1、 中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1（4 分）在实数 0，4 中，最小的数是（ ） A0 B C D4 2（4 分）用百度搜索关键词“十九大”，百度为我们找到相关结果约 18 600 000 个，把 18 600 000 这个数用科学记数法表示为（ ） A0.186108 B1.86107 C18.6106 D186105 3（4 分）下列计算正确的是（ ） Aa2 a 3a6 Ba3aa3 Ca（ba）2ab D（a）3a3 4（4 分）如图所示的几何体的左视图是（ ） A B
2、C D 5（4 分）因式分解 3y26y+3，结果正确的是（ ） A3（y1）2 B3（y22y+1） C（3y3）2 D 6（4 分）股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨， 叫做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌，叫做跌停已知一只股票某天跌停，之 后两天时间又涨回到原价若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x 满足的方程是 （ ） A（1+x）2 B（1+x）2 C1+2x D1+2x 7（4 分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） Ax22x0 Bx2+4x10 C2x24x+30 D3x25x2 8（4 分）某次数学趣味竞赛共有 10
3、 道题目，每道题答对得 10 分，答错或不答得 0 分 人数 2 5 13 10 7 3 成绩（分） 50 60 70 80 90 100 全班 40 名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ） A75，70 B70，70 C80，80 D75，80 9（4 分）在平面直角坐标系中，点 P（m，n）是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心 把AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（ ） A（2m，2n） B（2m，2n）或（2m，2n） C（m， n） D（m， n）或（ m，n） 10（4 分）如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，B60，动点 P 以 1 厘米秒的速度自
4、A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止， 动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止若点 P、Q 同时出发运动了 t 秒，记BPQ 的面积为 S 厘米 2，下面图 象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11（5 分）若式子有意义，则实数 x 的取值范围是 12（5 分）如图，O 与正八边形 OABCDEFG 的边 OA，OG 分别相交于点 MN，则弧 MN 所对的圆周角MPN 13（5 分）如图，点 A、B 在反比例
5、函数 y（k0，x0）的图象上，过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OMMNNC，SBNC 2，则 k 的值为 14（5 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A，B 重合），对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、BD 于点 E、F，交 AD、 BC 于点 M、 N 下列结论： APEAME； PM+PNAC； POFBNF； 当PMNAMP 时，点 P 是 AB 的中点，其中一定正确的结论有 （填上 所有正确的序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共
6、2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15（8 分）计算：|+21cos60（1）0 16（8 分）先化简，再求值：，其中 a2，b3 四、（本大题共四、（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17（8 分）如图，在小正方形的边长均为 1 的 88 方格纸中，有线段 AB 和线段 CD点 A、B、C、D 均在小正方形的顶点上 （1）在方格纸中画出以 AB 为斜边的直角三角形 ABE，点 E 在小正方形的顶点上，且 ABE 的面积为 5； （2）在方格纸中画出以 CD 为一边的CDF点 F 在小正方形的顶点上，CDF 的面积
7、为 4，CF 与（1）中画的线段 AE 所在直线垂直，连接 EF，请直接写出线段 EF 的长 18（8 分）我们把正 n 边形（n3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作 正 n 边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正 n 边形的“扩展图形”， 并将它的边数记为 an如图 1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且 a3 12图 3、图 4 分别是正五边形、正六边形的“扩展图形” （1）如图 2，在 55 的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图 2 中用实线 画出此正方形的“扩展图形”； （2）已知 a312，a420，a530，则图 4 中 a6 ，根
