1、随州市普通高中随州市普通高中 20192020 学年下学期期末统考学年下学期期末统考 高二数学试题高二数学试题 第卷（选择题） 一、选择题 1.函数 2 ( )()f xxc cR区间1,3上的平均变化率为 A.2 B.4 C.c D.2c 2.准线方程为2x的抛物线的标准方程为 A. 2 8yx B. 2 4yx C. 2 8xy D. 2 4xy 3.公比不为 1 的等比数列 n a中，若 15mn a aa a，则mn不可能为 A.5 B.6 C.8 D.9 4.5 个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法 A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种 5.函数lny
2、xx的图象大致是 A. B. C. D. 6.从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 B=“取到的两个数 均为偶数” ，则P B A A. 1 8 B. 1 4 C. 2 5 D. 1 2 7.某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 2 105,(0)N，试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于或等于 120 分）的人数占总人数的 1 10 ，则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 A.100 B.200 C.300 D.400 8.在如图所示的三角形边上的 9 个点中任取
3、 3 个，可构成三角形的个数是 A.69 B.70 C.74 D84 9.袋中共有 5 个除了颜色外完全相同的球，其中有 3 个白球，2 个红球.从袋中不放回地逐个取球，取完所有 的红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量 X，则4P X A. 1 5 B. 2 5 C. 1 10 D. 3 10 10.设函数 yf x在区间(), a b上的导函数为 fx， 记 fx在区间(), a b上的导函数为 fx.若函数 f x在区间(), a b上为 “凸函数” ， 则在区间(), a b上有 0fx 恒成立.已知 2 ( ) (2)(1) e x kx f xe ee 在 (0 )3 ,上为
4、“凸函数” ，则实数 k 的取值范围是 A.(,1) B.(, ) e C.(1,) D.( ,)e 11.大衍数列，来源于乾坤普中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍 生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着 的世界数学史上第一道数列题.其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的 第 20 项与 21 项的和为 A.380 B.410 C.420 D.462 12.已知函数 ln ( ) 1 x f x x 在 0 xx处取得最大值，则下列判断正确的是 00 f xx，
5、0 0 1 f x x ， 0 1 2 fx， 0 1 2 fx A. B. B. C. 第卷（非选择题） 二、填空题 13.二项式 5 2 1 2x x 的展开式中常数项为_. 14.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右顶点分别为 A、B，点2(0)Cb,，若线段AC的垂直平分线 过点 B，则该双曲线的离心率为_. 15.疫情期间，我们都经历过网络教学的学习，某网校平台为促进其网络教学的效果，提供了配套的习题， 假设其套题每月的销售量 y（单位：千套）与销售价格 x（单位：元/套）满足的函数关系式为 2 2(8) 2 m yx x ，其中28x，m 为常数.已知当
6、销售价格为 5 元/套时，每月可售出套题 20 千套. （1）则实数 m=_. （2）假设每套题的平均成本为 2 元（只考虑销售出的套数） ，当销售价格_元/套时，该网校平台每月 销售套题所获得的利润最大. 16.已知函数( )cossinf xxxx，下列结论中， 函数( )f x的图象关于原点对称； 当(0, )x时，( )0f x； 若 12 0 xx，则 11 22 sin sin xx xx ; 若sinaxxbx对于0, 2 x 恒成立，则 a 的最大值为 2 ，b 的最小值为 1. 所有正确结论的序号为_. 三、解答题 17.已知函数 32 3 ( ) 2 f xxxa的极大值为
