1、7.2.47.2.4 诱导公式诱导公式 课标阐释 1.掌握诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值. 2.会用诱导公式进行简单的三角函数的化简和恒等式的证明. 3.通过公式的运用,学会从未知到已知、从复杂到简单的转化方法. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 同学们听了老师的记忆口诀后,更是摸不着头脑,老师随后做了解 释,同学们脑洞大开,都拍手叫好. 这句话和我们学习的诱导公式有什么关系呢? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:角与+k 2(kZ)的三角函数值之间的关系 (诱导公式) sin(+k 2)=sin ,cos(+k 2)=cos ,tan(+k 2)=tan . 微练习 计算:(1)sin
2、390= ; (2)cos 765= ; (3)tan(-300)= . 答案(1)1 2 (2) 2 2 (3) 3 激趣诱思 知识点拨 知识点二:角的旋转对称 一般地,角的终边和角的终边关于角 的终边所在的直线对 称. 微练习 60和120角的终边关于 角的终边所在的直线对称. 答案90 + 2 激趣诱思 知识点拨 知识点三:角与-的三角函数值之间的关系(诱导公式) sin(-)=-sin ,cos(-)=cos ,tan(-)=-tan . 微练习 计算:(1)sin(-45)= ; (2)cos(-765)= ; (3)tan(-750)= . 答案(1)- 2 2 (2) 2 2 (
3、3)- 3 3 激趣诱思 知识点拨 知识点四:角与的三角函数值之间的关系(诱导公式) 诱导公式 sin(-)=sin ,cos(-)=-cos ,tan(-)=-tan . 诱导公式 sin(+)=-sin ,cos(+)=-cos ,tan(+)=tan . 名师点析 (1)公式的概念: +k 2(kZ),-,的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上 一个把看成锐角时原函数值的符号. (2)判断函数值的符号时,虽然把看成锐角,但实际上,对于正弦与 余弦的诱导公式,可以为任意角;对于正切的诱导公式,的终边不 能落在y轴上,即k+ (kZ). (3)公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示.
4、2 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1)sin(180+30)= ; (2)cos 5 + 6 = ; (3)tan - 4 = . 答案(1)-1 2 (2)- 3 2 (3)-1 激趣诱思 知识点拨 知识点五:角 与 2的三角函数值之间的关系(诱导公式) 诱导公式 sin 2- =cos ,cos 2- =sin . 诱导公式 sin 2+ =cos ,cos 2+ =-sin . 微练习 (1)sin 2 3 = ; (2)cos 2 + 3 = . 答案(1)1 2 (2)- 3 2 激趣诱思 知识点拨 知识点六:角 与3 2 的三角函数值之间的关系(诱导公式) 诱导公式 cos 3 2
5、 + =sin ,sin 3 2 + =-cos . 诱导公式 cos 3 2 - =-sin ,sin 3 2 - =-cos . 微练习 (1)sin 3 2 - 6 = ; (2)cos 3 2 + 6 = . 答案(1)- 3 2 (2)1 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 直接利用诱导公式化简、求值直接利用诱导公式化简、求值 例1(1)已知cos 31=m,则sin 239tan 149的值是( ) A.1- 2 B. 1-2 C.-1- 2 D.- 1-2 (2)已知 sin 3- = 1 2,则 cos 6+ 的值为 . 分析(1)239=180+59,149=18
6、0-31,59+31 =90选择公式化简求值 (2) 3- + 6+ = 2选择公式化简求值 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析(1)sin 239tan 149=sin(180+59)tan(180-31) =-sin 59(-tan 31) =-sin(90-31) (-tan 31) =-cos 31 (-tan 31)=sin 31 = 1-cos231 = 1-2. (2)cos 6+ =cos 2- 3- =sin 3- = 1 2. 答案(1)B (2)1 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 解决化简求值问题的策略: (1)首先要仔细观察条件与
7、所求式之间的角、函数名称及有关运算 之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向 已知式转化. (3)常见的互余关系有 3-与 6+, 4+与 4-等;常见的互补关系有 3+ 与2 3 -, 4+ 与 3 4 - 等. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 求 sin 2 + 2 3 cos + 4 3 (nZ)的值. 解当 n 为奇数时,原式=sin2 3 -cos 4 3 =sin - 3 -cos + 3 =sin 3 cos 3 = 3 2 1 2 = 3 4 . 当 n 为偶数时,原式=sin2 3 cos4 3 =sin(
8、- 3) cos + 3 =sin 3 -cos 3 = 3 2 - 1 2 =- 3 4 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 给值给值(式式)求值问题求值问题 例 2 已知 cos(-)= 3 3 ,求 cos(+)-sin2(-)的值. 解cos(-)=-cos = 3 3 , cos =- 3 3 . cos(+)-sin2(-)=-cos -sin2 =-cos -(1-cos2)= 3 3 -1+1 3 = 3 3 2 3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 解给值(或式)求值题的基本思路 给值(或式)求值,解决的基本思路是认真找出条件式与待求式之间
