1、 1 / 15 鄂南高中鄂南高中 黄冈中学黄冈中学 黄石二中黄石二中 荆州中学荆州中学 龙泉中学龙泉中学 武汉二中武汉二中 孝感高中孝感高中 襄阳四中襄阳四中 襄阳五中襄阳五中 宜昌一中宜昌一中 夷陵中学夷陵中学 20212021 届高三湖北十一校第一次联考届高三湖北十一校第一次联考 数数 学学 试试 题题 命题学校：命题学校： 命题人：命题人： 审题人：审题人： 考试时间：考试时间：2020 年年 12 月月 9 日下午日下午 15：0017：00 试卷满分：试卷满分：150 分分 一、单选题（共本大题共一、单选题（共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题
2、给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）符合题目要求的） 1设全集为R，集合|2 ,1 x Ay yx， 2 |1Bx yx，则 R AB （ ） A| 12xx B|01xx C D|02xx 2已知 42i 1 i z （i为虚数单位）的共轭复数为z，则（ ）z z（ ） A10 B9 C10 D3 3书籍 2021 1 loga e ， 2021 1 b e ， 1 2021ec ，（其中e为自然对数）则（ ） Acab Babc Cbac Dacb 4为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究当 地有一座山，高度为OT，同
3、学们先在地面选择一点A，在该点处测得这座山 在西偏北21.7方向， 且山顶T处的仰角为30； 然后从A处向正西方向走140 米后到达地面B处， 测得该山在西偏北81.7方向， 山顶T处的仰角为60 同 学们建立了如图模型，则山高OT为（ ） A20 7米 B25 7米 C20 21米 D25 21米 5设数列 n a的前n项和为 n S，且 n S n 是等差数列，若 35 3aa，则 5 9 S S （ ） A 9 5 B 5 9 C 5 3 D 27 5 6已知直线l，m，平面、，其中l，m在平面内，下面四个命题： 若P，则lm； 若，则lmP； 若lmP，则； 若lm，则P 2 / 15
4、 以上命题中，正确命题的序号是（ ） A B C D 7设0a ，0b，则“ 11 4 ab ”是“ 1 4 ab ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实 米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球2006 年 5 月 20 日， 蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录3D打印属于快速 成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐 层堆叠累积的方式来构造物体的技术（
5、即“积层造型法”）过去常在模具制造、工业设计等领域被 用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些 飞机零部件等） 已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D， 满足任意两点间的直线距离为2 6cm， 现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩余的部分， 打印所用原料密度为 3 1g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（参考 数据：取3.14，21.41，31.73，精确到0.1） A113.0g B267.9g C99.2g D13.8g 二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，每小题
6、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题列出的四个选项中，有多个选项是分在每小题列出的四个选项中，有多个选项是 符合题目要求的，全部选对得符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9我国5G技术研发试验在 2016-2018 年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系 统验证三个阶段实施2020 年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也 逐渐上升，某手机商城统计了近 5 个月来5G手机的实际销量，如下表所示： 月份 2020 年 6 月 2020 年 7 月 2020 年 8 月 2
