1、第二部分第二部分 中考专题复习中考专题复习 专题3 平移、旋转 通过对成都近几年中考考题的分析，本专题知识点主要围绕 以下几个方面命题：以选择题的形式考查平移、旋转的性质；以 填空题的形式考查这些变换的简单计算问题；以解答题的形式考 查与此有关的图案设计题以及与其性质和其他知识综合有关的猜 想、操作、证明题，这些题型将是今后考查这部分知识的常考 型预计今后对该考点的难度系数会逐年加大，分值在12分左右. 考点解读 方法提炼 1.常见的构造平移的方法 (1)构造平行线平移线段 (2)构造平行四边形或者等腰三角形平移图象 2常见的构造旋转的方法 (1)遇中点，旋转180，构造中心对称 (2)遇90
2、，旋转90，构造垂直 (3)遇60，旋转60，构造等边三角形 (4)遇等腰，旋转顶角 构造旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以旋转. 课堂精讲 例 1 (2018 成都)在 RtABC 中，ACB90 ，AB 7，AC2， 过点 B 作直线 mAC，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到ABC(点 A， B 的对应点分别为 A，B)，射线 CA，CB分别交直线 m 于点 P，Q. (1)如图 1，当点 P 与点 A重合时，求ACA的度数； 图 1 课堂精讲 (2)如图 2，设 AB与 BC 的交点为 M，当 M 为 AB的中点时， 求线段 PQ 的长； (3)在旋转过程中，当点 P，Q 分别在
3、CA，CB的延长线上时，试 探究四边形 PABQ 的面积是否存在最小值 若存在， 求出四边形 PABQ 的最小面积；若不存在，请说明理由 图 2 备用图 课堂精讲 【分析】(1)由旋转可得，ACAC2，进而得到 BC 3，依据ABC90 ， 可得 cosACB BC AC 3 2 ，即可得到ACB30 ，ACA60 ； (2)根据 M 为 AB的中点，即可得出AACM，进而得到 PB 3 2 BC3 2，依 据 tanBQCtanA 3 2 ，即可得到 BQBC 2 32，进而得出 PQPBBQ 7 2； (3)依据 S 四边形 PABQSPCQSACBSPCQ 3，即可得到 S 四边形 PA
4、BQ为最小值 时 S PCQ 最小，而 S PCQ 1 2PQBC 3 2 PQ，利用几何法或代数法即可得到 S PCQ 的最 小值3，S四边形 PABQ的最小值3 3. 课堂精讲 【解】(1)由旋转可得，ACAC2，ACB90 ，AB 7，AC 2，BC 3.mAC，ABC90 .cosACB BC AC 3 2 .ACB30 . ACA60 . (2)M 为 AB的中点， ACMMAC.由旋转可得， MACA， AACM.tanPCBtanA 3 2 .PB 3 2 BC3 2.BQCBCP A，tanBQCtanA 3 2 .BQBC 2 32.PQPBBQ 7 2. 课堂精讲 (3)S
5、四边形 PABQS PCQ SACBS PCQ 3， S四边形 PABQ最小， 即 S PCQ 最小 S PCQ 1 2PQBC 3 2 PQ. 方法一(几何法)：如图，取 PQ 的中点 G， PCQ90 ，CG1 2PQ，即 PQ2CG.当 CG 最小时，PQ 最小，CGPQ， 即 CG 与 CB 重合时，CG 最小CGmin 3，PQmin2 3.S PCQ 的最小值3， S四边形 PABQ的最小值3 3. 方法二(代数法)：设 PBx，BQy，由射影定理，得 xy3.当 PQ 最小时， xy 最小 (xy)2x22xyy2x26y22xy612， 当 xy 3时， “” 成立PQ 3 3
6、2 3.S PCQ 的最小值3，S四边形 PABQ的最小值3 3. 课堂精讲 【方法归纳】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的 性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题 时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点 与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全 等 课堂精讲 例 2 (2019 武汉改编)问题背景：如图 1，将ABC 绕点 A 逆时针旋 转 60 得到ADE，DE 与 BC 交于点 P，求证：PAPCPE. 问题解决：如图 2，在MNG 中，MN6，M75 ，MG4 2.点 O 是MNG 内一点，求点 O 到MNG 三个顶点的距离和的最小值
7、图 1 图 2 课堂精讲 【分析】(1)在 BC 上截取 BGPD，通过三角形全等证得 AGAP，得出AGP 是等边三角形，得出AGC60 APG，即可求得APE60 ，连接 EC，延长 BC 到 F，使 CFPA，连接 EF，证得ACE 是等边三角形，得出 AEECAC，然后通 过证得APEECF(SAS)，得出 PEPF，即可证得结论； (2)以 MG 为边作等边MGD，以 OM 为边作等边OME.连接 ND，可证 GMODME，可得 GODE，则 MONOGONOOEDE，即当 D，E，O， N 四点共线时，MONOGO 值最小，最小值为 ND 的长度，根据勾股定理先求得 MF，DF，然
8、后求 ND 的长度，即可求 MONOGO 的最小值 课堂精讲 【解】(1)证明：如图，在 BC 上截取 BGPD， 在ABG 和ADP 中， ABAD， BD， BGPD， ABGADP(SAS)AGAP，BAGDAP.GAPBAD60 ， AGP 是等边三角形AGC60 APG.APE60 .EPC60 .连接 EC，延长 BC 到 F，使 CFPA，连 接 EF，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60 得到ADE，EAC60 ，EPC60 .AEAC，ACE 是等边三 角形AEECAC.PAEAPEAEP180 ，ECFACEACB180 ，ACEAPE60 ， AEDACB，PAEECF.
