1、江苏省南京市2021届期中考试考前训练 数学试题 一、 单项选择题： 本题共 8小题， 每小题 5分， 共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的。 1已知复数z1+2i =3-i (其中i是虚数单位)， 则z在复平面内对应点在( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2已知集合A=x 2 x 1 ,B=yy2-6y+50 ，则AB=( ) A.0,5 B.0,5 C.0,3 D.0,3 3已知双曲线C: x2 a2 - y2 b2 =1(a0,b0)的离心率为 5 2 ， 则双曲线C的渐近线方程为() A2xy=0Bx2y=0C 3xy=0D 3x
2、y=0 4函数f(x)=x3-( 1 2 )x的零点所在区间为() A(-1,0)B(0, 1 2 )C( 1 2 ,1)D(1,2) 5函数f(x)=(e2x+e-2x)ln|x|的部分图象大致为() AB C D 6. 已知某超市为顾客提供四种结账方式： 现金、 支付宝、 微信、 银联卡若顾客甲只会用现金结账， 顾客 乙只会用现金和银联卡结账， 顾客丙与甲、 乙结账方式不同， 丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物 后依次结账， 那么他们结账方式的组合种数共有() A36种B30种C24种D20种 7知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点， 则( PA+ PB)( PC+
3、 PD)的最小值 为 () A-1B-2C-4D-6 8已知直线l1:kx+y=0(kR)与直线l2:x-ky+2k-2=0相交于点A， 点B是圆(x+2)2+(y+3)2=2 上的动点， 则|AB|的最大值为() 1 A3 2B5 2C5+2 2D3+2 2 二、 多项选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。 全部选对的得5分， 部分选对的得3分， 有选错的得0分。 9某特长班有男生和女生各10人， 统计他们的身高， 其数据(单位：cm)如下面的茎叶图所示， 则下列结 论正确的是() A女生身高的极差为12B男生身高的均值较大
4、 C女生身高的中位数为165D男生身高的方差较小 10已知函数f(x)=sin(3x+)(- 2 b9且a10b10， 则以下结论正 确的有() Aa9a10a10Cb100Db9b10 12当x1时，(4k-1-lnx)xb0)的左、 右焦点，P为C上的动点， 其中P到F1的最短距离 为1， 且当PF1F2的面积最大时， PF1F2恰好为等边三角形 (1)求椭圆C的标准方程； (2)以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”， 记椭圆C的外切圆为E (i)求圆E的方程； (ii)在平面内是否存在定点Q， 使得以PQ为直径的圆与E相切， 若存在求出定点Q的坐标； 若不存在， 请 说明理由 22(
5、本小题满分12分) 已知函数f(x)=ln(2x+a)(x0，a0)， 曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线在y轴上的截距为ln3- 2 3 (1)求a； (2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x0)和h(x)=f(x)- 2x 2x+1 (x0)的单调性； (3)设a1= 2 5 ，an+1=f(an)， 求证： 5-2n+1 2n 1 an -20,b 0) 的离心率为 5 2 ， 可得： c a = 5 2 ， 即1+ b2 a2 = 5 4 ， 可得 b a = 1 2 ， 则双曲线C的渐近线方程为：x2y=0 故选：B 4. C解析函数f(x)=x3-( 1 2 )x是增函数
6、并且是连续函数， 可得f( 1 2 )= 1 8 - 1 2 0 f( 1 2 )f(1)1时，f(x)0， 当0x1时，f(x)0， 排除选项A和C 故选：D 6D.解析根据题意， 依次分析四人的结账方式： 对于甲， 只会用现金结账， 有1种方式， 对于乙， 只会用现金和银联卡结账， 有2种方式， 对于丙， 与甲、 乙结账方式不同， 若乙用现金， 则丙有3种方式， 若乙用银行卡， 则丙有2种方式， 对于丁， 用哪种结账方式都可以， 有4种方式， 则他们结账方式的组合有34+24=20种， 故选：D 7. C解析： 以A为原点，AB、AD所在的直线分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
