1、 2019 届高三年级第一次模拟考试 数学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 参考公式： 锥体体积公式：V1 3Sh，其中 S 为底面积，h 为高 圆锥侧面积公式：Srl，其中 r 为底面半径，l 为母线长 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1. 已知集合 A0，1，2，集合 B1，0，2，3，则 AB_ 2. 函数 f(x) lg（3x）的定义域为_ 3. 从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数，则这 2 个数的和为 6 的概率是_ 4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的 i 的值为_ 5. 已知一个圆锥的底面积为 ，侧
2、面积为 2，则该圆锥的体积为_ 6. 抛物线 y28x 的焦点到双曲线x 2 16 y2 9 1 渐近线的距离为_ 7. 设 Sn是等比数列an的前 n 项的和，若a6 a3 1 2，则 S6 S3_ 8. 已知函数 f(x) 1 2x2 x，则满足 f(x25x)f(6)0 的实数 x 的取值范围是_ 9. 若 2cos 2sin? ? ? ? 4 ，? ? ? ? 2， ，则 sin 2_ 10. 已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连结 DE 并延长到 点 F，使得 DE3EF，则AF BC 的值为_ 11. 已知等差数列an的公差为 d(d0)
3、，前 n 项和为 Sn，且数列 Snn也为公差为 d 的等差 数列，则 d_ 12. 已知 x0，y0，xy1 x 4 y，则 xy 的最小值为_ 13. 已知圆 O：x2y21，圆 M：(xa)2(y2)22.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两 条切线，切点为 A，B，使得 PAPB，则实数 a 的取值范围为_ 14. 设函数 f(x)ax3bx2cx(a，b，cR，a0)若不等式 xf(x)af(x)2 对一切 xR 恒成 立，则bc a 的取值范围为_ 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 14 分)
4、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ccos Bbcos C3acos B. (1) 求 cos B 的值； (2) 若|CA CB |2，ABC 的面积为 2 2，求边 b. 16. (本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是矩形，VD平面 ABCD，过 AD 的平面分别与 VB， VC 交于点 M，N. (1) 求证：BC平面 VCD； (2) 求证：ADMN. 17. (本小题满分 14 分) 某房地产商建有三栋楼宇 A，B，C，三楼宇间的距离都为 2 千米，拟准备在此三楼宇围成 的区域 ABC 外建第四栋楼宇 D，规划要求楼宇
5、 D 对楼宇 B，C 的视角为 120 ，如图所示，假设楼宇 大小高度忽略不计 (1) 求四栋楼宇围成的四边形区域 ABDC 面积的最大值； (2) 当楼宇 D 与楼宇 B，C 间距离相等时，拟在楼宇 A，B 间建休息亭 E，在休息亭 E 和楼宇 A， D 间分别铺设鹅卵石路 EA 和防腐木路 ED，如图已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为 a， 2a(单位：元/千米，a 为常数)记BDE，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值 18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的长轴长为 4， 两准线间距离为 4 2.设 A 为椭圆 C 的左顶点， 直
6、线 l 过点 D(1，0)，且与椭圆 C 相交于 E，F 两点 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若AEF 的面积为 10，求直线 l 的方程； (3) 已知直线 AE， AF 分别交直线 x3 于点 M， N， 线段 MN 的中点为 Q， 设直线 l 和 QD 的斜率分别为 k(k0)，k.求证：kk为定值 19. (本小题满分 16 分) 设数列an是各项均为正数的等比数列，a12，a2a464，数列bn满足：对任意的正整数 n，都有 a1b1a1b2anbn(n1) 2n 12. (1) 分别求数列an与bn的通项公式； (2) 若不等式 ? ? ? ? 1 1 2b1? ? ? ?
7、 1 1 2b2 ? ? ? ? 1 1 2bn 0)恒成立，求实数 m 的取值范围. 2019 届高三年级第一次模拟考试(二) 数学附加题 (本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. (本小题满分 10 分) 求函数 y3cos? ? ? ? 2x 3 的图象在 x5 12处的切线方程 22. (本小题满分 10 分) 已知定点 A(2，0)，点 B 是圆 x2y28x120 上一动点，求 AB 中点 M 的轨迹方程. 23. (本小题满分 10 分) 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABAC，AB2，AC4，AA13，D 是 BC 的中点 (1) 求直线 DC1与平面
8、A1B1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角 B1DC1A1的余弦值 24. (本小题满分 10 分) 已知 x，y 为整数，且 xy0，? ? ? ? 0， 2 ，n 为正整数，cos x 2y2 x2y2，sin 2xy x2y2，记 An(x 2 y2)ncos n，Bn(x2y2)nsin n. (1) 试用 x，y 分别表示 A1，B1； (2) 用数学归纳法证明：对一切正整数 n，An均为整数 2019 届高三年级第一次模拟考试(二)(镇江) 数学参考答案 1. 0，2 2. x|x2 3. 1 5 4. 8 5. 3 3 6. 6 5 7. 1 2 8. (2，3) 9. 7
