1、 高三数学（文科）零诊试题第 1 页（共 17 页） 遂 宁 市 高 中 2021 届 零 诊 考 试 数学（文科）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第卷（选择题，满分 60 分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡 上。并检查条形码粘贴是否正确。 2选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水 签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 3考试结束后，将答题卡收回。
2、 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给 出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1. 已知集合0,1,2,3,5,7A，|07,)BxxxN，则 AB 中元素的个数为 A3 B4 C5 D6 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是(1,1)，则 z i A1 i B1 i C1 i D1 i 3. 设xR，则“05x”是“11x”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4. 已知各项均不相等的等比数列 234 ,3 ,2 , n aaa a若成等差数列，设 n S 高三数学（文科）零诊试题第 2 页（共 17
3、页） 为数列 n a的前 n 项和，则 3 3 S a 等于 A13 9 B 7 9 C3 D1 5. 已知点( , )(0,0)a b ab在直线1xy上， 则 1a ab 的最小值为 A1 B2 C3 D4 6. 已知函数 2 ( )2 x f xx，设 2 1 (log) 3 mf， 0.1 (7)nf ，p 2 (log 25)f，则, ,m n p的大小关系为 Ampn Bpnm Cpmn Dnpm 7. 设x，y满足 22 1 42 yx yx yx ，则 yxz 的最小值是 A7 B2 C3 D5 8. 为了得到函数 3 3 2logxy的图象，可将函数xy 3 log的图象 上
4、所有的点 A.纵坐标缩短到原来的 3 1 ，横坐标不变，再向右平移2个单位长度 B.横坐标缩短到原来的 3 1 ，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度 C.横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度 D.纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，再向右平移2个单位长度 高三数学（文科）零诊试题第 3 页（共 17 页） 9. 已知1 sin()cos() 32 ，则 2 cos () 6 的值为 A. 3 3 B 6 3 C 2 3 D 1 3 10. 秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家， 精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学。1208 年出生于 普州安
5、岳（今四川安岳） ，咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世。 与 李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。他在著作数书九章 中创用了“三斜求积术” ，即是已知三角形的三条边长cba,，求三 角形面积的方法.其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂， 余半之， 自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开 平 方 得 积 . ” 若 把 以 上 这 段 文 字 写 成 公 式 ， 即 为 2 222 22 24 1bca caS， 若ABC满 足 2 s i ncA 2sinC ， 5 3 cosB， 且 abc， 则用 “三斜求积” 公式求得ABC 的面积为 A 5 3 B 5 4
6、C1 D 4 5 11 在A B C中， 点D为边AC上一点，22 BCAB， 且ADAC2， BDAC2，2CMMB，ANNB， 则BCCNABAM 高三数学（文科）零诊试题第 4 页（共 17 页） A5 B 9 2 C 7 2 D3 12. 已知函数 2+( 1 =)1 ln ,1) 2 f xxa xbaxa（， 函数2x by 的 图 象 过 定 点0,1（）， 对 于 任 意 1212 ,0,xxxx， 有 1221 f xf xxx，则实数a的范围为 A. 15a B. 25a C. 25a D. 35a 第卷（非选择题，满分 90 分） 注意事项： 1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷
7、答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题至第 21 题为必考题，每 个试题考生都作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13计算： 3log6log332 22 2 1 的值为 14. 函数 2 1 ( ) 1 (1) xx f x x x (1)x 的值域为 15. 设向量a，b满足2aa b，则 2ab的最小值为 高三数学（文科）零诊试题第 5 页（共 17 页） 16. 已 知 函 数 2 ( )3cos(2
