1、 开封市开封市 20192019 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试 数学（理科）试题数学（理科）试题 第第卷卷 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合 |2 ,0 x Ay yx?， 2 |log (2)Bx yx?，则() R AB ? A0,1) B(1,2) C(1,2 D2,)? 2.已知复数z满足(13 )1i zi? ?，则复平面内与复数z对应的点在 A第一象限 B
2、第二象限 C第三象限 D第四象限 3.已知函数 44 ( )sincosf xxx?，则下列说法正确的是 A( )f x的最小正周期为2? B( )f x的最大值为 2 C( )f x的图像关于y轴对称 D( )f x在区间, 4 2 ? ? 上单调递减 4.已知等比数列 n a中，有 3 117 4a aa?，数列 n b是等差数列，其前n项和为 n S，且 77 ba?，则 13 S? A26 B52 C.78 D104 5.已知直线m，n和平面?，n?，则“mn”是“m?”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视
3、图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为 A16? B164? C.322? D644? 7.已知函数 1 2 3 ,2, ( ) log (1),2, x ex f x xx ? ? ? ? ? ? 若( )1f a ?，则a的取值范围是 A1,2) B1,)? C.2,)? D(, 21,)? ? 8.若x，y满足约束条件 22, 2, 20, xy yx x ? ? ? ? ? ? ? 则 2 y x ? 的取值范围为 A 1 ,1 2 ? B 1 (,1,) 2 ? ? C. 0,1 D 1 ,1 2 9.已知数列 n a中， 1 1 2 a ?， 1 1 1 n n a a ? ? ?，
4、利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是 2，则判断 框内的条件不可能是 A2012n ? B2015n ? C.2017n ? D2018n ? 10.已知ABC?的内角 3 A ? ?，6AB ?，4AC ?，O为ABC?所在平面上一点，且满足OAOBOC?， 设AOmABnAC?，则m n?的值为 A 11 18 B1 C. 7 18 D2 11.已知P是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ?上一点，且在x轴上方， 1 F， 2 F分别是双曲线的左、右焦点， 12 | 12FF ?，直线 2 PF的斜率为4 3?， 12 PFF?的面积为24 3，则双曲线的离心率为
5、A3 B2 C.3 D2 12.有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对 棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是 A 8 3 (0, 27 B 16 3 (0, 27 C. 3 (0, 3 D 2 3 (0, 3 第第卷卷 本卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（包括必考题和选考题两部分，第（1313）题题第第（2121）题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须 做答，第（做答，第（2222）题题第第（2323）题为选考题，考生根据要求做答题为选考题，考生根据要求做答. . 二、填空题（每题二、填空题（每题 5
6、 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 10 (1) x?的展开式中， 3 x的系数等于 14.已知向量(1, 3)a ?，(3, )bm?，且b在a方向上的投影为-3，则向量a与b的夹角为 15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾 股圆方图” ，亦称“赵爽炫图” （以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图” ，可类似地构造如下图 所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 2DFAF?，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三
7、角形的概率是 16.已知数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b的前n项和为 n T，满足 1 2a ?，3() nn Snm a?，()mR?， 且 n n a bn?.若存在 * nN?，使得 2nn TT?成立，则实数?的最小值为 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 在ABC?中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cossinaBbAc?. （）求角A； （）若2a ?，求ABC?面积的最大值. 18. 如图所示，ABCD是边长
8、为 2 的正方形，AE ?平面BCE，且1AE ?. （）求证：平面ABCD ?平面ABE； （）线段AD上是否存在一点F，使二面角ABFE?所成角的余弦值为 6 4 ？若存在，请找出点F的 位置；若不存在，请说明理由. 19. 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p?的焦点F与椭圆 22 1 43 xy ?的右焦点重合， 抛物线C的动弦AB过点 F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M. （）求抛物线的标准方程； （）求 | | AB MF 的最小值. 20. 大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、 学习方法的训练，为大学学习乃