9、8 10. 1 3 11. 1 2 12. 3 13. 2，2 14. ? ? ? ? 1 6， 15. (1) 由正弦定理 a sin A b sin B c sin C，(1 分) 且 ccos Bbcos C3acos B，得 sin Ccos Bsin Bcos C3sin Acos B，(3 分) 则 3sin Acos Bsin(BC)sin (A)sin A，(5 分) 又 A(0，)，则 sin A0，(6 分) 则 cos B1 3.(7 分) (2) 因为 B(0，)，则 sin B0，sin B 1cos2B1? ? ? ? 1 3 2 2 2 3 .(9 分) 因为|C
10、A CB |BA |c2，(10 分) 又 S1 2acsin B 1 2a2 2 2 3 2 2， 解得 a3.(12 分) 由余弦定理得，b2a2c22accos B942321 39，则 b3.(14 分) 故边 b 的值为 3. 16. (1) 在四棱锥 VABCD 中， 因为 VD平面 ABCD，BC?平面 ABCD， 所以 VDBC.(3 分) 因为底面 ABCD 是矩形，所以 BCCD.(4 分) 又 CD?平面 VCD，VD?平面 VCD，CDVDD， 则 BC平面 VCD.(7 分) (2) 因为底面 ABCD 是矩形，所以 ADBC，(8 分) 又 AD?平面 VBC，BC
11、?平面 VBC， 则 AD平面 VBC，(11 分) 又平面 ADNM平面 VBCMN，AD?平面 ADNM， 则 ADMN.(14 分) 17. (1) 因为三楼宇间的距离都为 2 千米， 所以 ABACBC2，(1 分) 因为楼宇 D 对楼宇 B，C 的视角为 120 ， 所以BDC120 ，(2 分) 在BDC 中，因为 BC2BD2DC22BD DC cosBDC，(3 分) 所以 22BD2CD22BD CD cos 120oBD2CD2BD CD2BD CDBD CD3BD CD， 则 BD CD4 3，(4 分) 当且仅当 BDCD 时等号成立， 此时DBCDCB30 ，BDCD
12、 1 cos 30 2 3 3 . 区域最大面积 SSABCSBCD1 222sin 60 1 2BD CD sin 120 4 3 3 (平方千米)(7 分) (或者：因为直角三角形ABD，ACD 全等，区域最大面积 SSABDSACD2SABD21 2 AB BD4 3 3 (平方千米)(7 分) (2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为 y 元， 在 RtBDE 中，由(1)知，BDE? ? ? ? 0， 3 ，(8 分) 则 DE 2 3 3cos，BE 2 3 3 tan ，AEABBE22 3 3 tan ，(9 分) 所以 y2a EDa AE2a? ? ? ? 2 3 3co
13、s a ? ? ? ? 22 3 3 tan 2 3a 3? ? ? ? 2sin cos 2a，? ? ? ? 0， 3 .(10 分) 记 f()2sin cos ，令 f()12sin cos2 0， 解得 6? ? ? ? 0， 3 .(11 分) 当 ? ? ? ? 0， 6 时，f()0，函数 f()为增函数 所以当 6时，f()取最小值， 此时 ymin4a(元)(12 分) 答：(1)四栋楼宇围成的四边形区域 ABDC 面积的最大值为4 3 3 平方千米； (2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为 4a 元(14 分) 18. (1)由长轴长 2a4，准线间距离 2a
14、2 c 4 2， 解得 a2，c 2，(2 分) 则 b2a2c22， 即椭圆方程为x 2 4 y 2 2 1.(4 分) (2) 若直线 l 的斜率不存在，则 EF 6， AEF 的面积 S1 2AD EF 3 6 2 不合题意；(5 分) 若直线 l 的斜率存在，设直线 l：yk(x1)，代入得， (12k2)x24k2x2k240， 因为点 D(1，0)在椭圆内，所以 0 恒成立 设点 E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则 x1，24k 2 2 2 3k22 2（12k2） ，(6 分) EF（x1x2）2（y1y2）2 1k2|x1x2| 1k2 2 2 3k22 12k2 .(7
15、 分) 点 A 到直线 l 的距离 d 为 3|k| 1k2，(8 分) 则AEF 的面积 S1 2d EF 1 2 3|k| 1k2 1k 2 2 2 3k22 12k2 3 2 3k42k2 12k2 10，(9 分) 解得 k 1. 综上，直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.(10 分) (3)设直线 AE：y y1 x12(x2)， 令 x3，得点 M? ? ? ? 3， 5y1 x12 ， 同理可得点 N? ? ? ? 3， 5y2 x22 ， 所以点 Q 的坐标为? ? ? ? 3， 5y1 2（x12） 5y2 2（x22） .(12 分) 所以直线 QD 的斜率为 k5
16、 4? ? ? ? y1 x12 y2 x22 ，(13 分) 而 y1 x12 y2 x22 k（x11） x12 k（x21） x22 k? ? ? ? ? 2x1x2x1x24 x1x22（x1x2）4 .(14 分) 由(2)中得，x1x2 4k2 12k2，x1x2 2k24 12k2，代入上式得，(15 分) y1 x12 y2 x22k? ? ? ? ? ? 4k284k24（12k2） 2k248k248k2 12k 18k2 2 3k. 则 k 5 6k， 所以 kk5 6为定值(16 分) 19. (1) 设等比数列an的公比为 q(q0)， 因为 a12，a2a4a1q a1q364， 解得 q2，则 an2n.(1 分) 当 n1 时，a1b12，则 b11，(2 分) 当 n2 时，a1b1a2b2anbn(n1) 2n 12， a1b1a2b2an1bn1(n2) 2n2， 由得，anbnn 2n，则 bnn.
