1、 A D B E C F O H G A D B E C F 第第十十章章 相似相似模型模型 模型模型 1 1 A A、8 8 模型模型 已知：1=2 结论：ADEABC 模型模型分析分析 如图，在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得出 A 型或 8 型相似，在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，在ABC 中，中线 AF、BD、CE 相交于点 O。 求证： 1 2 OFOEOD OAOCOB 。 例例 2 2如图，点 E、F 分别在菱形 ABCD 的边 AB、AD 上，且 AE=DF，BF 交 DE 于 点 G，延长 BF 交
2、 CD 的延长线于 H，若2 AF DF 。求 HF BG 的值。 反反8型型 8型型 反反A型型 A型型 1 2 A D B E C 1 2 A D B E C 1 2 A D B E C 2 1 B DE A C A D B E C O AD B E C F A D B E C F O A D B C A D B E C 热搜热搜精练精练 1 如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DEAC，AE、CD 相交 于点 O，若 SDOE：SCOA=1：25， 则 SBDE与 SCDEE的比是 。 2 如图所示，ABCD 中，G 是 BC 延长线上的 一点，AG 与 BD 交于
3、点 E，与 DC 交于点 F，此图中的相似三角形共 有 对。 3如图，在ABC 中，中线 BD、CE 相交于点 O，连接 AO 并延长，交 BC 于点 F。求证：点 F 是 BC 的中点。 4在ABC 中，AD 是角平分线，求证： ABBD ACCD 。 5如图，ABC 为等腰直角三角形，ACB-90，D 是边 BC 的中点，E 在 AB 上，且 AE：BE=2：1。求证：CEAD。 D B C A D BC A D B C A BC A MN 模型模型 2 2 共边共角型共边共角型 已知：1=2 结论：ACDABC 模型模型分析分析 上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会
4、给出 三角形边的乘积或比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中 由ACDABC，进而可以得到 2 ACAD AC。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，D 是ABC 边 BC 上的一点，AB=4， AD=2，DAC=B，如果ABD 的面积为 15， 那么ACD 的面积为 。 例例 2 2如图，在 RtABC 中，BAC-90，ADBC 于 D。 （1）图中有多少对相似三角形？写出来； （2）求证： 2 ACAD AC 热搜精练热搜精练 1如图所示，能判定ABCDAC 的有 ； B=DAC；BAC=ADC； 2 ACDC BC； 2 ADBD BC。 2已知AMN 是等边三角形，BAC
5、=120。求证： （1） 2 ABBM BC； （2） 2 ACCN CB； （3） 2 MNBM NC。 2 1 D B C A D B C A O 2 图图 F A B D C 图图 1 D B C A O E 3如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆上的一点，过 C 作 CDAB 于 D， 2 10AC ，AD：DB=4：1。求 CD 的长。 4如图，RtABC 中，ACB-90，CDAB，我们可以利用ABCACD 证明 2 ACAD AB，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图， 正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，过 点
6、 C 作 CEBE，垂足为 F，连接 OF。 （1）试利用射影定理证明BOFBED； （2）若 DE=2CE，求 OF 的长。 图图3 B C A E D 图图2 B C A E D 1 图图 A B D C E O 60 A B D C E B C A P D 模型模型 3 3 一线三角型一线三角型 已知，如图中：B=ACE=D。 结论：ABCCDE 模型模型分析分析 在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽 略隐含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的 时候，应立刻能看出相应的相似三角形。 模型实例模型实例 例例 1 1如图在等边ABC 中，P
