1、 河北衡水中学河北衡水中学 20192019 届全国高三第一次摸底联考届全国高三第一次摸底联考 理科数学理科数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1.复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 直接由复数的乘法运算化简，求出 z 对应点的坐标，则答案可求 【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选 D. 【点睛】本题考查复数代
2、数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 2.已知全集 U=R，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解二次不等式求出集合 M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案 【详解】全集 U=R，M=x|x22x=x|0x2， ?UM=x|x0 或 x2， 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答 的关键 3.某地某所高中 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍， 为了更好地对比该校考生的升学 情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如下柱状图：
3、 2015 年高考数据统计 2018 年高考数据统计 则下列结论正确的是 A. 与 2015 年相比，2018 年一本达线人数减少 B. 与 2015 年相比，2018 年二本达线人数增加了 0.5 倍 C. 与 2015 年相比，2018 年艺体达线人数相同 D. 与 2015 年相比，2018 年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】 设 2015 年该校参加高考的人数为 ，则 2018 年该校参加高考的人数为. 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】设 2015 年该校参加高考的人数为 ，则 2018 年该校参加高考的人数为. 对于选项
4、 A.2015 年一本达线人数为.2018 年一本达线人数为，可见一本达线人数增 加了，故选项 A 错误； 对于选项 B，2015 年二本达线人数为，2018 年二本达线人数为，显然 2018 年二本达线 人数不是增加了 0.5 倍，故选项 B 错误； 对于选项 C，2015 年和 2018 年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项 C 错误； 对于选项 D，2015 年不上线人数为.2018 年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选 D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的 关系列式计算是解题的关键 4.已知等差数列的公差为 2
5、，前 项和为，且，则 的值为 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】 由及公差为 2.代入前 项和公示，求出，得到挺喜欢上，即可求出 的值. 【详解】由及公差为 2.得 .所以，故. 故选 C. 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属基础题. 5.已知是定义在 上的奇函数，若 时，则时， A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设，则由奇函数的性质 f（-x）=-f（x） ，求出函数 f（x）的解析式， 【详解】设，则，所以.又因为是定义在 上的奇函数，所以 ，所以 . 故选 B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题. 6
6、.已知椭圆和直线，若过 的左焦点和下顶点的直线与 平行，则椭圆 的离心 率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直线 的斜率为，因为过 的左焦点和下顶点的直线与 平行，由此可求椭圆 的离心率. 【 详 解 】 直 线的 斜 率 为， 过的 左 焦 点 和 下 顶 点 的 直 线 与平 行 ， 所 以 ， 又 ，所以， 故选 A. 【点睛】本题考查椭圆的离心率求法，属基础题. 7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点 ，且，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量加法法则结合图像特点运算即可. 【详解】 .故选 C. 【点睛】本题考查向量的线性运
7、算，属基础题. 8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体 A. 有四个两两全等的面 B. 有两对相互全等的面 C. 只有一对相互全等的面 D. 所有面均不全等 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可 【详解】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，. 所以. 因为平面，所以.同理，. 因为，所以.又与不全等.故选 B. 【点睛】本题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题. 9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股 圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个
8、全等的直角三角形再加上中间的一个小 正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一 个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自 小等边亚角形的概率是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可 【详解】 在中， 由余弦定理， 得 ， 所以. 所以所求概率为. 故选 A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题 10.已知函数（ 为自然对数的底数） ，若关于 的方程 有两个不相等的实根，则 的 取值范围是 A
9、. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 画出函数的图像，利用数形结合法可求 的取值范围， 【详解】 画出函数的图像如图所示，若关于 的方程有两个不相等的实根，则函数与直线 有两个不同交点，由图可知，所以. 故选 C. 【点睛】本题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆 的切线，交双曲线右支 于点，若，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合 a， b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率 【详解】如图，作于点 .于点 .
10、因为与圆相切， ， 所 以，. 又 点在 双 曲 线 上 . 所 以 .整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为. 故选 A. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算 能力，属于中档题 12.如图，在正方体中，点 ， 分别为棱，的中点，点 为上底面的中心，过 ， ， 三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设 与平面所成角为 ，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为，三棱柱为，设点为 的任一点，过点作底面的垂线，垂足为 ，连结，则即为与平
11、面所成 的角，所以. 进而得到的最大值. 【详解】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一 定是过点 且与平行的直线.过点 作交于点 ，交于 点，则，连结，.则平 行四边形即为截面.则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点， 过点作底面的垂线，垂足为 ，连结，则即为与平面所成的角，所以 . 因为，要使 的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点 重合时符合题意.故 .故选 B. 【点睛】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.已知实数 ， 满足
12、约束条件，则的最小值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目 标函数得答案 【详解】可行域如图所示， 当直线经过点 时， 取得最小值.解方程组可得点，所以.故填. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 14.已知数列，若数列的前 项和，则 的值为_. 【答案】16 【解析】 【分析】 据题意，得， 所以当时，. 两式相减，可求出当时，由此可求 的值. 【详解】据题意，得， 所以当时，. 两式相减，得.所以当时，故. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法，属基础题. 15.由数
13、字 0，1 组成的一串数字代码，其中恰好有 7 个 1，3 个 0，则这样的不同数字代码共有_ 个. 【答案】120 【解析】 【分析】 10 个元素进行全排列共有 种结果，在这些结果中有 5 个 2，2 个 4，这样前面的全排列就出现了重复， 共重复了 次，得到不同的排列共有种结果 【详解】10 个元素进行全排列共有 种结果，在这些结果中有 5 个 2，2 个 4，这样前面的全排列就出现 了重复，共重复了 次，得到不同的排列共有种结果 故答案为 120. 【点睛】本题考查在排列组合中出现重复的元素的排列，这种问题，首先要进行正常排列，后面要除以重 复的次数，重复的次数是相同元素的一个全排列
14、16.已知函数的图像关于直线对称，当 时，的最大值为 _. 【答案】4 【解析】 【分析】 据题意知，函数的图像关于直线对称，则曲线也关于直线对称，可求出 ，再根据函数的单调性可求的最大值. 【详解】据题意知，函数的图像关于直线对称，则曲线也关于直线对称，所 以，.所以，.因为，所以.所以.又 与在区间上都为减函数，所以. 即答案为 4. 【点睛】本题考查函数单调性和对称性的综合应用，属中档题. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，题为必考题， 每个考试都必须作答。第每个考试都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17.如图，在中， 是边上的一点， . （1）求的长； （2）若，求的值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 （1）根据余弦定理直接求的长； （2）由（1）知， 所以在中，由正弦定理. 可得. 再判断是锐角， 可得得值. 【详解】 （1）由已知，得 又， 在中，由余弦定理， 得， 整理，得.解得. （2）由
