1、数学 考点解读 四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据 了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行 综合考查，重在考查学生对知识的应用能力考查的 基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求 最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化 为四点共圆问题，使题目能简单求解. 1.1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四 个点共圆，一般简称为“四点共圆” 2 2四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的 顶角相等 (2)圆内接四边形的对角互补 (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 方法提炼 方法提炼 3 3四点共圆的判定 (1)用“角”判定：
2、 一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上； 一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上； 如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角 相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上 (2)“等线段”判定： 四顶点到同一点的距离相等，若OAOBOCOD，则A，B，C， D四点共圆 (3)用“比例线段”判定： 若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PAPCPBPD，则A， B，C，D四点共圆. 例 1 (2019潍坊)如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为直径，ADCD，过点 D 作 DEAB 于点 E，连接 AC 交 DE 于 点 F.若 sinCAB3 5，DF5，
3、则 BC 的长为( ) A8 B10 C12 D16 课堂精讲 课堂精讲 【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明 ADEDAC得到FDFA5，再根据正弦的定义计算 出EF3，则AE4，DE8，接着证明ADEDBE， 利用相似比得到BE16，所以AB20，然后在RtABC 中利用正弦定义计算出BC的长 答 案 图 【答案】C 课堂精讲 【方法归纳】若已知圆上四点，常常使用四点 共圆的性质，找角之间的转化关系本题考查了圆 周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推 论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆 周角所对的弦是直径，用“四点共圆”
4、的思想进行 角的数量代换，有助于我们更好地解题 课堂精讲 例2 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对 角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE2CE，过点 C作CFBE，垂足为F，连接OF，求OF的长 课堂精讲 【分析】方法一：正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是 对角线 AC，BD 的交点AOB，AOD，BOC，COD 为 等腰直角三角形，且 AOBOCODO3 2.DE2CE， CE2，DE4.BE2 10(在 RtBCE 中用勾股定理求 得)然后利用BCFBEC，求得 BF.利用BF BD BO BE，易证 BOFBED，根据比例求解 OF 即可 课堂精讲 方法二：我们观察这
5、个图形可以发现点 B，C，F，O 这四点是共圆的，故1245(圆中同弧所对圆周 角相等)，所以1345，加上公共角DBE，就能 得到BOFBED，这样的方法是利用几何图形中的变换 得到所要的结论， 少了许多计算 这道题的方法还有很多， 还可以过点 O 向 BE 作垂线， 垂足为 M， 然后利用勾股定理 求解 课堂精讲 【解】方法一：CFBE， BCFEBC90. EBCBEC90， BECBCF. BCEBFC90， BCFBEC.BC BE BF BC. BC6，CE2， BE BC 2CE22 10. BF9 5 10. BF BD 9 5 10 6 2 3 10 5，BO BE 3 2
6、2 10 3 10 5. BF BD BO BE. DBEDBE，BOFBED. BO BE OF DE 3 10 5. DE4，OF6 5 5. 课堂精讲 方法二：如图，BOCBFC90， B，C，F，O 四点共圆 1245. 2345，1345. DBEFBO，BOFBED. BO BE OF DE 3 10 5. DE4，OF6 5 5. 答案图 【方法归纳】求线段长常用的方法就是两种：利用相似中的 比例线段求线段长或者利用直角三角形中的勾股定理求线段长 课后精练 1 1(2019镇江)如图，四边形 ABCD 是半圆的内接 四边形，AB 是直径，DC CB.若C110，则ABC 的度数等
7、于( ) 第 1 题图 A55 B60 C65 D70 A 课后精练 2 2(2018邵阳)如图，四边形ABCD为O的内接 四边形，BCD120，则BOD的大小是( ) 第2题图 A80 B120 C100 D90 B 课后精练 3 3(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，O经过点A， C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若D80，则EAC的 度数为( ) 第3题图 A20 B25 C30 D35 C 课后精练 4 4如图，以 RtABC 的斜边 BC 为一边在ABC 的同 侧作正方形 BCEF，设正方形的中心为点 O，连接 AO，如果 AB4，AO6 2，那么 AC 的长等于_.
8、 第 4 题图 16 课后精练 5 5已知ABC 为等腰直角三角形，C 为直 角，延长 CA 至点 D，以 AD 为直径作圆，连接 BD 与O 交于点 E，连接 CE，CE 的延长线交O 于 另一点 F，那么BD CF的值等于_ 第 5 题图 课后精练 6 6如图，AB为圆的直径，AD，BC为圆的两条弦， 且BD与AC相交于点E.求证：ACAEBDBEAB2. 第6题图 课后精练 证明：过点E作EFAB于点F. EFB90，C90， EFBC180. B，C，E，F四点共圆 AEACAFAB. EFA90，D90， EFAD180. A，D，E，F四点共圆 BEBDBFAB. ，得 AEACB
9、EBDAFABBFAB. AFBFAB，AEACBEBDAB2. 课后精练 7 7如图，已知圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于 点N， 点M在对角线BD上， 且满足BAMDAN， BCMDCN. 求证：(1) M 为 BD 的中点； (2) AN CN AM CM. 第 7 题图 课后精练 证明： (1)根据同弧所对的圆周角相等， 得DANDBC， DCNDBA. 又DANBAM，BCMDCN， BAMMBC，ABMBCM. BAMCBM. BM CM AM BM，即 BM 2AMCM. 又DCMDCNNCMBCMNCMACBADB， DAMMACDANMACBAMBACCDM
10、， DAMCDM. 则DM CM AM DM，即 DM 2AMCM. 由式，得 BMDM， 即 M 为 BD 的中点 课后精练 (2)如图，延长 AM 交圆于点 P，连接 CP. BCPPABDACDBC. PCBD，AN CN AM PM. 又MCBDCAABD，DBCPCB， ABCMCP. 又ABCAPC， 则APCMCP. 有 MPCM. 由式，得AN CN AM CM. 答案图 课后精练 8 8如图，O 的半径 r25，四边形 ABCD 内接于O，AC BD 于点 H，P 为 CA 延长线上的一点，且PDAABD. (1)试判断 PD 与O 的位置关系，并说明理由； (2)若 tan
11、ADB3 4，PA 4 33 3 AH，求 BD 的长； (3)在(2)的条件下，求四边形 ABCD 的面积 第 8 题图 课后精练 解：(1)PD与O相切 理由：如图，连接DO并延长交圆于点E， 连接AE，DE是直径， DAE90. AEDADE90. PDAABDAED， PDAADE90，即PDDO. PD与O相切于点D. 答案图 课后精练 (2)tanADB3 4， 可设 AH3k，则 DH4k. PA4 33 3 AH， PA(4 33)k.PH4 3k. 在 RtPDH 中，tanPDH PH 3 3 . P30，PDH60. PDDO， BDE90PDH30. 连接 BE，则DBE90，DE2r50， BDDEcos 3025 3. 课后精练 (3)由(2)知，BH25 34k， HC4 3(25 34k) 又PD 2PAPC， (8k) 2(4 33)k4 3k4 3(25 34k) 解得 k4 33， AC3k4 3(25 34k)24 37. S四边形 ABCD1 2BDAC 1 225 3(24 37)900 175 3 2 .