7、为 BC 上一点，D 为 AC 上一点，且APD=60， BP=1，CD= 2 3 ，则ABC 的边长为 。 例例 2 2如图，A=B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在边 AB 上取一点 P，使得 PAD 民PBC 相似，则这样的 P 点共有 个。 A B D C E A B D C E 热搜精练热搜精练 1如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC=1，点 D 是 BC 边上的一个动点 （不与 B、C 点重合），ADE=45。 （1）求证：ABDDCE； （2）设 BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式； （3）当ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长。 2如图，在ABC 中，AB
8、=AC=10，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B、C 重合）， ADE=B=，DE 交 AC 于点 E，且 4 cos 5 ，下列结论。 ADEACD；当 BD=6 时，ABD 与DCE 全等； DCE 为直角三角形时，BD 等于 8 或 12.5；0CE6.4. 其中正确的结论是 。（把你认为正确结论的序号都填上） 3如图，已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上 的 P 点外，折痕与边 BC 交于 O，连接 AP、OP、OA。 （1）求证：OCPPDA； （2）若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长。 A B DC
9、 P O AB C H GF E D 模型模型 4 4 倒数型倒数型 条件：AFDEBC 结论： 111 AFBCDE 模型模型分析分析 仔细观察，会发现该模型中含有两个 A 型相似模型，它的结论是由两个 A 型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，AFBC，AC、BF 相交于点 E，过 D 作 EDAF 交 AB 于点 D。 求证： 111 ABFABCABE SSS 。 热热搜精练搜精练 1如图，在ABC 中，CDAB 于点 D，正方形 EFGH 的四个顶点都在ABC 的边上。求证： 111 AFBFGF 。 A B D C F
10、 E A B D C F E A B C GF E D 2正方形 ABCD 中，以 AB 为边作等边三角形 ABE，连接 DE 交 AC 于 F，交 AB 于 G，连接 BF。求证： （1）AF+BF=EF； （2） 111 AFBFGF 。 D B P A C D B P A CO P 图图 3 1 图图 2 图图 B C D A D B P A C B A O P D B A C O M E 模型模型 5 5 与圆有关的简单相似与圆有关的简单相似 图中，由同弧所对的圆周角相等，易得PACPDB； 图中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得PACPDB； 图中，通过作辅助线构造，易
11、得PACPCB。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，点 P 在O 外，PB 交O 于 A、B 两点，PC 交O 于 D、C 两点。 求证：PA PBPD PC。 热热搜精练搜精练 1如图，P 是O 内的一点，AB 是过点 P 的一条弦，设圆的半径为 r，OP=d。 求证： 22 PA PDrd。 2如图，已知 AB 是O 的直径，C、D 是半圆的三等分点，延长 AC、BD 交于 点 E。 （1）求E 的度数； （2）点 M 是 BE 上一点，且满足 2 EM EBCE， 连接 CM，求证：CM 是O 的切线。 绕点绕点A旋转旋转 ADE D E B A C C A B ED P C A B
12、C A B F E 模型模型 6 6 相似与旋转相似与旋转 如图，已知 DEBC，将ADE 绕点 A 旋转一定的角度，连接 BD、CE，得 到如图，结论：ABDACE。 模型模型分析分析 该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学 生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等， 是优等生必须掌握的一种题型。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，在 RtABC 中，BAC=60，点 P 在ABC 内，且3PA， PB=5，PC=2。求 SABC。 热热搜精练搜精练 1如图，ABC 和CEF 均为等腰三角形，E 在ABC 内，CAE+CBE=90， 连接
13、BF。 （1）求证：CAECBF； （2）若 BE=1，AE=2，求 CE 的长。 A B C P 3 图图图图21 图图 A BC P P C A B 2已知，在ABC 中，BAC=60。 （1）如图，若 AB=AC，点 P 在ABC 内，且APC=6150，PA=3，PC=4， 把APC 绕着点 A 顺时针旋转，使点 C 旋转到点 B 处，得到ADB，连接 DP。依题意补全图 1；直接写出 PB 的长； （2）如图，若 AB=AC，点 P 在ABC 外，且 PA=3，PB=5，PC=4，求APC 的度数； （3）如图，若 AB=2AC，点 P 在ABC 内，且3PA，PB=5， APC=120，请直接写出 PC 的长。