8、据以上规律，正 n 边形 的“扩展图形”中 an ；（用含 n 的式子表示） （3） 已知， ， 且+， 则 n 五、（本大题共五、（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19（10 分）如图，已知斜坡 AB 长 60 米，坡角（即BAC）为 30，BCAC，现计划 在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和 一条新的斜坡 BE（请将下面 2 小题的结果都精确到 0.1 米，参考数据：1.732） （1） 若修建的斜坡 BE 的坡角 （即BEF） 不大于 45， 则平台 DE 的长最多为 米； （2）一座建
9、筑物 GH 距离坡角 A 点 27 米远（即 AG27 米），小明在 D 点测得建筑物 顶部 H 的仰角（即HDM）为 30点 B、C、A、G、H 在同一个平面内，点 C、A、 G 在同一条直线上，且 HGCG，问建筑物 GH 高为多少米？ 20（10 分）如图：AB 是半圆的直径，ABC 的平分线交半圆于 D，AD 和 BC 的延长线 交于圆外一点 E，连结 CD （1）求证：EDC 是等腰三角形 （2）若 AB5，BC3，求四边形 ABCD 的面积 六、（本题满分六、（本题满分 12 分）分） 21（12 分）某校教师开展了“练一手好字”的活动，校委会对部分教师练习字帖的情况 进行了问卷调
10、查，问卷设置了“柳体”、“颜体”、”欧体“和”其他“类型，每位教 师仅能选一项，根据调查的结果绘制了如下统计表： 类别 柳体 颜体 欧体 其他 合计 人数 4 10 6 占的百分比 0.5 0.25 1 根据图表提供的信息解答下列问题： （1）这次问卷调查了多少名教师？ （2）请你补全表格 （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位教师选择了“柳体”，现从以上四位教师中任 意选出 2 名教师参加学校的柳体兴趣小组，请你用画树状图或列表的方法，求选出的 2 人恰好是乙和丙两位教师的概率 七、（本题满分七、（本题满分 12 分）分） 22（12 分）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期
11、间销售单价不低于成本 单价，且获利不得高于 45%，经试销发现：销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次 函数 ykx+b（k0），且当 x65 时，y55；当 x70 时，y50 （1）求 y 与 x 之间的解析式； （2）若该商场获得利润为 w 元，写出利润 w 与销售单价 x 之间的关系式，并求出利润 是 500 元时的销售单价； （3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 八、（本题满分八、（本题满分 14 分）分） 23（14 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上的一个动点，连结 BE，作点 A 关于 BE 的对称点 F，且点 F 落在矩形
12、 ABCD 的内部，连结 AF，BF，EF，过点 F 作 GFAF 交 AD 于点 G，设n （1）求证：AEGE； （2）当点 F 落在 AC 上时，用含 n 的代数式表示的值； （3）若 AD4AB，且以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形，求 n 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1（4 分）在实数 0，4 中，最小的数是（ ） A0 B C D4 【分析】根据正数都大于 0，负数都小于 0，两个负数绝对值大的反而小即可求解 【解答】解：正数大于 0 和一切负数
13、， 只需比较 和4 的大小， |4|， 最小的数是4 故选：D 【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二 次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小 2（4 分）用百度搜索关键词“十九大”，百度为我们找到相关结果约 18 600 000 个，把 18 600 000 这个数用科学记数法表示为（ ） A0.186108 B1.86107 C18.6106 D186105 【分析】根据科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数
14、相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：18 600 0001.86107， 故选：B 【点评】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3（4 分）下列计算正确的是（ ） Aa2 a 3a6 Ba3aa3 Ca（ba）2ab D（a）3a3 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减； 合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变； 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相
15、乘；对各选项分析判断后利用 排除法求解 【解答】解：A、a2a3a5，故 A 错误； B、a3aa2，故 B 错误； C、a（ba）2ab，故 C 正确； D、（a）3a3，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握运算性质和法 则是解题的关键 4（4 分）如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线 【解答】解：图中几何体的左视图如图所示： 故选：D 【点评】本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键 5（4 分）因式分解 3y26y+3，结果正确的是（ ）