7、020 年 9 月 2020 年 10 月 月份编号x 1 2 3 4 5 销量y/部 50 96 a 1 85 227 若y与x线相关，且求得线回归方程为455yx，则下列说法正确的是（ ） A142a By与x正相关 Cy与x的相关系数为负数 D 12 月份该手机商城的5G手机销量约为365部 10 已知F是椭圆 22 1 2516 xy 的右焦点，M为左焦点，P为椭圆上的动点， 且椭圆上至少有21个 不同的点1,2,3, i P i ， 1 FP， 2 FP， 3 FP，组成公差为d的等差数列，则（ ） AFPM的面积最大时， 24 tanFP 7 M 3 / 15 B 1 PF的最大值
8、为 8 Cd的值可以为 3 10 D椭圆上存在点P，使 FP 2 M 11在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数： 定义1 cos为角的正矢，记作sinver为角的余矢，记作covsiner，则下列命题中正确的 是（ ） A函数covsinsinyerxverx在 , 4 上是减函数 B若 covsin1 2 sin1 erx verx ，则 7 covsin2sin2 5 erxverx C函数 sin 2020covsin 2020 36 f xverxerx ，则 f x的最大值22 D sincovsin 2 verer 12已知函数 2x
9、exf xa（a为常数），则下列结论正确的有（ ） A若 f x有3个零点，则a的范围为 2 , 4 e B 2 e a 时，1x 是 f x的极值点 C 1 2 a 时， f x是零点 0 x，且 0 1 1 2 x D1a 时， 0f x 恒成立 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知单位向量a、b的夹角为120，kab与2ab垂直，则k _ 14设函数 2 2 25,0 0,0 25,0 xxx x xx f x x ，则满足 230f xfx的x的取值范围是 _（用区间表示） 15湖北省 2021 年的新高考按
10、照“3 1 2 ”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3 门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、 4 / 15 生物学4门中选考2门科目则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均 选择物理的概率为_ 16已知 1 F， 2 F分别为曲线 22 22 :1 xy C ab 的左、右焦点，C的离心率2e，过 2 F的直线与双曲 线C的右支交于A、B两点（其中A点在第一象限），设点M、N分别为 12 AFF、 12 BFF的 内心，则MN的范围是_（用只含有a的式子表示） 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共
11、6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（10）已知在ABC中，C为钝角， 3 sin 5 AB， 1 sin 5 AB （1）求证：tan2tanAB； （2）设6AB，求AB边上的高 18（12 分）已知等差数列 n a与下项等比数列 n b满足 11=3 ab，且 33 ba，20， 52 ab既是 等差数列，又是等比数列 （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）在（1） 1 1 1 n nn nn cb aa ， （2） nnn cab， （3） 11 23 n n nnn a c a ab 这三个条件
12、中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解 若_，求数列 n c的前n项和 n S 注：如果选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分 5 / 15 19（12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，90BAC，ABACa， 1 AAb，点 E，F分别在 1 BB， 1 CC，且 1 1 3 BEBB， 11 1 3 C FCC设 b a （1）当异面直线AE与 1 AF所成角的大小为 3 ，求的值 （2）当 3 2 时，求二面角 1 AEFA的大小 20（12 分）新冠肺炎是 2019 年 12 月 8 日左右出现不明原因肺炎，在 2020 年 2 月 11 日确诊为新 型冠状病毒肺炎新
13、型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019，COVID-19）是由严重急性呼吸系 统综合征冠状病毒 2（severe acute respiratory syndrome coronavirus 2 ，SARS-CoV-2）感染后引起的 一种急性呼吸道传染病现已将该病纳入中华人民共和国传染病防治法规定的乙类传染病，并 采取甲类传染病的预防、控制措施2020 年 5 月 15 日,习近平总书记主持召开中共中央政治局会议， 讨论国务院拟提请第十三届全国人民代表大会第三次会议审议的政府工作报告稿会议指出， 今年下一阶段，要毫不放松常态化疫情防控，着力做好经济社会发展各项工作