9、在APE 和CEF 中， AEEC， EAPECF， PACF， APECEF(SAS)PEEF.EPC 60 ，PEPF.PAPCPE. 课堂精讲 (2)如图，以 MG 为边作等边MGD，以 OM 为边作等边OME. 连接 ND，作 DFNM，交 NM 的延长线于 F. MGD 和OME 是等边三角形， OEOMME， DMGOME60 ， MGMD.GMO DME.在GMO 和DME 中， OMME， GMODME， MGMD， GMODME(SAS)OGDE. NOGOMONODEOE.当 D，E，O，N 四点共线时，NOGOMO 值最小 NMG75 ，GMD60 ，NMD135 .DM
10、F45 .MG4 2，MFDF4.NF MNMF6410.NDNF2DF2102422 29.MONOGO 最小值为 2 29. 课堂精讲 【方法归纳】本题考查了旋转的性质，等边三角形的 性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答 本题的关键 课后精练 1(2019 成都)在平面直角坐标系中，将点(2，3)向右平 移 4 个单位长度后得到的点的坐标为( ) A(2，3) B(6，3) C(2，7) D(2，1) A 课后精练 2(2019 乐山)下列四个图形中，可以由如图图形通过平移得到的 是( ) D 课后精练 3(2019 内江)如图，在ABC 中，AB2，BC3.6，B 60 ，
11、将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为( ) A1.6 B1.8 C2 D2.6 A 课后精练 4如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC，使点 A 的对应点 D 恰好落在边 AB 上，点 B 的对应点为 E，连接 BE，下 列结论一定正确的是( ) AACAD BABEB CBCDE DAEBC D 课后精练 5(2019 南京)如图，ABC是由ABC 经过平移得 到的，ABC还可以看作是ABC 经过怎样的图形变化得 到？下列结论：1 次旋转；1 次旋转和 1 次轴对称；2 次旋 转；2 次轴对称其中所有正确结论的序号
12、是( ) A B C D D 课后精练 6 (2019 益阳)在如图所示的方格纸(1 格长为 1 个单位长度) 中，ABC 的顶点都在格点上，将ABC 绕点 O 按顺时针方向 旋转得到ABC，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是 _ _ 90 课后精练 7(2019 扬州)如图，将四边形 ABCD 绕顶点 A 顺时针旋 转 45 至四边形 ABCD的位置，若 AB16 cm，则图中阴影部 分的面积为_cm2. 32 课后精练 8(2019 枣庄)如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 ABC的位置已知ABC 的面积为 16，阴影部分三角形的面积 为 9.若 AA1，则 AD 等于
13、_ 3 课后精练 9(2019 哈尔滨)如图，将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到 ABC，其中点 A与 A 是对应点，点 B与 B 是对应点，点 B落 在边 AC 上，连接 AB，若ACB45 ，AC3，BC2，则 AB 的长为_ 13 课后精练 10(2019 鸡西)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一 个单位长度，在平面直角坐标系中，OAB的三个顶点O(0，0)，A(4， 1)，B(4，4)均在格点上 (1)画出OAB关于y轴对称的OA1B1，并写出点A1的坐标； (2)画出OAB绕原点O顺时针旋转90后得到的OA2B2，并写出点 A2的坐标； (3)在(2)的条件下，求线段 OA
14、在旋转过程中扫过的面 积(结果保留) 课后精练 解：(1)如图所示，点 A1的坐标是(4，1) (2)如图所示，点 A2的坐标是(1，4) (3)点 A(4，1)，OA 1242 17. 线段 OA 在旋转过程中扫过的面积是： 90（ 17）2 360 17 4 . 课后精练 11(2019 苏州)如图，ABC中，点E在BC边上，AE AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得CAF BAE，连接EF，EF与AC交于点G. (1)求证：EFBC； (2)若ABC65，ACB28，求FGC的度数 课后精练 解：(1)证明：CAFBAE，BACEAF.将线段 AC 绕 A 点旋转到 AF 的位置