16、 A3（y1）2 B3（y22y+1） C（3y3）2 D 【分析】直接提取公因式 3，进而利用完全平方公式分解因式即可 【解答】解：3y26y+33（y22y+1）3（y1）2 故选：A 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是 解题关键 6（4 分）股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨， 叫做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌，叫做跌停已知一只股票某天跌停，之 后两天时间又涨回到原价若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x 满足的方程是 （ ） A（1+x）2 B（1+x）2 C1+2x D1+2x 【分析
17、】股票一次跌停就跌到原来价格的 90%，再从 90%的基础上涨到原来的价格，且 涨幅只能10%，所以至少要经过两天的上涨才可以设平均每天涨 x，每天相对于前一 天就上涨到 1+x 【解答】解：假设股票的原价是 1，设平均每天涨 x 则 90%（1+x）21， 即（1+x）2， 故选：B 【点评】此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关 键在于理解：价格上涨 x%后是原来价格的（1+x）倍 7（4 分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） Ax22x0 Bx2+4x10 C2x24x+30 D3x25x2 【分析】利用根的判别式b24ac 分别进行判定即可 【解答
18、】解：A、40，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意； B、16+4200，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意； C、164230，没有实数根，故此选项符合题意； D、25432252410，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的 根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0 时，方程无实数根 8（4 分）某次数学趣味竞赛共有 10 道题目，每道题答对得 10 分，答错或不答得 0 分 人数 2 5 13 10 7 3
19、 成绩（分） 50 60 70 80 90 100 全班 40 名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ） A75，70 B70，70 C80，80 D75，80 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可 【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第 20、21 个数的平均数， 全班 40 名同学的成绩的中位数是：75； 70 出现了 13 次，出现的次数最多，则众数是 70； 故选：A 【点评】此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新 排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中 位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新
20、排列，就会出错；众数是一组数据中出现 次数最多的数 9（4 分）在平面直角坐标系中，点 P（m，n）是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心 把AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（ ） A（2m，2n） B（2m，2n）或（2m，2n） C（m， n） D（m， n）或（ m，n） 【分析】根据位似变换的性质计算即可 【解答】解：点 P（m，n）是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心把AOB 放大到原 来的两倍， 则点 P 的对应点的坐标为（m2，n2）或（m（2），n（2），即（2m， 2n）或（2m，2n）， 故选：B 【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的
21、性质，在平面直角坐标系中，如果位似 变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 10（4 分）如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，B60，动点 P 以 1 厘米秒的速度自 A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止， 动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止若点 P、Q 同时出发运动了 t 秒，记BPQ 的面积为 S 厘米 2，下面图 象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是（ ） A B C D 【分析】应根据 0t2 和 2t4 两种情况进行讨论把 t 当作已知数值，就可以求出 S，从而得到函数的解析式，
22、进一步即可求解 【解答】解：当 0t2 时，S2t（4t）t2+2t； 当 2t4 时，S4（4t）t+4； 只有选项 D 的图形符合 故选：D 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意 数形结合是解决本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11（5 分）若式子有意义，则实数 x 的取值范围是 x2 且 x0 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，2x0 且 x0， 解得 x2 且 x0 故答案为：x2 且 x0 【点评】 本
