1、7.3.27.3.2 正弦型函数的性质与图像正弦型函数的性质与图像 课标阐释 1.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出函数y=Asin(x+)的图 像,并熟悉其变换过程. 2.会求函数y=Asin(x+)的周期、频率与振幅. 3.结合具体实例,了解y=Asin(x+)的实际意义,并且了解 y=Asin(x+)中的参数A,对函数图像变化的影响以及它们的物 理意义. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 在物理上,简谐运动中单摆相对平衡位置的位移y与时间x的关系、 交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(x+)的函数.如 图所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图像. 将测得的图像
2、放大,如图所示,可以看出它和正弦曲线很相似.那 么函数y=Asin(x+)与函数y=sin x有什么关系呢?函数 y=Asin(x+)的周期、最值分别受哪些量的影响?如何作出函数 y=Asin(x+)的图像? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:正弦型函数 一般地,形如y=Asin(x+)的函数,在物理、工程等学科的研究中 经常遇到,这种类型的函数称为正弦型函数,其中A,都是常数,且 A0,0. 其中|A|称为振幅,称为初相, T=2 |称为周期,f= 1 T = | 2称为频率. 微练习 函数 y=1 2sin 3x- 6 的振幅是 ,周期是 ,频率 是 ,初相是 . 答案1 2 2 3 3 2
3、- 6 激趣诱思 知识点拨 知识点二:正弦型函数的图像变换 由函数y=sin x的图像通过变换得到y=Asin(x+)的图像有两种主 要途径: (1)先平移后伸缩 y=sin x 的图像y=sin(x+)的图像 y=sin(x+)的图像 y=Asin(x+)的图像. 激趣诱思 知识点拨 (2)先伸缩后平移 y=sin x 的图像y=sin x 的图像 y=sin(x+)的图像 y=Asin(x+)的图像. 激趣诱思 知识点拨 微练习 将函数 f(x)=sin(x+) 0,- 2 2 图像上每一点的横坐标变 为原来的1 2,纵坐标不变,再向右平移 6个单位得到 y=sin x的图像,则 f 6
4、= . 解析将 y=sin x 的图像向左平移 6个单位可得 y=sin x+ 6 的图像,保 持纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍可得 y=sin 1 2x+ 6 的图像,故 f(x)=sin 1 2x+ 6 ,所以 f 6 =sin 1 2 6 + 6 =sin 4 = 2 2 . 答案 2 2 激趣诱思 知识点拨 知识点三:正弦型函数的性质 根据正弦型函数y=Asin(x+)(A0,0)的图像,我们可以得到它 的性质. (1)定义域:R. (2)值域:-A,A. 当 x+=2k+ 2(kZ),即 x= 2 + 2 (kZ)时,y 取得最大值 A; 当x+=2k+3 2 (kZ),即x=
5、 3 2 + 2 (kZ)时,y取得最小值-A. 激趣诱思 知识点拨 (3)单调性: 当- 2+2kx+ 2+2k(kZ),即 x - 2 - + 2 , 2 - + 2 (kZ)时,函数 y=Asin(x+)(A0,0)单调递增;当 2+2kx+ 3 2 +2k(kZ),即 x 2 - + 2 , 3 2 - + 2 (kZ)时,函数 y=Asin(x+)(A0,0)单调递减. (4)奇偶性:当 =0 时,为奇函数;当 0 时,为非奇非偶函数. (5)周期性:T=2 . (6)对称性:直线 x= 2 + (kZ)都是其对称轴; 点 - + ,0 (kZ)为其对称中心. 激趣诱思 知识点拨 微
6、练习 函数 f(x)=sin x- 4 的图像的一条对称轴是( ) A.x= 4 B.x= 2 C.x=- 4 D.x=- 2 解析由 f(x)=sin x- 4 的图像的对称轴为 x- 4=k+ 2,kZ,得 x=k+ 3 4, 当 k=-1 时,x=- 4. 答案C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 “五点法五点法”作正弦型函数的图像作正弦型函数的图像 例 1 用“五点法”作出函数 y=2sin 2 + 6 的图像. 分析采用“五点法”作三角函数图像,关键在于确定“五点”. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解令 t= 2 + 6,列表如下: x - 3