9、至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有 250 人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分 100 分） ，结果 如下表所示： 分数a 95100a? 8595a? 7585a? 6075a? 60a ? 人数 25 50 100 50 25 参加自主招生获 得通过的概率 0.9 0.8 0.6 0.4 0.3 （）这两年学校共培养出优等生 150 人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能 否在犯错的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？ 优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 250 没
10、有学习大学先修课程 总计 150 （）已知今年全校有 150 名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参 加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率； （） 某班有 4 名学生参加了大学先修课程的学习， 设获得高校自主招生通过的人数为X， 求X的分布列， 试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数. 参考数据： 2 0 ()P Kk? 0.15 0.10 005 0.025 0.010 0.005 0 k 2.072 2.706 3.841
11、 5.024 6.635 7.879 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ? ? ? ，其中nabcd? ? 21. 已知函数 2 1 ( ) x axbx f x e ? ?. （）当1ab?时，求函数( )f x的极值； （）若(1)1f?，且方程( )1f x ?在区间(0,1)内有解，求实数a的取值范围. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是 , 1, xt yt ? ? ? ? ? （t为参数） ，曲线C的参数方程是 22cos , 2sin , x y ? ? ? ? ? ? （?为参数）
12、，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （）求直线l和曲线C的极坐标方程； （）已知射线 1 :OP?（其中0 2 ? ?）与曲线C交于O，P两点，射线 2 : 2 OQ ? ?与直线l 交于Q点，若OPQ?的面积为 1，求?的值和弦长|OP. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |2|f xxa?，( ) |1|g xx?. （）若( )2 ( )f xg x?的最小值为 1，求实数a的值； （）若关于x的不等式( )( )1f xg x?的解集包含 1 ,1 2 ，求实数a的取值范围. 试卷答案试卷答案 一、选择题一、选择题 1-5:CDCBD 6-10: ABACA
13、 11、12：BB 二、填空题二、填空题 13. -120 14.120? 15. 4 13 16. 1 3 三、解答题三、解答题 17. 解： （）由已知及正弦定理得：sincossinsinsinABBAC?， sinsin()CAB?sincoscossinABAB?，sinsincossinBAAB?， sin0B ?sincosAA?，(0, )A? 4 A ? ?. （）ABC?的面积 12 sin 24 SbcAbc?， 由2a ?及余弦定理得 22 42cos 4 bcbc ? ?， 又 22 2bcbc?，故 4 2(22) 22 bc ? ? ，当且仅当bc?时，等号成立.
14、 ABC?面积的最大值为21?. 18. 解： （）AE ?平面BCE，BE ?平面BCE，BC ?平面BCE，AEBE?，AEBC?， 又BCAB?，AEABA?，BC ?平面ABE， 又BC ?平面ABCD，平面ABCD ?平面ABE. （）如图所示，建立空间直角坐标系Axyz?， 1AE ?，2AB ?，AEBE?，3BE ?. 假设线段AD上存在一点F满足题意， 3 1 (,0) 22 E，(0,2,0)B，(0,0, )Fh，(0)h ?， 易知：平面ABF的一个法向量为(1,0,0)m?， 33 (,0) 22 BE ?，(0, 2, )BFh?， 设平面BEF的一个法向量为( ,
15、 , )nx y z?， 由 0 0 n BE n BF ? ? ? ? ? ? ，得 33 0 22 20 xy yhz ? ? ? ? ? ? ，取1y ?，得 2 ( 3,1, )n h ?， 2 63 cos, 4| |4 4 m n m n mn h ? ? ? ? ，1h ?. 点F为线段AD的中点时，二面角ABFE?所成角的余弦值为 6 4 . 19. 解： （）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0) 抛物线的焦点为(1,0)F，2p ?，抛物线的标准方程为 2 4yx?. （）当动弦AB所在直线的斜率不存在时，易得： | 24ABp?，| 2MF ?， | 2 | AB MF
16、?. 当动弦AB所在的直线斜率存在时，易知，AB的斜率不为 0. 设AB所在直线方程为(1)yk x?，且 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy. 联立方程组： 2 4 (1) yx yk x ? ? ? ? ，得 2222 2(2)0k xkxk?； 2 12 2 2(2)k xx k ? ?， 12 1x x?， 2 16(1)0k? ?， 2 12 |1|ABkxx? 22 22 22 244(1) 1()4 kk k kk ? ? FM所在的直线方程为 1 (1)yx k ? ?，联立方程组： 1 (1) 1 yx k x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，得点 2 (
17、 1,)M k ?， 2 2 22 41 |22 k MF kk ? ? 2 2 2 2 2 4(1) |1 2 12 | 1 2 k AB k MFk k k ? ? ? ， 综上所述： | | AB MF 的最小值为 2. 20. 解： （）列联表如下： 优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 50 200 250 没有学习大学先修课程 100 900 1000 总计 150 1100 1250 由列联表可得 2 1250 (50 900200 100) 250 1000 150 1100 k ? ? ? 18.9396.635?， 因此在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系. （） （）由题
