1、专题检测卷专题检测卷(四四) 概率与统计概率与统计 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2020 深圳统测)某工厂生产的 30 个零件编号为 01，02，19，30，现利用如 下随机数表从中抽取 5 个进行检测.若从表中第 1 行第 5 列的数字开始， 从左往右 依次读取数字，则抽取的第 5 个零件编号为( ) 附：第 1 行至第 2 行的随机数表 34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 3
2、1 25 30 07 32 86 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 A.25 B.23 C.12 D.07 解析 从随机数表中第 1 行第 5 列的数字开始，从左往右依次两位两位地读取， 依次抽取的零件编号分别为 07，04，08，23，12，因此抽取的第 5 个零件编号为 12.故选 C. 答案 C 2.(2020 天津适应性测试)某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一 些居民某年的月均用水量(m3)，其频率分布表和频率分布直方图如下，则图中 t 的值为( ) 分组
3、频数 频率 0，0.5) 4 0.04 0.5，1) 8 0.08 1，1.5) 15 a 1.5，2) 22 0.22 2，2.5) m 0.25 2.5，3) 14 0.14 3，3.5) 6 0.06 3.5，4) 4 0.04 4，4.5 2 0.02 合计 100 1.00 A.0.15 B.0.075 C.0.3 D.15 解析 由表格数据可得 t15 100 0.50.3.故选 C. 答案 C 3.(2020 河南六市模拟)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要 组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分 别是金、木、水、火、土彼此之间存
4、在的相生相克的关系.若从这五类元素中任选 两类元素，则两类元素相生的概率为( ) A.1 5 B.1 4 C.1 3 D.1 2 解析 从金、木、水、火、土五类元素中任取两类，共有金木、金水、金火、金 土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，10 种结果，其中两类元素相生的有 木火、火土、水木、金水、土金，共 5 种结果，所以两类元素相生的概率为 5 10 1 2. 故选 D. 答案 D 4.(2020 烟台调研)山东烟台的苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓 郁”享誉国内外.据统计，烟台的苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服 从正态分布 N(80，52)，则直径在(75，
5、90内的概率为( ) 附：若 XN(，2)，则 P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4 A.0.682 6 B.0.841 3 C.0.818 5 D.0.954 4 解析 由题意，知 80，5，则 P(75X85)0.682 6，P(70X90)0.954 4，P(85X90)1 2(0.954 40.682 6)0.135 9，P(75X90)0.682 6 0.135 90.818 5.故直径在(75，90内的概率为 0.818 5.故选 C. 答案 C 5.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖 的概率分别为2 3和 3 4，甲、乙两人是否获得
6、一等奖相互独立，则这两个人中恰有一 人获得一等奖的概率为( ) A.3 4 B.2 3 C.5 7 D. 5 12 解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获 得，则所求概率是2 3 13 4 3 4 12 3 5 12，故选 D. 答案 D 6.(2020 杭州一模)已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 P ba b a 则 D()的最大值为( ) A.1 4 B.1 2 C.1 D.不是定值 解析 由题意得 baba1，解得 b1 2 0a1 2 ，则 E(2)1 24a，E() 2 1 22a 2 1 42a4a 2，则 D()E(2)E()24a22a1
7、4 0a 1 3，故 A 正确.由曲线图可知，1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及 西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故 B 正确.2 月 2 日后到 2 月 10 日 陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 21311697(例)，故 C 正确.2 月 8 日到 2 月 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例增长率9888 88 5 44， 2 月 6 日到 2 月 8 日西 安市新冠肺炎累计确诊病例增长率8874 74 7 37， 显然 7 37 5 44， 故 D 错误.故选 ABC. 答案 ABC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知某市 A 社
8、区 36 岁至 45 岁的居民有 450 人， 46 岁至 55 岁的居民有 750 人， 56 岁至 65 岁的居民有 900 人.为了解该社区 36 岁到 65 岁居民的身体健康状况， 社会负责人采用分层抽样的方法抽取若干人进行体检调查.若从46岁至55岁的居 民中随机抽取了 50 人，则这次抽样调查抽取的人数是_. 解析 抽取比例为 750 5015，则抽取总人数为(450750900) 152 100 15 140. 答案 140 14.下表是某工厂 14 月份的用水量(单位：百吨). 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 5.5 4 3.5 3 由散点图可知，用水量 y 与月份 x
9、之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程 为y 0.4xb，则 b_. 解析 根据表中数据得x 1 4(1234)2.5，y 1 4(5.543.53)4， 点(x ，y )在直线 y0.4xb 上，代入得 40.42.5b，解得 b5. 答案 5 15.(2020 天津适应性测试)已知某同学投篮投中的概率为2 3， 现该同学要投篮 3 次， 且每次投篮结果相互独立，则恰投中 2 次的概率为_；记 X 为该同学在这 3 次投篮中投中的次数，则随机变量 X 的数学期望为_.(本小题第一空 2 分， 第二空 3 分) 解析 由题意得 XB 3，2 3 ，所以恰好投中 2 次的概率为 C23 2 3