23、题考查的知识点为： 分式有意义， 分母不为 0； 二次根式的被开方数是非负数 12（5 分）如图，O 与正八边形 OABCDEFG 的边 OA，OG 分别相交于点 MN，则弧 MN 所对的圆周角MPN 67.5 【分析】利用圆周角定理，求出MON 即可解决问题 【解答】解：多边形 OABCDEFG 是正八边形， MON135， MPNMON67.5， 故答案为 67.5 【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 13（5 分）如图，点 A、B 在反比例函数 y（k0，x0）的图象上，过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，延长
24、线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OMMNNC，SBNC 2，则 k 的值为 8 【分析】由 BNAM 可判断CNBCMA，根据相似的性质得 SCNB：SCMA（） 2 ，则 SCMA8，由于 OMMNNC，根据三角形面积公式得到 S AOM SAMC 4，然后根据反比例函数 k 的几何意义得到 SAOM|k|4，再去绝对值易得 k 的值 【解答】解：BNAM，MNNC， CNBCMA， SCNB：SCMA（ ）2（）2， 而 SBNC2， SCMA8， OMMNNC， OMMC， SAOMSAMC4， SAOM|k|， |k|4， k8 故答案为 8 【点评】 本题考查了反比例函数 y （
25、k0） 系数 k 的几何意义： 从反比例函数 y （k 0）图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|也考 查了相似三角形的判定与性质 14（5 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A，B 重合），对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、BD 于点 E、F，交 AD、 BC 于点 M、 N 下列结论： APEAME； PM+PNAC； POFBNF； 当PMNAMP 时， 点 P 是 AB 的中点，其中一定正确的结论有 （填 上所有正确的序号） 【分析】依据正方形的性质以及勾股定理
26、、矩形的判定方法即可判断APM 和BPN 以 及APE、BPF 都是等腰直角三角形，四边形 PEOF 是矩形，从而作出判断 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BACDAC45 在APE 和AME 中， ， APEAME（ASA），故正确； PEEMPM， 同理，FPFNNP 正方形 ABCD 中，ACBD， 又PEAC，PFBD， PEOEOFPFO90，且APE 中 AEPE 四边形 PEOF 是矩形 PFOE， PE+PFOA， 又PEEMPM，FPFNNP，OAAC， PM+PNAC，故正确； BNF 是等腰直角三角形，而POF 不一定是，POF 与BNF 不一定相似，故 错误；
27、 AMP 是等腰直角三角形，当PMNAMP 时，PMN 是等腰直角三角形 PMPN， 又AMP 和BPN 都是等腰直角三角形， APBP，即 P 是 AB 的中点故正确 故答案为： 【点评】 此题主要考查了正方形的性质、 矩形的判定、 勾股定理的综合应用， 认识APM 和BPN 以及APE、BPF 都是等腰直角三角形，四边形 PEOF 是矩形是关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15（8 分）计算：|+21cos60（1）0 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三 角函数值计算
28、即可求出值 【解答】解：原式2+11 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16（8 分）先化简，再求值：，其中 a2，b3 【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把 a、b 的值直接代入，通常做法是先把代数 式化简，然后再代入求值分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒 等变形的重要内容之一在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的 乘除 【解答】解：（+）， ， ， ， ， 当 a2，b3 时， 原式， ， 1 【点评】本题考查了分式的化简求值，为了降低计算的难度，杜绝繁琐的计算，本题代 数式结构简单，化简后的结果简单，计算简单，把考查重点放
29、在化简的规则和方法上 四、（四、（本大题共本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17（8 分）如图，在小正方形的边长均为 1 的 88 方格纸中，有线段 AB 和线段 CD点 A、B、C、D 均在小正方形的顶点上 （1）在方格纸中画出以 AB 为斜边的直角三角形 ABE，点 E 在小正方形的顶点上，且 ABE 的面积为 5； （2）在方格纸中画出以 CD 为一边的CDF点 F 在小正方形的顶点上，CDF 的面积 为 4，CF 与（1）中画的线段 AE 所在直线垂直，连接 EF，请直接写出线段 EF 的长 【分析】（1）根据题意可知：AB，因为、恰好构成以