14、某企业积极响应政府号召，努力做好复工复产工作准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的 成本 f x与产量x的函数关系式为： 3 2 320100 3 x f xxxx 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 g x与 产量x的函数关系式如下表所示： 市场情形 概率 价格 g x与产量x函数关系式 好 0.4 164 3g xx 中 0.4 101 3g xx 差 0.2 703g xx 设 1 Q x， 2 Qx， 3 Qx分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量表示当产量为x时 而市场前景无法确定的利润 6 / 15 21（12 分） 已知直线2
15、yx与抛物线 2 2ypx相交于A，B两点， 满足OAOB 定点4,2C， 4,0D ，M是抛物线上一动点，设直线CM，DM与抛物线的另一个交点分别是E，F （1）求抛物线的方程； （2）求证：当M点在抛物线上变动时（只要点E、F存在且不重合），直线EF恒过一个定点； 并求出这个定点的坐标 22（12 分）已知函数 lnf xxax （1）讨论 f x的单调性； （2）若 1212 ,x xxx是 f x的两个零点 证明：（） 12 2 xx a ； （） 21 2 1 ea xx a 7 / 15 20212021 届高三湖北十一校第一次联考届高三湖北十一校第一次联考 数学答案数学答案 1
16、B 2 A 3 B 4 C 5 C 6 C 7 A 8 C 9 AB 10 ABC 11 BD 12 AC 1B 由题意知：|02Ayy，|1,1Bx xx， 所以 R | 11BBxx ，所以 R |01ABxx 2A 42 z1 3 1 i i i ，则1 3zi ， z1 31 310zii 3B 因为 1 01 3 ，所以0a，01b，1c，所以abc 4C 设山OT的高度为h，在RtAOT中，30TAO，3 tan30 h AOh ， 在RtBOT中，60TBO， 3 sin603 h BOh ， 在AOB中，81.721.760AOB， 由余弦定理得， 222 2cos60ABAO
17、BOAO BO ； 即 222 131 140323 332 hhhh ， 化简得 22 3 140 7 h ；又0h，所以解得 3 14020 21 7 h ； 即山OT的高度为20 21（米） 5C 依题意， n S n 是等差数列，则数列 n a为等差数列，则 53 95 555 3 993 Sa Sa 故选：C 6C 对于，若P，由l得到直线l，所以lm；故正确； 对于，若，直线l在内或者lP，则l与m的位置关系不确定； 对于，若lmP，则m，由面面垂直的性质定理可得；故正确； 对于，若lm，则与可能相交；故错误； 所以 C 选项是正确的 7A 由题意可知：4abab ，又2a bab
18、，所以42abab，可得 1 4 ab ；但 1 4 ab ， 当4a， 1 16 b 时， 11 4 ab 矛盾；故选 A 8C 正四面体外接球问题，所需要材料即为正四面体外接球体积与正四面体体积差。正四面体的 8 / 15 棱长为a，则正四面体的高为 6 3 a ，外接球半径为 6 4 a ，内切球半径为 6 12 a 所以3D打印的体 积 为 ： 3 233 46113662 34322381 2 Vaaaaa ， 又 3 4 86a ， 所 以 368 3113.04 13.8499.2V ，故选 C 9AB 由表中数据，计算得 1 123453 5 x ，所以45 35140y ，于
19、是得 5096185227700a，解得142a ，故 A 正确；由回归方程中的x的系数为正可知，y 与x正相关，且其相关系数0r ，故 B 正确，C 错误；12 月份时，7x，320y 部，故 D 错误 10ABC 由椭圆 22 1 2516 xy ，当点P为短轴顶点时，FPM最大，FPM的面积最大，此时 24 tan 7 FPM，此时角为锐角，故 A 正确、D 错误；椭圆上的动点P， 1 acPFac ， 即有 1 28PF，又椭圆上至少有21个不同的点1,2,3, i P i ， 1 FP， 2 FP， 3 FP，组成 公差为d的等差数列， 所以 1 FP最大值 8， B 正确； 设 1
20、 FP， 2 FP， 3 FP， 组成的等差数列为 n a， 公差0d ，则 1 2a ，8 n a ，又 1 1 n aa d n ，所以 663 121 110n d ，所以 3 0 10 d， 所以d的最大值是 3 10 ，故 C 正确。 11BD covsinsincossin2cos 4 yerxverxxxx ，在 3 , 44 单调递减，所以 A错 误 ； 因 为 covsin1 tan2 sin1 erx x verx ， 则c o vs i n 2s i n 2c o s 2s i n 2e rxv e rxxx 22 22 cossin2sin cos cossin xxx