7、则A(0,0)， B(2,0)，C(2,2)，D(0,2) 6 设P(x,y)， 则 PA=(-x,-y)， PB=(2-x,-y)， PC=(2-x,2-y)， PD=(-x,2-y)， ( PA+ PB)( PC+ PD)=(2-2x，-2y)(2-2x，4-2y)=(2-2x)2+4y2-8y =4(x-1)2+4(y-1)2-4， 当x=1，y=1时，( PA+ PB)( PC+ PD)取得最小值， 为-4 故选：C 8. C解析： 因为线l1:kx+y=0恒过定点O(0,0)， 直线l2:x-ky+2k-2=0恒过定点C(2,2)且l1l2， 故两 直线的交点A在以OC为直径的圆上，
8、 且圆的方程D:(x-1)2+(y-1)2=2， 要求|AB|的最大值， 转化为在D:(x-1)2+(y-1)2=2上找一点A， 在E:(x+2)2+(y+3)2=2上找一点 B， 使AB最大， 根据题意可得两圆的圆心距 (1+2)2+(1+3)2=5， 则|AB|max=5+2 2 故选：C 二、 多项选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。 全部选对的得5分， 部分选对的得3分， 有选错的得0分。 9. AB解析：A、 找出所求数据中最大的值 173， 最小值161， 再代入公式求值极差=173 -161=12， 故本选 项
9、符合题意； B、 男生身高的数据在167192之间， 女生身高数据在161173之间， 所以男生身高的均值较大， 故本选项 符合题意； C、 抽取的10名女生中， 身高数据从小到大排列后， 排在中间的两个数为165和167， 所以中位数是166， 故 本选项不符合题意； D、 抽取的学生中， 男生身高的数据在167192之间， 女生身高数据在161173之间， 男生身高数据波动性 大， 所以方差较大， 故本选项不符合题意 故选：AB 10. AC解析:函数f(x) = sin(3x + ) ( - 2 2 )的图象关于直线x = 4 对称， 3 4 + = 2 + k，kZ； - 2 2 ，=
10、- 4 ；f(x)=sin(3x- 4 )； 对于A， 函数f(x+ 12 )=sin3(x+ 12 )- 4 =sin(3x)， 根据正弦函数的奇偶性， 所以f(-x)=-f(x)因 此函数f(x)是奇函数， 故A正确 对于B， 由于x 12 ， 3 ，3x- 4 0， 3 4 ， 函数f(x)=sin(3x- 4 )在 12 ， 3 上不单调， 故B错误； 对于C， 因为f(x)max=1，f(x)min=-1又因为|f(x1)-f(x2)|=2，f(x)=sin(3x- 4 )的周期为T= 2 3 ， 所 以则|x1-x2|的最小值为 3 ，C正确； 对于D， 函数f(x)的图象向右平移
11、 4 个单位长度得到函数f(x- 4 )=sin3(x- 4 )- 4 =-sin3x， 故D 7 错误 故选：AC 11. AD解析： 数列an是公比q为- 2 3 的等比数列，bn是首项为12， 公差设为d的等差数列， 则a9=a1(- 2 3 )8，a10=a1(- 2 3 )9， a9a10=a1 2(- 2 3 )17b10， 不能求得b10的符号， 故C错误； 由a9b9且a10b10， 则a1(- 2 3 )812+8d，a1(- 2 3 )912+9d， 可得等差数列bn一定是递减数列， 即db9b10， 故D正确 故选：AD 12. ABC 解析： 由(4k-1-lnx)x1
12、)， 可得k1)， 则F(x)= 1 x - 3 x2 + 1-lnx x2 = x-2-lnx x2 ， 可令g(x)=x-lnx-2，g(x)=1- 1 x = x-1 x 0， 所以g(x)在(1,+)递增， 因为g(1)0， 所以F(x)=0在(1,+)有且只有一个实根x0， 于是F(x)在(1,x0)递减， 在(x0，+)递增， 所以F(x)min=F(x0)=lnx0+ 3 x0 + lnx0 x0 (*) 因为F(3)= 1-ln3 9 0， 所以x0(3,4)， 且x0-2-lnx0=0， 将lnx0=x0-2代入(*)可得F(x)min=F(x0)=x0-2+ 3 x0 +