30、 AB 为斜边 的直角三角形，由此画出图形即可； （2）根据题意可知：CD，以 CD 为底，高为的三角形面积为 4，由此画出图形， 根据勾股定理求出 EF 的长即可 【解答】解：（1）如图所示：ABE 即为所求 （2）如图所示：CDF 即为所求，EF 【点评】此题考查勾股定理运用，三角形的面积计算方法，灵活利用数据之间的联系， 结合图形解决问题 18（8 分）我们把正 n 边形（n3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作 正 n 边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正 n 边形的“扩展图形”， 并将它的边数记为 an如图 1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且
31、 a3 12图 3、图 4 分别是正五边形、正六边形的“扩展图形” （1）如图 2，在 55 的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图 2 中用实线 画出此正方形的“扩展图形”； （2）已知 a312，a420，a530，则图 4 中 a6 42 ，根据以上规律，正 n 边形的 “扩展图形”中 an n（n+1） ；（用含 n 的式子表示） （3） 已知， ， 且+， 则 n 99 【分析】（1）根据图形变化规律，画出正方形的“扩展图形”即可； （2）根据图形可知正 n 边形的“扩展图形”中 ann（n+1），依此即可求解； （3）先拆分，再抵消得到方程，解方程即可求解 【解答】解：（
32、1）如图所示： （2）图 4 中 a66742，根据以上规律，正 n 边形的“扩展图形”中 ann（n+1）； （用含 n 的式子表示） （3），且+ ， ， 解得 n99 故答案为：42，n（n+1）；99 【点评】此题考查了多边形，图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解 决问题 五、（本大题共五、（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19（10 分）如图，已知斜坡 AB 长 60 米，坡角（即BAC）为 30，BCAC，现计划 在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和 一条新的斜坡 BE
33、（请将下面 2 小题的结果都精确到 0.1 米，参考数据：1.732） （1）若修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45，则平台 DE 的长最多为 10.9 米； （2）一座建筑物 GH 距离坡角 A 点 27 米远（即 AG27 米），小明在 D 点测得建筑物 顶部 H 的仰角（即HDM）为 30点 B、C、A、G、H 在同一个平面内，点 C、A、 G 在同一条直线上，且 HGCG，问建筑物 GH 高为多少米？ 【分析】（1）根据题意得出，BEF 最大为 45，当BEF45时，EF 最短，此时 ED 最长，进而得出 EF 的长，即可得出答案； （2）利用在 RtDPA 中，DPAD，
34、以及 PAADcos30进而得出 DM 的长，利用 HMDMtan30得出即可 【解答】解：（1）修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45， BEF 最大为 45， 当BEF45时，EF 最短，此时 ED 最长， DACBDF30，ADBD30， BFEFBD15， DF15， 故：DEDFEF15（1）10.9（米）； 若修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45，则平台 DE 的长最多为 10.9m； （2）过点 D 作 DPAC，垂足为 P 在 RtDPA 中，DPAD3015， PAADcos303015 在矩形 DPGM 中，MGDP15，DMPG15+27， 在 Rt
35、DMH 中， HMDMtan30（15+27）15+9 GHHM+MG15+15+945.6 答：建筑物 GH 高约为 45.6 米 【点评】此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利 用锐角三角函数得出是解题关键 20（10 分）如图：AB 是半圆的直径，ABC 的平分线交半圆于 D，AD 和 BC 的延长线 交于圆外一点 E，连结 CD （1）求证：EDC 是等腰三角形 （2）若 AB5，BC3，求四边形 ABCD 的面积 【分析】 （1）根据圆周角定理由 AB 是半圆的直径得ADBACB90，加上ABC 的平分线交半圆于 D，根据等腰三角形的判定得 BABE，再
36、根据等腰三角形的性质得 ADED，即可得到 CD 为直角三角形 ACE 斜边上的中线，所以 CDDEAD，因此可 判断EDC 是等腰三角形； （2）先利用 BABE5 得到 CEEBCB2，利用勾股定理，在 RtACE 中计算出 AE2，在 RtABC 中计算出 AC4，利用三角形面积公式得到 SABEACBE 10，再证明ECDEAB，利用相似的性质求出 SECD2，然后利用四边形 ABCD 的 面积SABESECD进行计算 【解答】（1）证明：AB 是半圆的直径， ADBACB90， ABC 的平分线交半圆于 D， BABE， ADED， CD 为直角三角形 ACE 斜边上的中线， CDD
37、EAD， EDC 是等腰三角形； （2）解：BABE5， CEEBCB2， 在 RtACE 中，AE2， 在 RtABC 中，AC4， SABEACBE 4510， EDCEBA， 而DECBEA， ECDEAB， （）2，即 SECD10（）22， 四边形 ABCD 的面积SABESECD1028 【点评】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 直角，90的圆周角所对的弦是直径也考查了等腰三角形的判定与性质和相似三角形 的判定与性质 六、（本题满分六、（本题满分 12 分）分） 21（1