10、 2 12 3 4 9， E(X)32 32. 答案 4 9 2 16.(2020 安徽皖南八校联考)易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦 图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表 示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰 有两根阳线，四根阴线的概率为_. 解析 观察八卦图可知，含三根阴线的共有一卦，含有三根阳线的共有一卦，含 有两根阴线一根阳线的共有三卦，含有一根阴线两根阳线的共有三卦，故从八卦 中任取两卦，这两卦的六根线恰好有两根阳线，四根阴线的概率为C 1 3C11C23 C28 3 14. 答案 3 14 四、解答题：本题
11、共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分)(2020 全国卷)某厂接受了一项加工业务， 加工出来的产品 (单位：件)按标准分为 A，B，C，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品，B 级 品，C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家 每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工 成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加 工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整 理如下： 甲分
12、厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据， 厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 解 (1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 40 1000.4； 乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 28 1000.28. (2)由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为
13、利润 65 25 5 75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 654025205207520 100 15. 由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润 70 30 0 70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 702830170347021 100 10. 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 18.(本小题满分 12 分)(2020 济南模拟)下面给出了根据我国 20122018 年水果人 均占有量 y(单位：kg)和年份代码 x 绘制的散点图和线性回归
14、方程的残差 图.(20122018 年的年份代码 x 分别为 17) (1)根据散点图分析 y 与 x 之间的相关关系； (2)根据散点图相应数据计算得 7 i1yi1 074， 7 i1xiyi4 517， 求 y 关于 x 的线性回归 方程； (3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.(精确到 0.01) 附：回归方程y a b x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b n i1 （xix ）（yiy ） n i1 （xix ）2 n i1xiyinx y n i1x 2 inx 2，a y b x . 解 (1)从散点图可以看出，这些点的分布整体上在一条直线附近，且当
15、 x 由小变 大时，y 也由小变大， 所以 y 与 x 之间具有线性相关关系，且是正相关. (2)由题意可知，x 1234567 7 4， y 1 7 7 i1yi 1 074 7 ， 7 i1x 2 i12223242526272140， b 7 i1xiyi7x y 7 i1x 2 i7x 2 4 517741 074 7 140742 221 28 7.89， a y b x 1 074 7 221 28 4121.86， y 关于 x 的线性回归方程为y 7.89x121.86. (3)由残差图可以看出，图中各点比较均匀地分布在数值 0 所在直线附近，带状区 域很窄，说明对应的回归直线
16、拟合效果较好. 19.(本小题满分12分)(2020 全国卷)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每 天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： 锻炼人次 空气质量等级 0，200 (200，400 (400，600 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表)； (3)若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质 量
17、等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的 22 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次 与该市当天的空气质量有关？ 人次400 人次400 空气质量好 空气质量不好 附：K2 n（adbc）2 （ab）（cd）（ac）（bd）， P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 解 (1)由所给数据，得该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值 如下表： 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 (2)一天中到该公园锻炼的平均人
18、次的估计值为 1 100(100203003550045)350. (3)根据所给数据，可得 22 列联表： 人次400 人次400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 根据列联表得 K2的观测值 k100（3382237） 2 55457030 5.820. 由于 5.8203.841， 故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的 空气质量有关. 20.(本小题满分 12 分)(2020 沈阳一监)在 2019 年女排世界杯中，中国女子排球队 以 11 连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛 采用 5 局 3 胜制，前 4 局比赛采用
19、25 分制，每个队只有赢得至少 25 分，并同时 超过对方 2 分时，才胜 1 局；在决胜局(第 5 局)采用 15 分制，每个队只有赢得至 少 15 分，并领先对方 2 分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得 1 分，并 获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得 1 分.现有甲、乙两队进行排 球比赛： (1)若前 3 局比赛中甲已经赢 2 局， 乙赢 1 局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为 1 2，求甲队最后赢得整场比赛的概率； (2)若前 4 局比赛中甲、乙两队已经各赢 2 局比赛.在决胜局(第 5 局)中，两队当前 的得分为甲、乙各 14 分，且甲已获得下一球的发球权.若甲发