13、x0-2 x0 =x0+ 1 x0 -1，x0(3,4)， 因为t=x0+ 1 x0 -1在(3,4)递增， 所以t( 7 3 ， 13 4 )， 即 1 4 F(x)min( 7 12 ， 13 16 )， 因为k为整数， 所以k0， 故选：ABC 三、 填空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13. 3 解析： 由cos 2 - = 3 2 ， 得sin= 3 2 ，是锐角，=60， 则tan= 3， 故答案为 3 14. x-y+2=0 解析： 曲线fx =xex+2， fx =ex+xex， 将x=0带入曲线中可得f0 =2， 带入导函
14、数中可得f0 =e0=1， 曲线fx =xex+2在点0,2处的切线方程为y-2=x， 即x-y+2=0 8 15. 9 3 8 解析： A=30，C=45，c=3， 由正弦定理 a sinA = c sinC ， 可得a= csinA sinC = 3 1 2 2 2 = 3 2 2 又BPC=60， 在三角形PBC中， 令PB=m， 令PC=n， 由余弦定理可得cosBPC= m2+n2- 9 2 2mn = 1 2 ， m2+n2- 9 2 =mn2mn- 9 2 ， (当且仅当m=n= 3 2 2 时等号成立) mn 9 2 ， S= 1 2 mnsinBPC= 9 3 8 故答案为
15、9 3 8 16. n n+1 解析：Sn= 1- 1 2n an+1，n2时，Sn-1= 1- 1 2n-1 an， 两式作差， 得an= 1- 1 2n an+1- 1- 1 2n-1 an，n2， 化简得 an+1 an =2，n2， 检验： 当n=1时，S1=a1= 1 2 a2=2，a2=4， a2 a1 =2， 所以数列an是以2为首项， 2为公比的等比数列； an=2n，bn=log2an=log22n=n， 令cn= 1 bnbn+1 = 1 nn+1 = 1 n - 1 n+1 ， Tn=1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 n - 1 n+1
16、 =1- 1 n+1 = n n+1 ， 故填 n n+1 四、 解答题： 本题共6小题， 共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、 证明过程或 演算步骤。 (1)由三角形面积可知 1 2 8 3 2 3 = 1 2 38sinB，2分 sinB= 3 2 ， 又因为B是锐角， 所以B= 3 5分 (2)由(1)可知 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=64+9-24=49， 所以AC=77分 又因为cosA= AB2+AC2-BC2 2ABAC = 64+49-9 287 = 13 14 ， 9分 因此ACcosA+3cosB=3 1 2 +7 13 14 =812
17、分 9 18. 解： (1)由已知有x =45，y =36，b = n i=1 xiyi-n.x .y n i=1 xi2-n.x 2 = 16310-84536 20400-8452 0.80， a =36-0.8045=0， 4分 故变量y关于变量x的线性回归方程为y=0.80 x， 5分 所以当x=2500时， y=25000.80=2000 6分 (2)由题意可知X的可能取值有1， 2， 3， 47分 P(X=1)= C1 5C 3 3 C4 8 = 1 14 ，P(X=2)= C2 5C 2 3 C4 8 = 3 7 ， P(X=3)= C2 5C 1 3 C4 8 = 3 7 ，P
18、(X=4)= C4 5 C4 8 = 1 14 11分 所以X的分布列为 X1234 P 1 14 3 7 3 7 1 14 E(X)=1 1 14 +2 3 7 +3 3 7 +4 1 14 = 5 2 12分 19. (1)证明： 连接BD交AC于点F， 连接EF 因为AD/BC， 所以AFD与BCF相似 所以 BF FD = BC AD =2 又 BE ES = BF FD =2， 所以EF/SD 因为EF平面ACE，SD平面ACE， 所以直线SD/平面ACE (2)解： 平面SCD平面ABCD， 平面SCD平面ABCD=CD，BC平面ABCD， BCCD， 所以BC平面SCD 以C为坐