9、的差异性,主要包括函数名称及角两个方面,然后就是巧妙地选用 公式“化异为同”或代入条件式求解.有时还需对条件式或待求式进 行适当化简后再作处理. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究已知 cos 6 - = 3 3 ,求 cos(5 6 +)-sin2 - 6 的值. 解因为 cos 5 6 + =cos- 6 - =-cos 6 - =- 3 3 , sin2 - 6 =sin 2 - 6 - =1-cos2 6 - =1- 3 3 2 = 2 3, 所以 cos 5 6 + -sin2 - 6 =- 3 3 2 3=- 2+ 3 3 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当
10、堂检测 利用诱导公式证明问题利用诱导公式证明问题 例 3 求证:tan (3-)sin(-5+)cos(4-) sin +3 2 cos + 2 =tan . 分析观察被证等式两端,左边较为复杂,右边较为简简,可以从左边 入手,利用诱导公式进行化简,逐步推向右边. 证明因为左边=-tan sin(-+)cos(-) -sin + 2 cos + 2 = -tan (-sin)cos -cos (-sin) =tan =右边,所以 等式成立. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 三角恒等式的证明策略 (1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左 右归一,总之
11、,应遵循化繁为简的原则. (2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1” 的代换法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 求证: cos (-) cos sin 3 2 - -1 + cos (2-) cos (+)sin 2+ -sin 3 2 + = 2 sin2. 证明因为左边= -cos cos(-cos-1) + cos -cos2+cos = 1 1+cos + 1 1-cos = 1-cos +1+cos (1+cos)(1-cos) = 2 1-cos2 = 2 sin2=右边,所以原等式成立. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测
12、 分类讨论思想在化简中的应用分类讨论思想在化简中的应用 典例 化简: sin(+1)+cos(+1)- sin(-)cos(+) (kZ). 解当 k 为偶数时,设 k=2n,nZ,则 原式=sin(2+1)+cos(2+1)- sin(2-)cos(2+) =sin(2+)cos(2+-) sin(-)cos = sin(+)cos(-) -sincos =-sin(-cos) -sincos =-1. 当 k 为奇数时,设 k=2n+1,nZ,则有 原式=sin(2+2)+cos(2+2)- sin(2+1)-cos(2+1)+ = sincos(-) sin(-)cos(+) = sin
13、cos sin(-cos)=-1.综 上可知,当 kZ 时,sin(+1)+cos(+1)- sin(-)cos(+) =-1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 对于式中含有k(kZ)的情况,将k分为k=2n和 k=2n+1(kZ)两种情况求解更易于诱导公式的应用. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练化简 cos 3+1 3 + +cos 3-1 3 - ,其中 kZ. 解当 k=2n(nZ)时,原式=cos 2n+ 3+ +cos 2- 3- =cos 3 + +cos 3+ =2cos 3 + ; 当 k=2n+1(nZ)时,原式=cos(2n+1)
14、+ 3+cos (2 + 1)- 3 - =cos + 3+ +cos - 3 + =-cos 3 + -cos 3 + =-2cos 3+ . 综上所述,原式= 2cos 3 + ,为偶数, -2cos 3 + ,为奇数. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.sin 600=( ) A.1 2 B. 3 2 C.-1 2 D.- 3 2 解析因为 sin 600=sin(-120+720) =-sin 120=- 3 2 ,所以选 D. 答案D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.如果,满足+=,那么下列式子中正确的个数是( ) sin =sin ;sin =-sin
15、 ;cos =-cos ;cos =cos ;tan =-tan . A.1 B.2 C.3 D.4 解析因为+=,所以sin =sin(-)=sin ,故正确,错误; cos =cos(-)=-cos ,故正确,错误;tan =tan(-)=-tan ,正 确. 答案C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.已知 sin - 3 = 1 3,则 cos 6 + 的值为( ) A.1 3 B.-1 3 C.2 3 3 D.-2 3 3 解析 cos 6 + =cos 2 + - 3 =-sin - 3 =- 1 3. 答案B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.已知 ta
16、n 7 + =5,则 tan 6 7 - = . 解析 tan 6 7 - =tan - 7 + =-tan 7 + =-5. 答案-5 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.化简: 1-2sin290 cos110 sin250 +sin20 . 解原式= 1-2sin(270+20)cos(90+20) sin(270-20)+sin20 = 1-2(-cos20 )(-sin20 ) -cos20 +sin20 = 1-2cos20 sin20 sin20 -cos20 = (sin20 -cos20 )2 sin20 -cos20 =|sin20 -cos20 | sin20 -cos20 = |sin20 -sin70 | sin20 -sin70 =sin70 -sin20 sin20 -sin70 =-1.