15、，ACAF.在ABC 与AEF 中， ABAE， BACEAF， ACAF， ABCAEF(SAS)EFBC. (2)ABAE，ABC65 ，BAE180 65 250 . FAGBAE50 .ABCAEF，FC28 . FGCFAGF50 28 78 . 课后精练 12如图1，在RtABC中，A90，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上， ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接PM、PN. (1)观察猜想： 图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明： 把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN 的形状，
16、并说明理由； (3)拓展延伸： 把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面 积的最大值 PMPN PMPN 图1 图2 课后精练 解：(2)PMN 是等腰直角三角形，理由如下： 由旋转知，BADCAE.ABAC，ADAE，ABDACE(SAS) ABDACE，BDCE.由三角形的中位线，得 PN1 2BD，PM 1 2CE.PMPN. PMN 是等腰三角形利用三角形的中位线，得 PMCE，PNBD.DPM DCE，PNCDBC.DPNDCBPNCDCBDBC，MPN DPMDPNDCEDCBDBCBCEDBCACBACE DBCACBABDDBCACBABC.BAC
17、90 ，ACB ABC90 .MPN90 .PMN 是等腰直角三角形 课后精练 (3)同(2)的方法得，PMN 是等腰直角三角形，MN 最大时，PMN 的面 积最大DEBC 且 DE 在顶点 A 上面MN最大AMAN. 连接 AM，AN， 在ADE 中，ADAE4，DAE90 ， AM2 2.在 RtABC 中，ABAC10， AN5 2.MN最大2 25 27 2. SPMN最大1 2PM 21 2 1 2MN 21 4(7 2) 249 2 . 课后精练 13(1)如图 1，在ABC 中，BABC，D，E 是 AC 边上的两点，且满足DBE 1 2ABC(0 CBE 1 2ABC) 以点
18、B 为旋转中心， 将BEC 按逆时针旋转ABC， 得到BEA(点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E处)，连接 DE.求证：DEDE. (2)如图 2，在ABC 中，BABC，ABC90 ，D，E 是 AC 边上的两点，且满 足DBE1 2ABC(0 CBE45 )求证：DE 2AD2EC2. 图1 图2 课后精练 证明：(1)DBE1 2ABC， ABDCBEDBE1 2ABC. ABE由CBE旋转而成， BEBE，ABECBE.DBEDBE. 在DBE与DBE中， BEBE， DBEDBE， BDBD， DBEDBE.DEDE. 课后精练 (2)如图，把CBE 逆时针旋转 90 ，得到A
19、BE，连接 DE， BABC，ABC90 ，BACBCE45 . 图形旋转后点 C 与点 A 重合，CE 与 AE重合 AEEC.EABBCE45 . DAE90 . 在 RtADE中，DE2AE2AD2， AEEC，DE2EC2AD2. 同(1)可得 DEDE，DE2AD2EC2. 课后精练 14已知ABC是等边三角形 (1)将ABC绕点A逆时针旋转角(0180)，得到 ADE，BD和EC所在直线相交于点O. 如图1，当20时，ABD与ACE是否全等？ （填 “是”或“否”)，BOE 度； 当ABC旋转到如图2所在位置时，求BOE的度数； 图1 图2 是 120 课后精练 (2)如图 3，在
20、 AB 和 AC 上分别截取点 B和 C，使 AB 3AB， AC 3AC，连接 BC，将ABC绕点 A 逆时针旋转角 (0 180)，得到ADE，BD 和 EC 所在直线相交于点 O，请利用图 3 探索 BOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由 图3 课后精练 解：(1)ABC和ADE是全等的等边三角形，ABADACAE. ADE是由ABC绕点A旋转得到的， BADCAE.BADCAE. ADBAEC. ADBABDBAD180，AECABDBAD180. ABOAECBAEBOE360，又BAEBADDAE， DAEBOE180. 又DAE60，BOE120. (2)当030时，BOE6
21、0， 当30时，点O与点E重合，BOE不存在； 当30180时，BOE120. 课后精练 【解析】如图，AB 3AB，AC 3AC，AB AB AC AC 3 3 .BCBC.ABC 是等 边三角形，ABC是等边三角形根据旋转变换的性质可得 ADAE，BADCAE， 在ABD 和ACE 中， ABAC， BADCAE， ADAE， ABDACE(SAS)ABDACE. BOC180 (OBCOCB)180 (OBCACBACE)180 (OBCACB ABD)180 (ACBABC)180 (60 60 )60 .当0 30 时， BOEBOC 60 ； 当 30 时， 点 O 与点 E 重合， BOE 不存在； 当 30 180 时， BOE180 BOC 180 60 120 .