20、球时甲赢 1 分的概 率为2 5，乙发球时甲赢 1 分的概率为 3 5，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了 x(x4)个球后甲赢得整场比赛，求 x 的取值及相应的概率 P(x). 解 (1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第 4 局赢或第 4 局输第 5 局赢，所以甲队 最后赢得整场比赛的概率为1 2 1 2 1 2 3 4. (2)在决胜局(第 5 局)中，因为甲、乙两队各得 14 分，两队打了 x(x4)个球后， 若甲赢得比赛，则有两种情况： x2，即甲发球且甲赢，甲得 1 分，甲再发球且甲赢，甲又得 1 分，结束比赛， 概率为2 5 2 5 4 25，所以两队打了 2 个球后甲赢得整场比
21、赛的概率为 4 25. x4，即甲发球且甲赢，甲得 1 分，甲再发球且甲输，乙得 1 分，乙发球甲赢， 甲得 1 分，甲发球且甲赢，甲又得 1 分，结束比赛，概率为2 5 3 5 3 5 2 5 36 625； 或甲发球且甲输，乙得 1 分，乙发球甲赢，甲得 1 分，甲发球且甲赢，甲得 1 分， 甲再发球且甲赢，甲又得 1 分，结束比赛，概率为3 5 3 5 2 5 2 5 36 625. 所以两队打了 4 个球后甲赢得整场比赛的概率为 36 625 36 625 72 625. 21.(本小题满分 12 分)(2020 烟台诊断)推进垃圾分类处理， 是落实绿色发展理念的 必然选择， 也是打赢
22、污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程 度，某社区居委会随机抽取 1 000 名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制 成频数分布表，如下： 得分 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90， 100 男性人 数 40 90 120 130 110 60 30 女性人 数 20 50 80 110 100 40 20 (1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于 60 分的概率； (2)从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽 取 10 人，连同 n(nN*)名男性调查员一起组成 3
23、 个环保宣传队.若从这(n10)人 中随机抽取 3 人作为队长，且男性队长人数 的期望不小于 2，求 n 的最小值. 解 (1)由题表，得问卷得分不低于 60 分的频率为 13011011010060403020 1 000 0.6， 故从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其得分不低于 60 分的概率为 0.6. (2)由题意知，分层抽样抽取的 10 人中，男性 6 人，女生 4 人. 随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3， 其中 P(0)C 0 n6C34 C3n10 ，P(1)C 1 n6C24 C3n10 ，P(2)C 2 n6C14 C3n10 ，P(3)C 3 n6C04
24、 C3n10 ， 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P C0n6C34 C3n10 C1n6C24 C3n10 C2n6C14 C3n10 C3n6C04 C3n10 因为 E()C 0 n6C34 C3n10 0C 1 n6C24 C3n10 1C 2 n6C14 C3n10 2C 3 n6C04 C3n10 32， 所以 C1n6C241C2n6C142C3n6C0432C3n10. 由此可得， 6(n6)4(n6)(n5)1 2(n6)(n5)(n4) 1 3(n10)(n9)(n8)， 即 3(n6)(n217n72)2(n10)(n9)(n8)， 即 3(n6)2(n10)，
25、 解得 n2.所以 n 的最小值为 2. 22.(本小题满分 12 分)(2020 郑州一预)水污染现状与工业废水排放密切相关.某工 厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原 始污水必先经过 A 系统处理，处理后的污水(A 级水)达到环保标准(简称达标)的 概率为 p(0p1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进入 B 系统处理后直接排放. 某厂现有 4 个标准水量的 A 级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时， 既 可以逐个化验， 又可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达 标，混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标，
26、则该组中各个样本必须再 逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放. 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验； 方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验. 若化验次数的期望值越小，则方案越“优”. (1)若 p2 2 3 ，求 2 个 A 级水样本混合化验结果不达标的概率； (2)若 p2 2 3 ，现有 4 个 A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个 最“优”？ 若“方案三”比“方案四”更“优” ，求 p 的取值范围. 解 (1)因为该混合样本达标的概率是 2 2 3 2 8 9， 所以根据对立事件可知，混合
27、样本化验结果不达标的概率为 18 9 1 9. (2)方案一：逐个化验，化验次数为 4. 方案二：由(1)知，每组两个样本化验时，若达标则化验次数为 1，概率为8 9；若不 达标则化验次数为 3，概率为1 9. 故将方案二的化验次数记为 2， 2的所有可能取值为 2， 4， 6.P(22)8 9 8 9 64 81， P(24)C128 9 1 9 16 81，P(26) 1 9 1 9 1 81，其分布列如下： 2 2 4 6 P 64 81 16 81 1 81 所以方案二的期望 E(2)264 814 16 816 1 81 198 81 22 9 . 方案四：混在一起化验，记化验次数为
28、 4，P(41) 2 2 3 4 64 81，P(45)1 2 2 3 4 17 81，4 的所有可能取值为 1，5.其分布列如下： 4 1 5 P 64 81 17 81 所以方案四的期望 E(4)164 815 17 81 149 81 . 比较可得 E(4)E(2)4，故方案四最“优”. 方案三：设化验次数为 3，3的所有可能取值为 2，5. 其分布列如下： 3 2 5 P p3 1p3 E(3)2p35(1p3)53p3. 方案四：设化验次数为 4，4的所有可能取值为 1，5， 其分布列如下： 4 1 5 P p4 1p4 E(4)p45(1p4)54p4. 由题意得 E(3)E(4)，所以 53p354p4， 所以 p3 4. 故所求 p 的取值范围为 0，3 4 .