38、2 分）某校教师开展了“练一手好字”的活动，校委会对部分教师练习字帖的情况 进行了问卷调查，问卷设置了“柳体”、“颜体”、”欧体“和”其他“类型，每位教 师仅能选一项，根据调查的结果绘制了如下统计表： 类别 柳体 颜体 欧体 其他 合计 人数 4 10 6 占的百分比 0.5 0.25 1 根据图表提供的信息解答下列问题： （1）这次问卷调查了多少名教师？ （2）请你补全表格 （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位教师选择了“柳体”，现从以上四位教师中任 意选出 2 名教师参加学校的柳体兴趣小组，请你用画树状图或列表的方法，求选出的 2 人恰好是乙和丙两位教师的概率 【分析】（1）用欧体的频数
39、除以其频率即可求得样本总数； （2）根据百分比人数总人数分别求解可得； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概 率 【解答】解：（1）这次调查问卷中被调查的总人数为 100.2540 人； （2）柳体的人数为 400.520 人，颜体所占的百分比为 4400.1，其他所占百分比 为 6400.15， 补全表格如下： 类别 柳体 颜体 欧体 其他 合计 人数 20 4 10 6 40 占的百分比 0.5 0.1 0.25 0.15 1 （3）画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有 12 种，其中恰好是丙与乙的情况有 2 种， P（丙和乙） 【点评】此题考
40、查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况 数之比 七、（本题满分七、（本题满分 12 分）分） 22（12 分）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本 单价，且获利不得高于 45%，经试销发现：销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次 函数 ykx+b（k0），且当 x65 时，y55；当 x70 时，y50 （1）求 y 与 x 之间的解析式； （2）若该商场获得利润为 w 元，写出利润 w 与销售单价 x 之间的关系式，并求出利润 是 500 元时的销售单价； （3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【分
41、析】（1）用待定系数法求出 y 与 x 之间的一次函数关系式； （2）根据利润销售量（销售单价成本）得到 w 与 x 之间的函数关系式，并根据函 数解析式计算利润是 500 元时的销售单价； （3）利用二次函数的性质，求出商场获得的最大利润以及获得最大利润时的售价 【解答】解：（1）当 x65 时，y55；当 x70 时，y50 ， 解得：， yx+120（60 x87） （2）w（x+120）（x60）， wx2+180 x7200， w（x90）2+900， 当 w500 时，有 500（x90）2+900， 解得，x110（舍去）或 x70， 故利润是 500 元时的销售单价 70 元/
42、件 （3）又60 x60（1+45%）， 即 60 x87， 则 x87 时获利最多， 将 x87 代入，得 w（8790）2+900891 元 答：售价定为 87 元有最大利润为 891 元 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，先用待定系数法求出销 售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系，然后求出利润 w 与 x 之间的二次函数， 然后利用二次函数的性质以及题目中对销售单价的要求，求出最大利润和最大利润时的 单价 八、（本题满分八、（本题满分 14 分）分） 23（14 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上的一个动点，连结 BE，作点 A 关于
43、BE 的对称点 F，且点 F 落在矩形 ABCD 的内部，连结 AF，BF，EF，过点 F 作 GFAF 交 AD 于点 G，设n （1）求证：AEGE； （2）当点 F 落在 AC 上时，用含 n 的代数式表示的值； （3）若 AD4AB，且以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形，求 n 的值 【分析】（1）直接利用等角的余角相等得出FGAEFG，即可得出 EGEF，代换 即可； （2）先判断出ABEDAC，得出比例式用 ABDC 代换化简即可得出结论； （3）先判断出只有CFG90或CGF90，分两种情况建立方程求解即可 【解答】解：设 AEa，则 ADna， （1）由对称知，AEF
44、E， EAFEFA， GFAF， EAF+FGAEFA+EFG90， FGAEFG， EGEF， AEEG； （2）如图 1，当点 F 落在 AC 上时， 由对称知，BEAF， ABE+BAC90， DAC+BAC90， ABEDAC， BAED90， ABEDAC， ，ABDC， AB2ADAEna2， AB0， ABa， ； （3）若 AD4AB，则 ABa， 如图 2，当点 F 落在线段 BC 上时，EFAEABa，此时aa， n4， 当点 F 落在矩形内部时，n4， 点 F 落在矩形内部，点 G 在 AD 上， FCGBCD， FCG90， 当CFG90时， 如图 3，则点 F 落在 AC 上， 由（2）得， n16， 当CGF90时，则CGD+AGF90， FAG+AGF90， CGDFAGABE， BAED90， ABEDGC， ， ABDCDGAE， DGADAEEGna2a（n2）a， （a）2（n2）aa， n8+4或 n84（由于 n4，所以舍）， 当 n16 或 n8+4时，以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，相似三角 形的判定和性质，解（1）的关键是判断出 EGEF，解（2）的关键是判断出ABE DAC，解（3）的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题
