx）12sin2x2 3sinxcosx13 sin2xcos2x2sin（2x 6 ） ； g（x）2sin2（x 3 ） 6 2cos2x；故 C 对； 对于 A，x（ 4 ， 2 ） ，2x 6 （ 2 3
11、， 7 6 ） ，此时函数 f（x）递增；故 A 对； 对于 B，x 5 6 时，f（x）2sin（2 5 66 ）2，故 B错； 对于 D，因为 g（ 2 ）2cos2 （ 2 ）0，故 D错； 11设a，b，c为实数且a b，则下列不等式一定成立的是（ ） A 11 ab B2020 1 a b Clnlnab D 22 11a cb c 【答案】BD 【解析】对于A，若0ab，则 11 ab ，所以A错误； 对于B，因为0a b ，所以20201 a b ，故B正确； 对于C，函数lnyx的定义域为( ) 0,+?，而a，b不一定是正数，所以C错误； 对于D，因为 2 10c ，所以 2
12、2 11a cb c，所以D正确. 12如图所示，棱长为 1的正方体 1111 ABCDABC D中，P 为线段 1 AB上的动点（不含端点） ，则下列结论 正确的是（ ） A平面 11 D AP 平面 1 A AP B 1 AP DC 不是定值 C三棱锥 11 BD PC的体积为定值 D 11 DCDP 【答案】ACD 【解析】 【分析】 A.易证明 11 D A 平面 1 A AP， 得到面面垂直； B.转化 11111111 ()AP DCAAAPDCAA DCAP DC， 再求数量积；C. 1111 BD PCP B D C VV ,根据底面积和高，判断体积是否是定值；D.由 1 DC
13、 平面 11 AD P，判 断线线是否垂直. 【详解】 A.因为是正方体，所以 11 D A 平面 1 A AP， 11 D A 平面 11 D AP，所以平面 11 D AP 平面 1 A AP，所以 A 正确； B. 11111111 ()AP DCAAAPDCAA DCAP DC 1111 2 cos45cos90121 2 AA DCAP DC ，故 1 1AP DC，故 B不正确； C. 1111 BD PCP B D C VV ， 11 B DC的面积是定值， 1 / /AB平面 11 B DC， 点P在线段 1 AB上的动点， 所以点P到 平面 11 B DC的距离是定值，所以
14、1111 BD PCP B D C VV 是定值，故 C 正确； D. 111 DCA D， 11 DCAB， 1111 ADABA，所以 1 DC 平面 11 AD P， 1 DP 平面 11 AD P，所以 11 DCDP，故 D正确. 第部分（选择题，共 90 分） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知 10 0,sincos 5 ，则tan2_. 【答案】 3 4 或 3 4 【解析】因为 10 0,sincos 5 ， 两边同时平方得出： 22 2 sincos2sincos 5 ， 即： 2 12sincos 5
15、 ，得 3 2sincos0 5 ， 而0,中，sin0，则可知cos0， 所以得, 2 ， 则 222 2sincos2tan3 2sincos sincostan15 ， 即： 2 3tan10tan30， 而, 2 ，解得： 1 tan 3 或tan3， 所以当 1 tan 3 时， 22 1 2 2tan33 tan2 1 tan4 1 1 3 ， 当tan3时， 22 232tan3 tan2 1tan4 13 ， 即：tan2 3 4 或 3 4 . 14 6 2 1 2 x x 的展开式中， 2 1 x 项的系数为_. 【答案】240 【解析】依题意可得， 6 2 1 2 x x
16、 的展开式的通项为 1r T 5 3 66 2 66 2 1 C(2)C2( 1) r r rrrrr xx x ， 令 5 32 2 r ，解得 2r =， 故 2 1 x 项的系数为 242 6 2( 1)15 16240C . 15在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以好多瓷器都做成 六棱形和八棱形.数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，如图，底面边长为6 cm，高为17 cm（底部及筒 壁厚度忽略不计）.一根长度为2 85 cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六 棱柱某一侧棱的底端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上.一位小朋友玩耍
17、时，向笔筒内注水，恰好将圆铁 棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为_ 2 cm. 【答案】144 【解析】六棱柱笔筒的边长为6 cm，高17cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、对棱的部分长h构成直 角三角形， 所以 22 2 8512h ， 14h，所以容器内水面的高度为14 cm. 设球的半径为R， 则球被六棱柱体上面截球所得圆即为正六边形的内切圆，所以圆的半径为6cos303 3， 六棱柱笔筒的高17 cm，水面的高度为14 cm，则球心到截面圆的距离为3R， 则 2 2 2 33 3RR，解得6R ， 球的表面积为 22 46144cm. 16设抛物线 2
18、2(0)ypx p的焦点为(1,0)F，准线为 1，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别 过A，B作l的垂线， 垂足为C，D， 若| 4|A FB F， 则p _， 三角形CDF的面积为_. 【答案】2 5 【解析】抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为(1,0)F， 所以1 2 p ， 所以2P ； 如图所示， 过点B作BMl，交直线AC于点M， 由抛物线的定义知| |AFAC，| | |BFBD ， 且| 4|AFBF， 所以| 3|AMBF，| 5|ABBF， 所以 3 | 5 AMAB，4|BMBF， 可知：AFxBAM， 所以直线AB的斜率为 4 tan 3 BM kBAM AM