19、标原点， CD, CB所在的方向分别为y轴、z轴的正方向， 与 CD, CB均垂直的方向作为x轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz 则C(0， 0，0)，S(1， 1，0)，A(0， 2，2)，E( 2 3 , 2 3 , 4 3 )， CA=(0， 2，2)， CS=(1， 1，0)， CE=( 2 3 , 2 3 , 4 3 ) 设平面SAC的一个法向量为m =(x，y，z)， 则 m CA=2y+2z=0 m CS=x+y=0 ， 令x=1， 得m =(1，-1，1)， 设平面EAC的一个法向量为n =(x，y，z)， 则 n CA=2y+2z=0 n CE= 2 3 x
20、+ 2 3 y+ 4 3 z=0 ， 令z=1， 得n =(-1，-1，1) 10 设二面角S-AC-E的平面角的大小为， 则cos= |m n | |m |n |= 1 3 3 = 1 3 所以二面角S-AC-E的余弦值为 1 3 20. (1)因为an+1是4和Sn的等比中项， 所以an+1 2=4S n， 当n2时， an-1+1 2=4S n-1， 由-得：an+1 2- an-1+1 2=4S n-4Sn-1， 化简得an-1 2= an-1+1 2， 即a n-1=an-1+1或者an-1+ an-1+1 =0(舍去)， 故an-an-1=2(n2)， 数列an为等差数列， 因为a
21、1+1 2=4S 1， 解得a1=1， 所以数列an是首项为1、 公差为2的等差数列，an=2n-1. (2)因为bn= 1 2n(2n+2) = 1 4 1 n - 1 n+1 ， 所以Tn=b1+b2+bn= 1 4 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 n - 1 n+1 = n 4(n+1) . 21. 解： (1)由题意可得：a-c=1， 面积最大时P为短轴的顶点， 再由PF1F2恰好为等边三角形， 可得b= 3 2 2c，a2=b2+c2， 解得：a2=4，b2=3， 所以椭圆的标准方程为： x2 4 + y2 3 =1； (2)(i)由(1)得圆E的圆心坐标为(0,0)，
22、 半径为a=2， 所以圆E的方程为：x2+y2=4； (ii)解法一： 假设存在满足条件的定点Q， 由题意可知定点Q必在x轴上， 设Q(m,0)，P(x0，y0)， 则 x2 0 4 + y2 0 3 =1， 由(i)可知， 圆E的圆心为坐标原点O， 半径为2， 设以PQ为直径的圆的圆心为G， 半径为r， 则G为线段PQ的中点， r= |PQ| 2 ， 即G( x0+m 2 ， y0 2 )，r= 1 2 (x0-m)2+y2 0， 因为圆E与圆G相切， 则|OG|=2-r， 所以 ( x0+m 2 )2+ y2 0 4 =2- 1 2 (x0-m)2+y2 0， 其中y 2 0=3- 3 4
23、 x2 0， 两边平方并整理得：4-mx0=2 (x0-m)2+y2 0， 化简得(m 2-1)(x2 0-4)=0， 11 上式对任意x0-2，2恒成立， 故m2-1=0， 解得m=1， 所以， 当定点Q恰好为椭圆的焦点时， 符合题意 解法二： 存在满足条件的定点Q， 由题意可知， 当P为长轴的端点时，P即为切点， 因此， 定点Q必在x轴上， 设Q(m,0)，P(x0，y0)， 则 x2 0 4 + y2 0 3 =1， 由(i)可知， 圆E的圆心为坐标原点O， 半径为2， 设以PQ为直径的圆的圆心为G， 半径为r， 则G为线段PQ的中点， 则r= |PQ| 2 ， 即G( x0+m 2 ，
24、 y0 2 )，r= 1 2 (x0-m)2+y2 0， 因为圆E与圆G相切， 则|OG|=2-r， 所以 ( x0+m 2 )2+ y2 0 4 =2- 1 2 (x0-m)2+y2 0， 整理得 (x0+m)2+y2 0+ (x0-m)2+y2 0=4， 设Q(-m,0)， 则|PQ|+|PQ|=4， 又因为P在椭圆 x2 4 + y2 3 =1上， 设F1，F2分别为椭圆的左右焦点， |PF1|+|PF2|=4， 故Q，Q分别与F1，F2重合， 所以当定点Q恰好为椭圆的C的焦点时， 符合题意 解法三： 假设存在满足条件的定点Q， 由题意可知定点Q必在x轴上， 由(i)可知， 圆E的圆心为
