1、第 1 页共 6 页 一元二次方程根的分布问题一元二次方程根的分布问题 一一元二次方程根的基本分布零分布 所谓一元二次方程根的零分布零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有 一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两 侧。 设一元二次方程设一元二次方程0 2 cbxax（0a）的两个实根为）的两个实根为 1 x， 2 x，且，且 21 xx 。 【定理 1 1】：0 1 x，0 2 x 0 0)0( 0 04 2 b cf a acb 或 0 0)0( 0 04 2 b cf a acb 上述推论结合二次函数图象不难得到。 【定
2、理 2】：0 1 x，0 2 x 0 0)0( 0 04 2 b cf a acb 或 0 0)0( 0 04 2 b cf a acb 由二次函数图象易知它的正确性。 【定理 3】 21 0 xx0 a c 【定理 4】 10 1 x，0 2 x0c且0 a b ； 20 1 x，0 2 x0c且0 a b 。 二一元二次方程的非零分布k分布 设一元二次方程0 2 cbxax（0a）的两实根为 1 x， 2 x，且 21 xx 。k为常数。则一 第 2 页共 6 页 元二次方程根的k分布（即 1 x， 2 x相对于k的位置）有以下若干定理。 【定理 1】 21 xxk k a b kaf a
3、cb 2 0)( 04 2 【定理 2】kxx 21 k a b kaf acb 2 0)( 04 2 。 【定理 3】 21 xkx0)(kaf。 【定理 4】有且仅有 11 xk （或 2 x） 2 k0)()( 21 kfkf 第 3 页共 6 页 【定理 5】 221211 pxpkxk 0)( 0)( 0)( 0)( 0 2 1 2 1 pf pf kf kf a 或 0)( 0)( 0)( 0)( 0 2 1 2 1 pf pf kf kf a 此定理可直接由定理 4 推出，请读者自证。 【定理 6】 2211 kxxk 21 2 1 2 2 0)( 0)( 0 04 k a b
4、k kf kf a acb 或 21 2 1 2 2 0)( 0)( 0 04 k a b k kf kf a acb 三典型例题典型例题 例例 1(1)方程 2 240 xax的两根均大于1，求实数a的范围 (2)方程 2 240 xax的两根一者大于1，一者小于1求实数a的范围 (3)方程 2 240 xax的两根一者在(0,1)内，一者在（6，8）内，求实数a的范围 解析解析：令 2 ( )24f xxax （1）由 0 1 2 (1)0 a f 或 12 12 0 (1)(1)0 (1)(1)0 xx xx 得： 5 2 2 a； （2）由(1)0f或 12 0 (1)(1)0 xx
5、得： 5 2 a ； 第 4 页共 6 页 （3）由 (0)0 (1)0 (6)0 (8)0 f f f f 得：10 17 34 a 例例 2关于x的方程9(4) 340 xx a有实根，求实数a的取值范围 解析解析：令3xt（0t ） ， 原方程有实根等价于方程原方程有实根等价于方程 2 (4)40tat有正根有正根 令 2 ( )(4)4f ttat，显然( )f t恒过(0,4)点，由图像可知： 方法一方法一： 0 4 0 2 a 得：8a 方法二方法二：要使方程 2 (4)40tat有正根，则方程 2 (4)40tat的较大根大于0即可； 故由 2 0 (4)(4)16 0 2 aa
6、 得：8a 例例 3关于x的方程 2 210axx 至少有一个负根，求实数a的取值范围 解析解析：令 2 ( )21f xaxx，( )f x恒过(0,1)点 方法一方法一： 0a时，210 x 1 0 2 x 成立 0a时， 0 1 0 a 得：01a； 0a时，恒成立； 综上可知：1a 方法二方法二： 0a时，210 x 1 0 2 x 成立 0a时，要使方程 2 210axx 至少有一个负根等价于方程 2 210axx 的较小根小于0 第 5 页共 6 页 即可故 0 0 244 0 2 a a a 或 0 0 244 0 2 a a a 得1a ； 综上可知：1a 例例 4已知函数 2
7、2 ( )(21)2f xxaxa与非负轴至少有一个交点，求实数a的取值范围 解析解析：方法一方法一： 方程( )0f x 有一个实根是0，则(0)0f得：2a ； 方程( )0f x 有两个正根，则 0 21 0 2 (0)0 a f 得： 9 2 4 a； 方程( )0f x 有一个正根一个负根，则(0)0f得：22a； 综上可知： 9 2 4 a 方法二方法二：考虑命题的对立面：方程( )0f x 没有实根或两个负根； 方程( )0f x 没有实根，则0得： 9 4 a ； 方程( )0f x 有两个负根，则 0 21 0 2 (0)0 a f 得2a ； 故2a 或 9 4 a 因此函
8、数 22 ( )(21)2f xxaxa与非负轴至少有一个交点实数a的取值范围是： 9 2 4 a 例例 5关于x的方程 2 10 xmx 只有较小的根在( 1,1)内，求实数m的取值范围 解析解析：(1)0f时，2m，此时方程为 2 210 xx ，两根 12 1xx，不成立； 由 ( 1)0 (1)0 f f 得2m； 综上可知：2m 第 6 页共 6 页 例例 6 关于x的方程 2 (1)10 xmx 在区间0,2上有实根，求实数m的取值范围 解析解析：令 2 ( )(1)1f xxmx， 端点：(0)10f ；(2)0f得： 3 2 m ； 在开区间(0,2)上 （i）在(0,2)上仅有一个实根，则(0)(2)0ff得： 3 2 m ； （ii）在(0,2)上有两个相等的实根，则 0 1 02 2 m 得：1m； （iii）在(0,2)上有两个不等的实根，则 0 1 02 2 (0)0 (2)0 m f f 得： 3 1 2 m； 综上可知：1m