7、 2 3 5 3 8 3 11 3 t 0 2 3 2 2 y 0 2 0 -2 0 描点、连线并向左右两边分别扩展,得到如图所示的函数图像: 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 易错提示本例采用“五点法”作图,要注意,不是x取0, 2, 3 2 ,2这五个 值,而是 t= 2 + 6取这五个值. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 作函数 f(x)=Asin(x+) A0,0,| 2 在0,这一周 期内的简图,列表并填入了部分数据,如表: x+ 0 2 3 2 x 0 3 f(x) -3 (1)请将上表数据补充完整,并求出 f(x)的解析式; (
8、2)作出 f(x)在该周期内的图像. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解(1)如表: x+ - 6 0 2 3 2 11 6 x 0 12 3 7 12 5 6 f(x) -3 2 0 3 0 -3 -3 2 由表可得,A=3,周期 T=,故 =2 =2, 再将最高点 3,3 代入得,3sin 2 3+ =3,又由于|0,0,| 2 的部分图像如图所示, 则 f(x)= . 分析先求A,再求,最后求. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析由图可知,A=2,3 4T= 5 6 12 = 3 4,解得 T=,所以 = 2 =2.所以 f(x)=2sin(2x
9、+), 所以由 f 12 =2sin 2 12+ =2, 可得 2 12+=2k+ 2,kZ, 解得 =2k+ 3,kZ.因为|0,| 2)的部分图像,则 f()= . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析根据图像7 12 3 = 1 4T,可得周期 T=,那么 = 2 =2.根据图像过 点 7 12,-2 , 可得 2sin 2 7 12+ =-2, 可得 2 7 12+= 3 2+2k,kZ, 解得 = 3+2k,kZ,因为| 2,可得 = 3, 故 f(x)=2sin 2 + 3 . 那么 f()=2sin 2+ 3 = 3 . 答案 3 探究一 探究二 探究三 探究
10、四 素养形成 当堂检测 正弦型函数正弦型函数y=Asin(x+)的对称性的对称性 例4已知函数f(x)=sin(2x+)(00, 得 2kx2k+,kZ. 1 21, 函数 y=log1 2 sin x 的单调递增区间即为 u=sin x 的单调递减区间. 2k+ 2x0,0,0)的部分图像如图 所示.则A,的一个数值可以是( ) A. = 3, = 4 , = 4 B. = 3, = 1 2 , = 3 C. = 3, = 1 4 , = 3 D. = 3, = 4 , = 3 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析根据正弦函数的图像性质即可知 A= 3, 由1 4T=3-
11、1,可得 T=8,那么 = 2 = 4. 因为图像过(1, 3 ),代入可得 3 = 3sin 4+ , 即 sin 4+ =1.因为 0,可得 = 4. 答案A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4.函数 y=sin 3 - 2 的最小正周期是 ,对称轴方程 为 . 答案 4 x=- 3-2k(kZ) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5.函数 y=1 2sin -3x+ 3 的单调递减区间是 ,在区间0,上的 单调递减区间是 . 解析函数 y=1 2sin -3x+ 3 =-1 2sin 3x- 3 , 令- 2+2k3x- 3 2+2k,kZ, 解得- 18 + 2 3 x5 18 + 2 3 ,kZ.所以函数 y 的单调递减区间为 - 18 + 2 3 , 5 18 + 2 3 (kZ). 令 k=0得 - 18 , 5 18 ;令 k=1 得 11 18 , 17 18 . 所以在区间0,上的单调递减区间为 0,5 18 和 11 18 , 17 18 . 答案 - 18 + 2 3 , 5 18 + 2 3 (kZ) 0,5 18 11 18 , 17 18
