1、 20202021 学年第一学期期中考试 高三数学试题 (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1 已知集合 0,2A ， |10Bx ax ，若BA，则由实数 a 的所有可能的取值组成的 集合为（ ） A 1 2 B 1 2 C 1 0, 2 D 1 0, 2 2 “(2 1)(1)0 xx”是“0 x ”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 3函数 cos2yx 的单调减区间是（ ） A , ,Z 2 kkk B 3 2 ,2 ,Z
2、22 kkk C2 , 2 ,Zkkk D , ,Z 44 kkk 4 九章算术中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为 阳马设 1 AA是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为 顶点，以 1 AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） A8 B16 C24 D28 5 设 n S是等比数列 n a的前n项和，已知 36 0SS ，则 18 9 a a （ ） A512 B8 C2 D1 6若实数 a，b，c 满足 3 5a ， 2 log 5b ，5 3 c ，则（ ） Acb a Bbca Cacb Dcab 7 已知角 的终边经过点 (3,4)P ，则 cos
3、2 4 （ ） A 31 2 50 B 31 2 50 C 17 2 50 D17 2 50 8 设 ( )f x是定义在 R 上的函数，其导函数为( )fx ，若 ( )( ) 1f xf x ， (0)2020f ，则不 等式( )2019e1 x f x （其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A ,00, B,02019, C0, D2019, 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9 对于任意向量 a，b，c，下列命题正确的是（ ） A若 ab，b
4、c，则 ac B若 abbc，则 ac C若 ab，bc，则 ac D若|ab|ab|，则 ab0 10设正实数 , x y满足 23xy ，则下列说法正确的是（ ） A 3 y xy 的最小值为 4 Bxy的最大值为 9 8 C2x y的最小值为 6 D 22 4xy的最小值为 9 2 11北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提 供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31日上午，北斗三号全球卫 星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可 以用函数 cos5cos9 ( )cos
5、 59 xx f xx 近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ） A函数 ( )f x的最小正周期为 B函数( )f x的图象关于点 ,0 2 对称 C对任意 xR，都有 ()( )fxfx D函数( )fx 的最小值为3 12已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，点 M，N 分别是棱 A1D1，CD 的中点，点 P 在 四边形 ABCD 内，点 Q 在线段 BN 上，若2 5PM ，则（ ） A点 P 的轨迹的长度为 2 B线段 MP 的轨迹与平面 11 ADC B的交线为圆弧 CPQ 长度的最小值为 6 510 5 DPQ 长度的最大值为 2 52 三、填空题：本题共 4
6、 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上 。 13已知函数 ,0 ( ) () 3 ,0 x x f x fx x ，则 32 logf 14在我国古代数学名著九章算术中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已 知三棱柱 111 ABCABC 是一个“堑堵”，其中 1 2ABBB ，1,5BCAC，则这个“堑堵”的外接 球的表面积为 15已知圆内接四边形 ABCD 中，1,2,2ABBCADDC ，则CA CB uur uur 16已知函数 f(x)(x2x)(x2mxn)的图象关于直线 x2 对称，则 mn ；f(x)的 最小值为 （本题第一空 2 分
7、，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域 内作答。解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 10 分) 在 110 13,5aS ； 37 7,5aa ； 35 30,35SS这三个条件中任选一个，回答下列 问题，已知等差数列 n a满足 （如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n S，以及使得 n S取得最大值时n的值 18(本小题满分 12 分) 如图，在ABC 中，CDAB 于 D，且3BDAD （1）若2BCDACD ，求角 A 的大小； （2）若c
8、os 1 3 A ，求tanC的值 19(本小题满分 12 分) 如图，在正三棱柱 111 ABCABC 中， 1 2 3 ,2 3 ABA A，D，E，F 分别为线段 AC，A1A，C1B 的中点. （1）证明：EF平面 ABC； （2）求直线 C1B 与平面 BDE 所成角的正弦值. D B A C (第 18 题) 20(本小题满分 12 分) 如图所示的某种容器的体积为 18 dm3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆 柱的底面半径都为 r dm，圆柱的高为 h dm已知顶部半球面的造价为 2 3/dma元，圆柱的侧面造 价为 2 /dma元，圆柱底面的造价为 22 /dm
9、 3 a 元 （1）将圆柱的高 h 表示为底面半径 r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径 r 为多少？ 21(本小题满分 12 分) 已知函数 ( )lnf xxaxb 的图象在1x 处的切线方程为 xy30 （1）求a和b的值； （2）对0 x ，( ) e3 x f xxxm成立，求实数m的取值范围 B B1 C1 D F E A1 C A (第 19 题) (第 20 题) 22(本小题满分 12 分) 已知函数 e x f xx，其中e是自然对数的底数 （1）求 yf x的最值； （2）设函数 lneh xf xkx有且只有 2 个不同的零点，求实数k的取值范围