7、 2. （1）求 a 的值和 f x的极小值； （2）求 f x在2x处的切线方程. 18.根据公安部交管局下发的通知，自 2020 年 6 月 1 日起，将在全国开展“一盔一带”安全守护行动，其中 就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔，为的就是让大家重视交通安全.某地交警部门根据某十字路口的 监测数据，从穿越该路口的骑行者中随机抽查了 200 人，得到如图所示的列联表： 戴头盔 不带头盔 合计 男性 30 90 120 女性 10 70 80 合计 40 160 200 （1）是否有 97.5%的把握认为自觉带头盔行为与性别有关? （2）通过一定的宣传和相关处罚措施出台后，交警在一段时间内通
8、过对某路口不带头盔的骑行者统计，得 到如下数据和散点图. 天数 1 2 3 4 5 6 人数 110 60 44 34 30 28 观察散点图，发现两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数 b ya x 对两个变量的关系进行拟合，通 过分析得 y 与 1 x 有一定的线性相关关系，并得到以下参考数据（其中 1 w x ） ： x w 2 x 2 w 6 2 1 i i x 6 2 1 i i w 6 1 ii i x y 6 1 ii i w y 6 1 i i y 3.5 0.41 12.25 0.1681 91 1.492 816 173.8 306 请选择合适的参考数据，求出 y 关于
9、x 的回归方程. 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 P Kk 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 对于一组数据 11 ,u v， 22 ,u v，, nn u v，其回归直线vu的斜率和截距的 最小二乘估计分别为： 1 22 1 n ii i n i i u vnuv unu ， vu 19.已知等差数列 n a的公差为 2，且 1 1a ， 2 1a ， 4 1a 成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 n nn b a
10、a ，数列 n b的前 n 项和为 n T，证明： 11 32 n T . 20.疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到 500 元则可参加 一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有 6 个质地均匀且大小相同的小球，其 中 2 个红球，4 个白球，搅拌均匀. 方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得 50 元的返金券，若抽到白球则获得 30 元 的返金券，可以有放回地抽取 3 次，最终获得的返金券金额累加. 方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得 100 元的返金券，若抽到白球则不获得返 金券，可以有
11、放回地抽取 3 次，最终获得的返金券金额累加. （1）方案一中，设顾客抽取 3 次后最终可能获得的返金券的金额为 X，求 X 的分布列； （2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应 该选择哪种抽奖方案更合适. 21.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 4，离心率为 2 2 ，左顶点为 A，过点 A 的直线 l 与 C 交 于另一个点 M，且与直线xt tR交于点 N. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在实数 t，使得OM ON（O 为坐标原点）为定值?若存在，求出数 t 的值；若不存在，请说明 理由. 22.已
12、知 a 为实数，函数 2 ( )alnf xxx （1）设函数( )f x在1,)上的最小值为 g a，求 g a的最大值； （2）当0a，若( )f x的图象与直线yax只有 1 个交点，求 a 的值. 参考答案： 普通高中 20192020 学年下学期期末统考 高二数学参考答案及评分标准 1-5 BABCD 6-10BDADA 11-12CB 13.10 14. 7 2 15.6，41 6. 17.（1） 3 ? 331fxxxx x， 令 01fxx或0 x，令( )001fxx， 易知 f x在(,0)和(1,)上单调递增，在(0 ) 1 ,上单调递减， 故 f x在0 x处取极大值
13、02fa，即2a. 且 f x在1x 处取得极小值 33 (1)12 22 f （2）由（1）知 32 3 ( )2 2 f xxx，故 24f， f x在2x处的切线斜率为 26 f . 故其切线方程为：462yx，即680 xy. 18.（1）由列联表计算 2 2 200 (30 70 10 90)75 4.68755.024 120 80 40 16016 K . 故没有 97.5%的把握认为骑行者自觉带头盔行为与性别有关. （2）由 1 w x ，则 b ya x 可转化为yabw，又 306 51 6 y ， 得 6 1 6 22 1 6 173.86 0.41 5148.34 10