19、， 设直线AB的方程为 4 (1) 3 yx，点 11 ,A x y， 22 ,B x y， 由 2 4 (1) 3 4 yx yx ， 消去y整理得 2 41740xx， 所以 12 17 4 xx， 所以 12 25 | 4 ABxxp， 所以 254 | |sin5 45 CDABBAM； 所以CDF的面积为 1 5 25 2 四、四、解答题：本小题共解答题：本小题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 10 分） ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 22 (sinsi
20、n)sinsinsinBCABC （1）求 A； （2）若 22abc ，求 sinC 【解析】 （1） 2 222 sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC 即： 222 sinsinsinsinsinBCABC 由正弦定理可得： 222 bcabc 222 1 cos 22 bca A bc 0,A 3 A （2）22abc，由正弦定理得：2sinsin2sinABC 又sinsinsincoscossinBA CACAC， 3 A 331 2cossin2sin 222 CCC 整理可得：3sin 63cosCC 22 sincos1CC 2 2 3si
21、n63 1sinCC 解得： 62 sin 4 C 或 62 4 因为 6 sin2sin2sin2sin0 2 BCAC 所以 6 sin 4 C ，故 62 sin 4 C . （2）法二：22abc，由正弦定理得：2sinsin2sinABC 又sinsinsincoscossinBA CACAC， 3 A 331 2cossin2sin 222 CCC 整理可得：3sin 63cosCC ，即3sin3cos2 3sin6 6 CCC 2 sin 62 C 由 2 (0,),(,) 366 2 CC ，所以, 6446 CC 62 sinsin() 464 C . 18 （本小题满分
22、12 分） 已知等比数列 n a的前n项和为 n S，若 1 15 2 a ， 4 30S ，且 1 4a， 2 3a， 3 2a成等差数列 （1）求 n a的通项公式： （2） 已知 2 log nn ba， 1 11 ( 1)n n nn c bb ，求数列 n c的前 2020项和 2020 T 【解析】 （1）设数列 n a的首项为 1 a，公比为q，因为 1 4a， 2 3a， 3 2a成等差数列， 所以有： 213 642aaa，即： 2 111 642a qaa q， 化简后得： 2 320qq，解得： 2q = 或1q ， 又因为 4 30S ， 1 15 2 a ，所以 n
23、a不是常数列，故2q =， 所以有 4 1 1 2 30 1 2 a ，解得： 1 2a ， 所以 1 2 22 nn n a ； （2） 22 loglog 2n nn ban， 1 11 ( 1)( 1) 11 1 nn n nn c nbbn ， 2020 1111111 1 2232019202020202021 T 1111111 1 2232019202020202021 1 1 2021 2020 2021 . 19 （本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，90ABD ，EB 平面ABCD， ,2EFABAB ， 3,1EBEF，13BC ，且
24、M是BD的中点. （）求证：EM平面ADF； （）求二面角DAFB的大小； （）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30？ 若存在，求出BP的长度；若不存 在，请说明理由. 【解析】 （）证明：因为EB 平面ABD，ABBD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz 由已知可得各点坐标为 (0,0,0), (0,2,0),(3,0,0)BAD， (3, 2,0),(0,0, 3)CE 3 ,(0,1, 3),0,0 2 FM 3 ,0,3 ,(3, 2,0),(0, 1, 3) 2 EMADAF 设平面ADF的一个法向量是( , , )x y zn 由 0 0 n
25、AD n AF 得 320 30 xy yz 令y=3，则(2,3, 3)n 又因为 3 ,0,3(2,3, 3)3030 2 EM n ， 所以EM n，又EM 平面ADF，所以EM P平面ADF （）由（）可知平面ADF的一个法向量是(2,3, 3)n. 因为EB 平面ABD，所以EBBD 又因为ABBD，所以BD 平面EBAF. 故(3,0,0)BD 是平面EBAF的一个法向量. 所以 1 cos, 2| BD BD BD n n n ，又二面角DAFB为锐角， 故二面角DAFB的大小为60 （）假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30 不妨设(0,0, )(03)Ptt
26、 ，则(3, 2,),(0, 1, 3)PCtAF 所以 2 |23 | cos, | | 213 PC AFt PC AF PCAF t 由题意得 2 233 2 213 t t 化简得4 335t 解得 35 0 4 3 t 因为03t ，所以无解 即在线段EB上不存在点P，使得CP与AF所成的角为30 20 （本小题满分 12 分） 2020年春季， 某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车， 现有采购成本分别为11万 元/辆和8万元/辆的,A B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车车型使用寿命频数 表如下： 使用寿命年数 5 年 6 年 7 年 8
27、 年 总计 A型出租车(辆) 10 20 45 25 100 B型出租车(辆) 15 35 40 10 100 （1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？ 使用寿命不高于6年 使用寿命不低于7年 总计 A型 B型 总计 （2）从A和B的车型中各随机抽取1车，以X表示这2车中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和 数学期望； （3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租车每年上交公司6万元，其余维修和保险等 费用自理.假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这10辆 出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果