21、x xx ，即 2 2 1tan2 tan7 1tan5 xx x ，所以 B 正确；对C： f x sin 2020 3 verx covsin 20202cos 2020sin 2020 636 erxxx 2 2sin 2020 6 x ，所以则 f x的最大值 4 sin1 cos1 sincovsin 22 verer ，故 D 正确。 12AC 若 2x exf xa有3个零解，即ya与 2 x e g x x 有三个交点，若 2 x e g x x ，则 9 / 15 2 44 22 x xx xexe xex x x g x 则 g x在,0上单调递增，在区间内的值域为0,，
22、g x在0,2上单调递减，在2,上单调递增，在此区间内的值域为 2 , 4 e 故ya与 2 x e g x x 有三个交点，则 2 4 e a ，故 A 正确 若 2 e a ，则 2 2 x exf e x ， x fxeex， x fxee，则 fx在,1上单调递 减，在1,上单调递增，则 max 10fxf，故 f x在R上单调递减，故 B 错误 若 1 2 a ， 则 2 1 2 x efxx ， 此 时 f x仅 有1个 零 点 0 x， 且 0 0 x ， 又 2 1 12 110 22 e fe e ， 2 1 2 1118 0 2228 e fe e ，则 0 1 1 2 x
23、 ， 故 C 正确 若1a ，则 2x f xex，当1x时， 2 1 1 110 e fe e ，故 D 错误 13 4 5 由题意 1 2 a b ，又kab与2ab垂直，所以 20kabab，所以 4 5 k 141, f x为奇函数且为增函数， 230f xfx 即为 3 2f xfx；所以3 2xx ，所以1x 15 2 5 分类：（1）物理（历史）大类中有两门相同的方法： 12 43 24CA，共 48 种； （2） 物理和历史两大类间有两门相同的方法： 22 42 12CA； 所以在6门选考科目恰有两门科目共60 种；所以均选择物理的概率为 242 605 16 4 3 2 ,
24、3 a a 由曲线的性质可得： 12 AFF、 12 BFF的内心M、N在直线xa上，设C 的右顶点为E，直线AB的倾斜角为，则 32 ，且MNMENE，在 2 RtMF E中， 2 2 NF E ，tan 2 NEca ， 则 tantan 222 MNMENEca 10 / 15 cossin 21 22 sin32 sincossincos 2222 ca caca 又2e，即2ca，故 4 3 2 3 a aMN 17（1）证明： 3 sin 5 AB， 3 sincoscossin 5 ABAB， 又sincoscossinABAB 1 5 2 sincos 5 AB， 1 coss
25、in 5 AB tan2tanAB 5 分 （2）解：解：由（1）知 4 cos 5 AB， 3 tan 4 AB 即： tantan3 1tantan4 AB AB ，将tan2tanAB代入上式并整理得： 2 2tan4tan10BB 又因为B为锐角，tan0B，所以解得 62 tan 2 B ，tan2tan62AB 7 分 设AB上的高为CD，则 2 3 6 tantan62 CDCDCD ABADDB AB ， 得 262CD ， 故AB边上的高为 262 10 分 18（）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为0q q ， 由题得 3352 20baab，即 2 2
26、0332 20343 qd dq 解得2d ，3q ，所以，21 n an，3n n b ； 6 分 （）（1）， 11 11111 133 21 232 nnn nn nnnn cb aannaa 则 1 2 12 12231 111111111 333 222 n nn nn Sccc aaaaaa 11 / 15 11 3 133 13 1111 11 21 32 3234 nn n aan 故 331 254 n n n S n 12 分 （2），21 3n nnn ca bn； 2 12 3 3 5 321 3n nn Scccn ， 231 33 35 321 3n n Sn ，
27、由-，得 2231 232 32 32 321 3 nn n Sn ， 即 1 3n n Sn 12 分 （3） 11 1111 232 241111 2123 321 323 3 n n nnn nnnnnnn an c a abnnnna bab 则 12 1 122223 3111 111 11111111 nn nnnnnn Sccc aba ba ba ba bababab 故 1 11 923 3 n n S n 12 分 19解：解：因为直三棱柱 111 ABCABC，所以 1 AA 平面ABC，因为,AB AC 平面ABC， 所以 1 AAAB， 1 AAAC，又因为90BAC