14、0 1.4926 0.16810.4834 6 ii i i i w ywy b ww 则 51 100 0.4110aybw. 故 y 关于 x 的回归方程为 100 10 10010yw x . 19.（1）依题意可得： 2 214 111aaa，又公差为 2， 即有 2 111 317aaa，解得 1 1a . 故数列 n a的通项公式为 1 2(1)21 n aann. （2） 1 11111 (21)(21)2 2121 n nn b a annnn 11111111 1 233523212121 n T nnnn 111 1 2212n 易知 n T随 n 的增大而增大，故 n T
15、有最小值 1 111 1 233 T 故有 11 32 n T 20.（1）易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为 1 3 ，抽到白球的概率为 2 3 依题意，X 的取值可能为 90，110，130，150. 且 3 0 3 28 (90) 327 P XC ， 12 1 3 124 (110) 339 P XC 2 2 3 122 (130) 339 P XC ， 3 3 3 11 (150) 327 P XC 其分布列为 X 90 110 130 150 p 8 27 4 9 2 9 1 27 （2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为 8421 ()901101301
16、50110 279927 E X （元） ， 选择方案二时，设摸到红球的次数为 Y，最终可能获得返金券金额为 Z 元， 由 1 3, 3 YB ，得 1 ( )31 3 E Y ( )(100 )100 ( )100E ZEYE Y 由 E XE Z可知，该顾客应该选择方案一抽奖. 21.（1）依题意可得，242aa 离心率 22 2 2 cab e aa ，得2b, 故椭圆 C 的方程为 22 1 42 xy . （2）易知直线 l 的斜率一定存在，由( 2,0)A ，设:2l yk x， 00 ,M x y. 联立 22 (2) 1 42 yk x xy 得 2222 218840kxk
17、xk. 由根与系数的关系可得 2 0 2 84 2 21 k x k ， 得 2 0 2 24 21 k x k ， 00 2 4 2 21 k yk x k 即 2 22 244 , 21 21 kk M kk 设( , (2)N t k t 则 22 2 22 244(2) 82 2121 ktkt kt OM ON kk . 假设存在 t 的值使OM ON为定值，则需 82 21 t ，解得2t . 故存在2t ，使OM ON为定值. 22.（1） 2 2 ( )2 axa fxx xx 当0a时，( )0fx， f x在1,)上单调递增， 此时 11g af； （2 分） 当0a时，易
18、得 f x在0, 2 a 上单调递减，在, 2 a 上单调递增， 若010 2 a 即02a时， f x在1,)上单调递增， 此时 11g af； 若1 2 a 即2a时， f x在1, 2 a 上单调递减，在, 2 a 上单调递增， 此时( )ln 2222 aaaa g af 综上所述： 1,2 ( ) ln,2 222 a g a aaa a 当2a时， 112 11 ( )lnln0 2222222 aaa g a a 故 g a在(2,)上单调递减，则 21g ag，故 g a的最大值为 1. （2）方法一：当0a时 f x在0, 2 a 上单调递减，在, 2 a 上单调递增， 要使
19、 f x的图象与直线yax只有 1 个交点. 则需 yf x的图象与直线yax相切，设其切点为 00 ,x ax 则有 2 000 0 0 aln 2 xxax a xa x 由可得 00 2ln10 xx 设( )2ln1xxx，0 x，易知( )x在(0,)上单调递增. 又(1)0，故有 0 1x ，代入中可得1.a 故若 f x的图象与直线yax只有 1 个交点，则1.a 方法二：依题意可得，方程 2 alnxxax有唯一解. 令 2 ( )lnh xxaxax，0 x，则 h x有唯一零点. 2 2 ( )2 axaxa h xxa xx ， 令( )0h x得 2 1 8 4 aaa
20、 x 或 2 2 8 4 aaa x . 由0a知 2 0 x ，故舍去. 当 1 0,xx时， 0h x， h x在 1 0,x上单调递减， 当 1, xx时， 0h x， h x在 1, x 上单调递增， 故 h x在 1 xx处取得最小值 1 h x，依题意得 1 0h x， 又由 1 0h x可得 2 111 2 11 aln0 20 xxax xaxa 得 11 2 ln0axaxa 由0a得 11 2ln10 xx 令( )2ln1xxx，0 x，易知( )x在(0,)上递增， 又( )0 x，故( )x有唯一零点1x ， 即有 1 1x ，即 2 8 1 4 aaa ，解得1a 故若( )f x的图像与直线yax只有 1 个交点，则1a .