8、)ln(1)3 2 g xxxxx ， 若 (22 )3 x g a xe在 (0,)x上恒成立， 则正实数a的取值范 围为 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 17 （本小题满分 12 分） 已知函数( )yf x定义在R上有()( )fxf x 恒成立，且当 0 x时， 11 ( )( ) 42 xx f x . （1）求( 1)f 的值； （2）求函数 f x的解析式； （3）求函数( )f x的值域. 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且点),( n S n n )( Nn均在函数 1 xy 的图象上 （1）求
9、数列 n a的通项公式； （2）若 1 4n nn ba n ， n T是数列 2 log n b的前n项和. 求满足 23 11151 111 101 n TTT 的最大正整数n的值. 高三数学（文科）零诊试题第 6 页（共 17 页） 19.（本小题满分 12 分） 已知函数( )sin()(0,0) 2 f xMxM 的部分图 象如图所示 （1）求函数( )f x的解析式与对称中心； （2）在ABC中，角, ,A B C的对边分别是 , ,a b c，若2b，(2)coscosacBbC，当() 2 A f取得最大值 时，求ABC的面积 20. （本小题满分 12 分） 已知函数 234
10、 )(bxxaxxf ),(Rba ， ( )( )( )g xf xfx 是 偶函数 （1）求函数 ( )g x的极值以及对应的极值点 （2） 若函数 2234 ) 1( 4 1 )()(ccxxxcxxfxh， 且)(xh在 5 , 2上单调递增，求实数c的取值范围 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )ln(21)f xxaxax. （1）若函数( )f x在1x 处取得极值，求曲线( )yf x在点 高三数学（文科）零诊试题第 7 页（共 17 页） (2,(2)f处的切线方程； （2）讨论函数( )f x的单调性； （3）当0a时， 2 ( )(1) ( )1g xx
11、f xx，证明：函数 ( )g x有 且仅有两个零点，且两个零点互为倒数. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。 22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中， 直线l：2) 6 cos( ，圆C：sin2。以极点O为原点，极 轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy. （1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程； （2） 已知点P在圆C上， 点P到直线l和x轴的距离分别为 1 d， 2 d， 求 12 dd的最大值. 23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数mxxxf112)( （1）当2m时，求不等式3)
12、(xf的解集； 高三数学（文科）零诊试题第 8 页（共 17 页） （2）若)(xf的最小值为M，且4mMba),(Rba，求 22 32ba 的最小值。 遂 宁 市 高 中 2021 届 零 诊 考 试 数学（文科）试题参考答案及评分意见 一、选择题： （每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 C A B A C C B A C B D A 二、填空题： （每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分） 13. 7 14. (0,) 15. 2 16. 02a 17. 【 解 析 】：（ 1 ） 由 于 函 数( )
13、f x为 奇 函 数 ， 所 以 1 ( 1)(1) 4 ff .2 分 （2）当0 x时，0 x .所以42 xx fx.3 分 因为( )yf x是定义在R上的奇函数， 所以()()fxfx，即 42 xx f x .5 分 所以函数( )yf x的解析式为 高三数学（文科）零诊试题第 9 页（共 17 页） 2 ,0 ( ) 1 4 42 1 ,0 xx xx x f x x .6 分 （3）令2xt ，当0 x时，(0,1)t，则当0 x时， 42 xx f x 可写为 2 11 24 yt ，所以 1 ,0 4 y .9 分 由 yf x是 定 义 在R上 的 奇 函 数 . 得 集
14、 合 1 1 , 4 4 A .12 分 18.【解析】 （1）点),( n S n n （n ）均在函数 1 xy 的图象上， 1 n S n n ，即 2 n Snn.1 分 当2n时， 2 2 1 112 nnn aSSnnnnn .3 分 当1n 时， 2 11 112aS ，满足上 式.4 分 数列 n a的通项公式是 2 n an.5 分 （2）由（1）得： 21 2 n n b ， 2 log21 n bn .6 分 高三数学（文科）零诊试题第 10 页（共 17 页） 21222 loglog.log nn Tbbb1 321n . .7 分 1 21 2 nn 2 n . .
15、8 分 2222 2222222 23 11111121 31 411 111111 23234 n n TTTnn 2222 1 3 2 4 3 511 234 nn n 1 2 n n .10 分 令 1 2 n n 51 101 ，解得： 101n.11 分 故满足条件的最大正整数n的值为 100.12 分 19.【解析】 （1）由图象知道振幅1M，周期 ) 612 5 (4T， 所以2.1 分 将) 1 , 6 (代入解析式得1) 3 sin( 2 2 3 k，所以 )( 6 2Zkk ， 因 为 2 ， 所 以 6 ， 所 以 ) 6 2sin()( xxf .3 分 又由)( 12
16、2 )( 6 2Zk k xZkkx 得对称中心为)(0 , 122 (Zk k 综 上 ， 解 析 式 为) 6 2sin()( xxf， 对 称 中 心 高三数学（文科）零诊试题第 11 页（共 17 页） )(0 , 122 (Zk k .5 分 （2）由(2)coscosacBbC得： (2sinsin)cossincosACBBC， 所以 2sincossin()ABBC，2sincossinABA.7 分 因为(0,)A，所以sin0A，所 以 1 cos 2 B ， 3 B ， 2 3 AC .8 分 ()sin() 26 A fA ， 2 0 3 A ， 1 sin()( ,1