28、， 所以建立分别以AB，AC， 1 AA为x，y，z轴的空间直角坐标系 Axyz （1）设1a ，则1ABAC， 1 AA，各点的坐标为0,0,0A， 1,0, 3 E ， 1 0,0,A， 2 0,1, 3 F 1,0, 3 AE ， 1 0,1, 3 AF 2 分 因为 2 1 1 9 AEAF ， 2 1 9 AE AF ， 又异面直线AE与 1 AF所成角的大小为 3 ， 12 / 15 所以 2 12 1 9 , 2 1 9 COS AE AF 所以3 6 分 （2）因为,0, 3 b E a ， 2 0, , 3 b Fa ,0, 3 b AEa ， 2 0, , 3 b AFa
29、设平面AEF的法向量为 1 , ,nx y z，则 1 0n AE，且 1 0n AF 即0 3 bz ax，且 2 0 3 bz ay 令1z ，则 3 b x a ， 2 3 b y a 又 3 2 b a ， 所以 1 21 ,1, 1,1 332 bb n aa 是平面AEF的一个法向量 同理， 2 21 ,11,1 332 bb n aa 是平面 1 AEF的一个法向量 10 分 所以 12 0n n，所以平面AEF 平面 1 AEF， 当 3 2 时，二面角 1 AEFA的大小为 2 12 分 20解：解：（1）根据所给的表格中的数据和题意写出 3 1 1 4 41 00 3 x
30、Qxgxxfxxx 2 分 同理可得： 3 2 81100 3 x Qxg xxf xxx 4 分 3 3 5 01 00 3 x Qxgxxfxxx 6 分 （2）由期望定义可知 3 123 0.40.40.2100100 3 x EQ xQxQxxx 8 分 （3）可知E是产量x的函数，设 3 100100 3 x h xxx 则 2 1000h xxx， 10 分 令 0h x，则10 x 由题意及问题的实际意义可知，当10 x 时， h x取得最大值，即E最大时的产量为 13 / 15 10 12 分 21（1）将2yx代入 2 2ypx，得 2 22xpx 化简得： 2 4240 x
31、p x 所以 12 4x x ， 12 42xxp； 2 分 因此： 12121 212 22244y yxxx xxxp 又OAOB，所以 1212 0 x xy y；得1p ， 抛物线的方程 2 2yx 5 分 （2）证明：设M、E、F坐标分别是 2 0 0 , 2 y y ， 2 1 1 , 2 y y ， 2 2 2 , 2 y y ，由C、M、E 共线，得 0101 28y yyy，所以 0 1 0 28 2 y y y 同理：由D、M、F共线，得 2 0 8 y y 8 分 所以直线EF的方程为： 1212 2y yy yyx 10 分 将 0 1 0 28 2 y y y ， 2
32、 0 8 y y 代入直线EF方程得 2 0 224 48 280 xy yxy，所以 0 40 280 xy x y ，方程组有解4xy，所以直线EF恒过定点4,4 12 分 22解：解：（1） f x定义域0,， 11 ax fxa xx 则当0a时 f x在0,为增函数； 2 分 当0a时 f x在 1 0, a 为增函数，在 1 , a 为减函数 4 分 （2）证明： （）原不等式等价于 12 1 2 xx a ，因为 11 lnaxx 22 lnaxx由-得， 2121 lnlna xxxx则 21 21 lnlnxx a xx ， 则 12 1 2 xx a 等价于 1221 21
33、 2lnln xxxx xx 14 / 15 因为 21 0 xx所以 21 lnln0 xx即证 21 21 12 2 lnln xx xx xx 等价于 2 1 2 2 1 1 21 ln0 1 x xx x x x 设 2 1 x t x ，1t 设 21 ln 1 t g tt t ，1t 等价于 0g t ， 2 22 112 0 11 t g t t tt t g t在1,上为增函 2 1 2 2 1 1 21 ln0 1 x xx x x x 10g tg，即 12 1 2 xx a 8 分 （）设 ln x h x x ，则 2 1 ln x h x x 所以 h x在0,e上递增，在, e 上递减 因为 ah x有两个不相等的实根，则 1 0a e 且 12 1xex 易知ln1xx对0,11,x恒成立，则 1 ln1x x 对0,1x恒成立 1 11 1 1ln1ln1 xe axx ex ，因为 1 0 x ，所以 2 11 20axxe 又因为0a，4 40ae ，所以 1 11 ea x aa 或 1 11 ea x aa 因为 1 0 xe且 1 0a e ，所以 1 11 ea x aa 因为 12 1 2 xx a ，所以 12 1 111 2 xxea x aaa 即 21 2 1 ea xx a 12 分 15 / 15