25、坐标原点O， 半径为2， 设以PQ为直径的圆的圆心为G， 半径为r， 则G为线段PQ的中点， 则r= |PQ| 2 ， 因为圆E与圆G相切， 则|OG|=2-r， 即|OG|=2- |PQ| 2 ， 所以2|OG|+|PQ|=4， 设Q为Q关于原点对称点， 则OG恰好为QQP的中位线， 所以2|OG|=|PQ|， 所以|PQ|+|PQ|=4， 下同解法二； 解法四： 假设存在满足条件的定点Q， 设M(m,n)，P(x0，y0)， 则 x2 0 4 + y2 0 3 =1 由(i)可知， 圆E的圆心为坐标原点O， 半径为2， 设以PQ为直径的圆的圆心为G， 半径为r， 则G为线段PQ的中点， 则
26、r= |PQ| 2 ， 即G( x0+m 2 ， y0+n 2 )，r = 1 2 (x0-m)2+(y0-n)2， 因为圆E与圆G相切， 则|OG|=2-r， 所以 (x0+m)2 4 + (y0+n)2 4 =2- 1 2 (x0-m)2+(y0-n)2， 整理得 (x0+m)2+(y0+n)2+ (x0-m)2+(y0-n)2=4， 12 设Q(-m,-n)， 因此|PQ|+|PQ|=4， 下同解法一 22. (1)对f(x)=ln(2x+a)求导， 得f(x)= 2 2x+a 因此f(1)= 2 2+a 又因为f(1)=ln(2+a)， 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方
27、程为y-ln(2+a)= 2 2+a (x-1)， 即y= 2 2+a x+ln(2+a)- 2 2+a 由题意，ln(2+a)- 2 2+a =ln3- 2 3 显然a=1， 适合上式 令(a)=ln(2+a)- 2 2+a (a0)， 求导得(a)= 1 2+a + 2 (2+a)2 0， 因此(a)为增函数： 故a=1是唯一解 (2)由(1)可知，g(x)=ln(2x+1)-2x(x0)，h(x)=ln(2x+1)- 2x 2x+1 (x0)， 因为g(x)= 2 2x+1 -2=- 4x 2x+1 0)为减函数 因为h(x)= 2 2x+1 - 2 (2x+1)2 = 4x (2x+1
28、)2 0， 所以h(x)=f(x)- 2x 1+2x (x0)为增函数 (3)证明： 由a1= 2 5 ，an+1=f(an)=ln(2an+1)， 易得an0. 5-2n+1 2n 1 an -2an0时，g(x)g(0)=0， 即f(x)2x 令x=an-1(n2)， 得f(an-1)2an-1， 即an2an-1 因此， 当n2时，an2an-122an-22n-1a1= 2n 5 所以 5-2n+1 2n 1 an -2成立 下面证明： 1 an -20时，h(x)h(0)=0， 即f(x) 2x 2x+1 0 因此 1 f(x) 1 2x +1， 即 1 f(x) -2 1 2 (
29、1 x -2) 令x=an-1(n2)， 得 1 f(an-1) -2 1 2 ( 1 an-1 -2)， 13 即 1 an -2ln 3 ln e = 1 2 ， 所以 1 ln1.8 -20， 所以 1 a2 -20 所以， 当n3时， 1 an -2 1 2 ( 1 an-1 -2) 1 22 ( 1 an-2 -2) 1 2n-2 ( 1 a2 -2)0 所以， 当n2时， 1 an -20成立 综上所述， 当n2时， 5-2n+1 2n 1 an -20， 所以 1 an -20 1 an 1 2 下面用数学归纳法证明：n2时，an 1 2 当n=2时，a2=f(a1)=ln(2a
30、1+1)=ln(2 2 5 +1)=ln1.8 而a2=ln1.8 1 2 ln1.8ln 2 1.8 2 1.8223.242， 因为3.242， 所以a2 1 2 可见n=2， 不等式成立 假设当n=k(k2)时不等式成立， 即ak 1 2 当n=k+1时，an=ak+1=f(ak)=ln(2ak+1) 因为ak 1 2 ，f(x)=ln(2x+1)是增函数， 所以ak+1=ln(2ak+1)ln(2 1 2 +1)=ln2 要证ak+1 1 2 ， 只需证明ln2 1 2 而ln2 1 2 ln2ln 2 2 2 22( 2)242， 因为42， 所以ln2 1 2 所以ak+1 1 2 可见，n=k+1时不等式成立 由可知， 当n2时，an 1 2 成立 14