17、 62 A ， 所 以 5 666 A ， 所 以 1 ()(, 1 22 A f 所 以1) 2 ( max A f， 此 时 3 A， 又 3 B.10 分 所以ABC是等边三角形，故 3 3 sin22 2 1 ABC S.12 分 20. 【 解 析 】 ： （ 1 ） 234 )(bxxaxxf， bxxaxxf234)( 23/ .1 分 bxxbxaaxxfxfxg2) 3() 14()()()( 234/ ， ( )g x 为偶函数， 02 014 b a ，解得 0 4 1 b a .2 分 34 4 1 )(xxxf，则 24 3 4 1 )(xxxg， 高三数学（文科）零
18、诊试题第 12 页（共 17 页） )6)(6(6)( 3/ xxxxxxg 由0)( / xg，解得6x或60 x；由0)( / xg，解得 6x 或 06x ； )(xg在6,，6, 0单调递增；在0 ,6，,6 单调递减。 函 数)(xg的 一 个 极 大 值 点 为 6 ， 对 应 的 极 大 值 为 69g 另 一 个 极 大 值 点 为 6 ， 对 应 的 极 大 值 为 69g；.4 分 函 数)(xg极 小 值 点 为0， 对 应 的 极 小 值 为 00 g. .6 分 由（1）知 34 4 1 )(xxxf， 2234 ) 1( 4 1 )()(ccxxxcxxfxh 22
19、3 ccxxcx ， cxcxxh23)( 2/ ， .7 分 函数)(xh在5 , 2上单调递增， 023 2 cxcx在5 , 2上恒 成立，.9 分 法一、 2 22 1 31 3 x c x x x ， .10 分 高三数学（文科）零诊试题第 13 页（共 17 页） 1113 36 22 x x , 2,5x 224 113 13 3 2 x x , 2,5x 4 13 c .12 分 法二、令cxcxx23)( 2 ，5 , 2x 0)5( 0)2( ，即 01075 0412 cc cc ，解得 13 4 c 实数c的取值范围), 13 4 .12 分 21.（1）求导： 1 (
20、 )221fxaxa x .1 分 由已知有 (1) 0f，即1 221 0aa ，所以 1 2 a （经验证 成立）.2 分 切点为 3 (2,ln22),(2) 2 kf 故切线方程为： 3 1ln2 2 yx .3 分 （2）( )f x的定义域为(0,)且 1(21)(1) ( )221 axx fxaxa xx 若0a，则当(0,)x时， ( )0fx .5 分 故( )f x在(0,)上单调递增， 高三数学（文科）零诊试题第 14 页（共 17 页） 若0a，则当 1 (0,),()0 2 xfx a ；当 1 (,),()0 2 xfx a 故( )f x在 1 (0,) 2a
21、上 单 调 递 增 ， 在 1 (,) 2a 上 单 调 递 减.7 分 （3） 2 ( )(1) ( )1(1)ln1g xxf xxxxx 求导： 1 ( )lng xx x ， 因为lnyx在(0,)上递增， 1 y x 在 (0,)递 减 ， 所 以 ( ) g x在(0, )上 递 增 ， 又 1ln4 1 (1)10,(2)ln20 22 gg .8 分 故存在唯一 0 (1,2)x 使得 0 ()0g x，所以( )g x在 0 (0,)x上递 减，在 0 (,)x 上递增 又 22 0 ()(1)2, ()30g xgg ee ， 所 以( )0g x 在 0 (,)x 内存在
22、唯一根 . .10 分 由 0 1x得 0 1 1x ，又 1111() ()(1)ln10 g g 故 1 是( )0g x 在 0 (0,)x上的唯一零点. 综 上 ， 函数( )g x有 且 仅 有两 个 零 点， 且 两 个零点 互 为 倒 数.12 分 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。 22. 【解析】 ：（1） 由l：2) 6 cos( 得， 2cos 2 3 sin 2 1 ； 高三数学（文科）零诊试题第 15 页（共 17 页） 因 为 s in c o s y x ， 代 入 有 直 线l的 直 角 坐 标 方 程 为 ： 2 2
23、 3 2 1 xy，即为 34yx . .2 分 由圆C：sin2得，sin2 2 ，因为x cos， ysin ， 222 xy，所以圆C直角坐标方程为： 1) 1( 22 yx .4 分 由1) 1( 22 yx得，圆C的参数方程为 sin1 cos y x （为参 数） . .5 分 （2）设点P坐标为sin1 ,cos 则 2 3sincos3 1)3( 4sin1cos3 22 1 d )sincos33( 2 1 . .6 分 又sin1 2 d .7 分 那么 2 5 ) 3 sin(cos 2 3 sin 2 1 2 5 21 dd . .9 分 高三数学（文科）零诊试题第 1
24、6 页（共 17 页） 当 6 5 时， 12 dd取得最大值 2 7 .10 分 23. 【解析】 ： （1）当2m时， 1, 1 11, 33 1, 5 )( xx xx xx xf，又 3)(xf， 则有 1 35 x x 或 11 333 x x 或 1 31 x x .2 分 解得1x或01x或4x。即0 x或4x。 所以不等式3)(xf的解集为0 xx或 4x .4 分 （2）因 为 1,3 11,13 1,3 )( xmx xmx xmx xf在1x处 取 得 最 小 值 2m.5 分 所以2 mM，则24mMba. 6 分 由柯西不等式 4)( 3 1 3 2 1 2 3 1 2 1 )32( 2 222 22 bababa . .8 分 所以 22 32ba 5 24 ，当且仅当ba32 ，即 5 6 a， 5 4 b时，等号 成立。 故 22 32ba 的最小值为 高三数学（文科）零诊试题第 17 页（共 17 页） 5 24 .10 分