28、你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？ 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，na b cd . 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【解析】 （1）填表如下： 使用寿命不高于6年 使用寿命不低于7年 总计 A型 30 70 100 B型 50 50 100 总计 80 120 200 由列联表可知 2 2 200 50 7030 50 8.336.635 100 100 80 120 K ， 故有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关. （2）由题意可知，A型车使用寿命不低于7年的车数占 7 10 ，低于7年
29、的车数占 3 10 ；B型车使用寿命不低 于7年的车数占 1 2 ，低于7年的车数占 1 2 .且X可能的取值为0,1,2. 313 0 10220 P X ， 71311 1 1021022 P X ， 717 2 10220 P X ， X的分布列为： X 0 1 2 P 3 20 1 2 7 20 其数学期望 317 0121.2 20220 E X . （3）用频率估计概率，这100辆A款出租车的平均利润为： 1 19 1025 2031 4537 25 100 30.1（万元） ， 这100辆B款出租车的平均利润为： 1 22 1528 3534 4040 10 100 30.7（万
30、元） ， 故会选择采购B款车型. 21 （本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，且过点 3 1 2 ，. F为椭 圆的右焦点， ,A B为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF分别交椭圆于,C D两点. 求椭圆的标准方程； 若AFFC，求 BF FD 的值； 设直线AB， CD的斜率分别为 1 k， 2 k，是否存在实数m，使得 21 kmk，若存在，求出m的值；若 不存在，请说明理由. 【解析】（1）设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，由题意知： 22 1 2 19 1 4 c
31、 a ab 解之得： 2 3 a b ，所以椭圆方程为： 22 1 43 xy （2）若AFFC，由椭圆对称性，知 3 1, 2 A ，所以 3 1, 2 B ， 此时直线BF方程为3430xy， 由 22 3430, 1, 43 xy xy ，得 2 76130xx，解得 13 7 x （1x舍去） ， 故 117 13 3 1 7 BF FD （3）设 00 ,)A xy（，则 00 ,Bxy， 直线AF的方程为 0 0 1 1 y yx x ，代入椭圆方程 22 1 43 xy ，得 222 0000 15 6815240xxyxx， 因为 0 xx是该方程的一个解，所以C点的横坐标 0
32、 0 85 52 C x x x ， 又, cC C x y在直线 0 0 1 1 y yx x 上，所以 00 00 3 1 152 Cc yy yx xx ， 同理，D点坐标为 0 0 85 (5 2 x x ， 0 0 3 ) 52 y x ， 所以 00 000 21 00 0 00 33 525255 8585 33 5252 yy xxy kk xx x xx ， 即存在 5 3 m ，使得 21 5 3 kk 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 211 1()R , axx f xx ea ag xex . （1）求函数 f x的单调区间； （2）对a(0，1)，是否存在实
33、数 ，1,1,nmaaaa ，使 2 ( )0fgnm 成立， 若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】 （1） 21 1 ax f xx ea (R)a的定义域为(,) ， 1 ( )(2) ax fxx axe ， 当 a=0 时，0,( )0,0,( )0xfxxfx ， 所以函数 ( )f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0). 当 a0 时， 22 ,( )0,0 ,( )0,(0,)xfxxfxx aa ， ( )0fx ， 所以函数 ( )f x的单调递增区间为 2 ,(0,) a ，单调递减区间为 2 ,0 a . 当 a0 时， 22 (,0),
34、( )0,0,( )0,xfxxfxx aa ， ( )0fx 所以函数 ( )f x的单调递减区间为 2 (,0), a ，单调递增区间为 2 0, a . （2）由 1 ( ) x g xex ，得 1 ( )1 x g xe ，当1x 时，( )0,1 g xx时，( )0g x， 故( )g x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 所以 min ( )(1)0g xg，故当1, maa时， 1 min ( )( )0 a g mg aea 当(0,1)a时， 2 1a a ，由（1）知，当1, naa时， min ( )(0)10f nfa 所以 min 22 ( )(1)f
35、na， 若对1, ,1, maanaa 使 2 ( )( )0f ng m成立，即 2 ( )( )f ng m 则0且 2 minmin ( )( )f ng m. 所以 21 (1)eaaa ，所以 2 1 (1) a a ea . 设 2 1 (1) ( ),0,1) x x h xx ex ，则 11 2 1 (1) 31 ( ) xx x xexex h x ex ， 令 11 ( )3ee1,0,1 xx r xxxx 则 1 ( )(2)e1 x r xx ， 当0,1)x时，由1 x ex，故 1 e2 x x ， 所以 1 (2)1 x x e ，故( )0r x ， 所以( )r x在0,1上单调递减， 所以0,1)x时，( )(1)0r xr，即( )0r x , 又0,1)x时, 10x , 所以当0,1)x时，( )0, ( )h xh x 单调递减， 所以当(0,1)x时，( )(0)h xhe， 即(0,1)a时， 2 1 (1) a a e ea ，故e. 所以当e时，对(0.1),1, ,1, amaanaa 使 2 ( )( )0f ng m成立.
