1、 陕西省汉中市陕西省汉中市 20192019 届高三第一次检测考试届高三第一次检测考试 理科数学理科数学 （考试时间：（考试时间：120120 分钟分钟 试卷满分：试卷满分：150150 分）分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.已知集合 ? |03Axx?，?|12Bxx?，则? R C AB ?（ ） A.? ? |13xx? B.? ? |13xx? C.? ? |32xx? D.? ? |3
2、2xx? 2.在区间?3,4?内随机取一个实数x，则满足22 x ?的概率为（ ） A. 2 7 B. 3 7 C. 4 7 D. 5 7 3.已知双曲线? 22 22 :10,0 xy Cab ab ?的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为（ ） A. 1 4 yx? ? B. 1 3 yx? ? C. 1 2 yx? ? D.yx? ? 4.命题p：复数 1 2i z i ? ?对应的点在第二象限，命题q： 0 0x?，使得 00 ln2xx?，则下列命题中为 真命题的是（ ） A.pq? B.?pq? ? C.?pq? D.? ?pq? ? 5.函数tan 42 yx ? ? ? ?
3、的部分图象如图所示，则向量OA与OB的数量积为（ ） A. 4 ? B.5 C.2 D.6 6.若, x y满足约束条件 22 20 22 xy y xy ? ? ? ? ? ? ? ，则 22 xy?的最大值为（ ） A.4 B.8 C.2 D.6 7.已知 ? 1 0 2 x aex dx? ? ， （其中e为自然对数的底数），函数? ? ln ,0 10 ,0 x x x f x x ? ? ? ? ? ，则? ? 1 lg 3 f af ? ? ? ? 等于（ ） A.4 B.3e? C. 4 3 D. 1 3 8.我国有一道古典数学名著两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，
4、大鼠日自倍，小鼠 日自半，问几何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直），大老鼠第一 天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚 16 尺，如图是源于该题思想的一个程序框图，则输出的n?（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 9.已知, l m表示两条不同的直线，,? ?表示两个不同的平面，l?，m? ? ?，则有下面四个命题：若 / /?，则lm?；若?，则/ /lm；若/ /lm，则?；若lm?，则/ /?.其中所有正 确的命题是（ ） A. B. C. D. 10.已知函数? ?sin23cos,f xxxR?，
5、则下列结论不正确的是（ ） A.最大值为 2 B.把函数2sin2yx?的图象向右平移 3 ? 个单位长度就得到? ?f x的图像 C.最小正周期为? D.单调递增区间是 5 k, 1212 k ? ? ? ? ? ? ，kZ? 11.在ABC?中，角, ,A B C的对边分别是, ,a b c，若角, ,A B C成等差数列，且直线4axcy?平分圆 22 2230xyxy? ?的周长，则ABC?面积的最大值为（ ） A.33? B.2 C.2 D.3 12.已知定义在R上的奇函数? ?f x满足?f xfx?，当0, 2 x ? ? ? ? 时，? ?f xx?，则函数 ? ? ? 1 g
6、 xf x x? ? ? 在区间 3 ,3 2 ? ? ? ? ? ? 上所有零点之和为（ ） A.? B.2? C.3? D.4? 二、填空题二、填空题：本题共：本题共 4 4 小题小题，每小题，每小题 5 5 分分，共，共 2020 分分. . 13.已知?1,2a ?，?2,bm? ?，若ab?，则实数m?_. 14.在ABC?中，若3AB ?，1AC ?，且 3 cos 23 A ?，则BC ?_. 15.? ? 4 3 1 12x x ? ? ? ? 展开式中的常数项为_.（用数字作答） 16.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为 22 8150xyx?，若直线2ykx?上至少存在
7、一点， 使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最大值是_. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. .第第 17211721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生依据要求作答题为选考题，考生依据要求作答. . 17.在ABC?中，角, ,A B C的对边分别是, ,a b c，且?3coscos2cosaCcAbA? ?. （1）求角A的大小； （2）已知公差为?0d d ?的等差数列? ? n a中，
8、1 sin1aA?，且 124 ,a a a成等比数列，记 1 4 n nn b a a ? ?， 求数列? ? n b的前n项和 n S. 18.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一 年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级 抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表一：男生 男 生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 x 5 表二：女生 女 生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 y （1）求x,y的值； （2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随
9、机抽取 3 人进行交谈，记其中抽取的女生人数为X，求随机变 量X的分布列及数学期望； （3）由表中统计数据填写22?列联表，并判断是否有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 45 参考公式： ? ? 2 2 n adbc K abcdacbd ? ? ? ，其中nabcd?. 参考数据： ? 2 0 P Kk? 0.01 0.05 0.01 0 k 2.706 3.841 6.635 19.如图，在四棱锥ABCDE?中，ABAC?，底面BCDE为直角梯形，90BCD?，,O F分别为 ,BC CD中点，且22ABACCDBE?，5AF ?. （1
10、）OA?平面BCDE； （2）若P为线段CD上一点，且/ /OP平面ADE，求 CP CD 的值； （3）求二面角ADEB?的大小. 20.已知椭圆? 22 22 10 xy ab ab ?的右焦点F与抛物线 2 8yx?的焦点重合，且椭圆的离心率为 6 3 ，过 x轴正半轴一点?,0m且斜率为 3 3 ?的直线l交椭圆于,A B两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由. 21.已知函数? ? 2 ln10f xxaxx a?. （1）若1x ?是函数? ?f x的一个极值点，求实数a的值； （2）讨论函数?
11、 ?f x的单调性. （3）若对于任意的?1,2a?，当 11 2 x ? ? ? ? 时，不等式? ?lnf xam?恒成立，求实数m的取值范围. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为： 22cos , 2sin, x y ? ? ? ? ? ? （?为参数），以平面直角坐标系的原 点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 2 C的极坐标方程为：cossin2?. （1）求曲线 1 C的
12、普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设 1 C和 2 C交点为,A B，求AOB?的面积. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数? ?21f xx?，? ? 2 1 2 m g xxm?. （1）若0m ?，解不等式? ? ?f xg x?； （2）若? ? ?20f xg x?对任意xR?恒成立，求实数m的取值范围. 陕西省汉中市陕西省汉中市 20192019 届高三上学期教学质量第一次检测考试届高三上学期教学质量第一次检测考试 数学（理）试题参考答案数学（理）试题参考答案 一、选择题一、选择题 1-5:CBCCD 6-10:BABAB 11、12：DD 二、填空题二、填空题 13
13、.1 14.2 3 15.24 16. 4 3 三、解答题三、解答题 17.解：（1）由正弦定理可得?3 sincossin cos2sincosACABA?， 从而可得?3sin2sincosA CBA?，即3sin2sincosBBA? 又B为三角形的内角，所以sin0B ?，于是 3 cos 2 A? 又A为三角形的内角，所以 6 A ? ?. （2）因为 1sin 1aA?， 124 ,a a a且成等比数列，所以 1 1 2 sin a A ?，且 2 214 aaa? 所以? 2 22 23dd?，且0d ?，解得2d ? 所以2 n an?，所以 ? 1 4111 11 n nn
14、 b a an nnn ? ? ? 所以 11111111 11 22334111 n n SL nnnn ? ? ? ? ? ? . 18.解：（1）设从高一年级男生中抽取m人，则 45 500500400 m ? ? 解得25m ?，则从女生中抽取 20 人 所以25 1555x ?，20 15 32y ? ?. （2） 表一、二中所有尚待改进的学生共 7 人，其中女生有 2 人，则X的所有可能的取值为 0,1,2. ? 3 5 3 7 102 0 357 C P X C ?，? 21 52 3 7 204 1 357 C C P X C ?， ? 12 52 3 7 51 2 357 C
15、 C P X C ?.则随机变量X的概率分布列为： X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 所以X数学期望为 36 2 77 ?. （3）22?列联表如下： 男生 女生 总计 优秀 15 15 30 非优秀 10 5 15 总计 25 20 45 ? 2 2 4515 5 15 10 30 15 25 20 K ? ? ? ? 22 45 1559 1.1252.706 30 15 25 208 ? ? ? ， 因为1 0.90.1?，? 2 2.7060.10P K ? 所以没有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 19.解：（1）证明：连结OF 2ABAC?，O为BC的中点
16、OABC?，且2 2BC ?，2OC ? 又90BCD?，F是CD中点，2CD ?， 22 = 3OFOCCF? 由已知5AF ?， 222 AFOAOF? OAOF?，且,BC OF是平面BCDE内两条相交直线 OA?平面BCDE. （2）连接BF，由已知底面BCDE为直角梯形，2CDBE?，/ /BECD 则四边形BFDE为平行四边形 所以/ /BFDE 因为/ /OP平面ADE，OP ? ?平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE?， 所以/ /OPDE 所以/ /OPBF 因为O为BC中点，所以P为CF中点 所以 1 2 CP CF ?，又因为点F为CD的中点. 所以 1 4 CP C
17、D ?. （3）取DE的中点M连结OM，由（1）知OAOM?，且OMOB?，/ / /OMCDBE， 如图，建立空间直角坐标系Oxyz?. 因为22ABACCDBE? 所以 ? 0,0, 2A， ? 2,2,0D ?， ? 2,1,0E ? 2,2,2AD ? ?， ? 2,1,2AE ? 由于OA?平面BCDE，所以平面BCDE的法向量?0,0,1n ? 设平面ADE的法向量?, ,mx y z?，则有 0 0 AD m AEm ? ? ? ? ? ? 即 2220 220 xyz xyz ? ? ? ? ? ? 令1x ?，则2 2y ?，3z ?，即 ? 1,2 2,3m ? 32 cos, 21 3 2 n m n m nm ? ? ? 由题知二面角ADEB?为锐二面角 所以二面角ADEB?的大小为 4 ? . 20.解：（1）抛物线 2 8yx?的焦点是?2,0 ?2,0F ，2c ?，又椭圆的离心率为 6 3 ，即 6 3 c a ? 6a ?， 2 6a ?，则 222 2bac? 故椭圆的方程为 22 1 62 xy ?. （2）由题意得直线l的方程为? 3 0 3 yxmm? ? 由 ? 22 1 62 3 3 xy yxm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
