1、1 一诊模拟考试一诊模拟考试 数学试卷数学试卷简答简答（文文科）科） 一、一、 选择题：选择题： CDBBB BADCD BB 二、填空题：二、填空题： 13. 8,0z 14. 1 2 . 15. 12e 16. 2 2 1 1, ee ee . 三、解答题：三、解答题： 17.（本小题满分 12 分） 【解析】 （）ABC中，角 ,AB C， ，的对边分别是 , , ,a b c(2)sin(2)sin2 sinabAbaBcC. 由已知，得(2 )(2)2 222 abc abbac RRR ，即 222 abcab ， 222 1 cos 22 abc C ab ，由0C， 2 3 C
2、 6 分 （）3c ， 3 sinsin3 2 ab AB ， 2sinaA ，2sinbB.设ABC的周长为l，则 labc 2sin2sin3AB 2sin2sin3 3 AA 2sin2sincos2cossin3 33 AAA sin3cos3AA 2sin3 3 A 0 3 A ，2 32sin3 3 A 23 ，故ABC周长的最大值为2 3 12 分 18.（本小题满分 12 分） 【解析】 （）设PD的中点为E，连接,AE CE GF. / /,2ABCD ABDCQ2 3,ACBDFI 2 AFAB FCCD 2 又GQ为的重心G 2 AG GE GFCEP 又,GFPDC C
3、EPDC面面Q 平面6 分 （）由（）知平面，则 G PCDF PCDP CDF VVV 113 3 1 222 CDF DF S FB Q 133 3 322 P CDF V 12 分 19.（本小题满分 12 分） 【解析】 （）由表格中的数据，182.479.2，所以 77 22 11 182.479.2 ii ii yyyy ， 所以 77 22 11 182.479.2 11 ii tt yyyy 可见模型的相关指数 2 1 R小于模型的相关指数 2 2 R 所以回归模型的拟合效果更好 所以当17x 亿元时，科技升级直接收益的预测值为 21.317 14.421.3 4.1 14.4
4、72.93y （亿元） 6 分 （）当17x 时，由已知可得 2122232425 23 5 x ， 68.56867.56666 67.2 5 y 所以 0.767.20.72383.3ayx 所以当17x 时，y 与 x 满足的线性回归方程为 0.783.3yx 当20 x=时，科技升级直接收益的预测值为 0.72083.369.3y 亿元 当20 x=亿元时，实际收益的预测值为69.3 574.3 亿元72.93亿元， 所以技术升级投入 20 亿元时，公司的实际收益更大12 分 20.（本小题满分 12 分） 【解析】 （）依题意可得： 2 2 222 1 2 2111 22 b cx
5、abcCy a abc ，椭圆 ：4 分 （）圆 M 过 A 的切线方程可设为 l： 1ykx ，代入椭圆 C 的方程得： 2 2 2 4 212 12 k xkxx k ， 可得 2 11 22 11 41 2 1212 kk B kk ，；同理可得 2 22 22 22 41 2 1212 kk D kk ， 6 分 由圆 M 与 l 相切得： 222 2 1 1210 1 k rrkkr k PAD /GFPDC /GFPDC 3 由韦达定理得： 1212 2 2 1 1 kkk k r ，8 分 所以直线 BD 的斜率 22 21 2222 212112 12 2 21 212112
6、22 21 1212 1212442 44 4211 1212 kk yykkkk kkk kk xxkkk kr kk 9 分 直线 BD 的方程为： 2 11 222 21 1 242 12112 kk yx krk 化简为： 22 111 2222 111 141 222 3 11 21 21 kkk yxx rkkkr ，即 2 2 3 1 yx r 11 分 所以，当(02 1)rr变化时，直线 BD 总过定点03R，12 分 21 （本小题满分 12 分） 【解析】 （） esin x fxx，令 esin x g xx，0 x，则 ecos x g xx. 当0,x时， g x为
7、增函数， 00g xg； 当,x时， e10g x . 故0 x时， 0g x， g x为增函数，故 min 01g xg，即 fx的最小值为 1. 5 分 （）令 ecos2 x h xxax ， esin x h xxa，则本题即证当 2 x 时， 0 x h x恒成 立. 当1a 时，由（1）可知 esin x h xxa在0,上为增函数，且 010ha ， 1 110 a haea ，故存在唯一 2 0,x ，使得 2 0h x. 则当 2 0,xx时， 0h x， h x为减函数，所以 00h xh，此时 0 x h x，与 0 x h x恒成立矛盾. 7 分 当1a 时， （i）若
8、0 x，则由（1）可知， 10h xa ，所以 h x为增函数，故 00h xh恒成立，即 0 x h x恒成立；8 分 （ii）若 ,0 2 x ，则 ecos x hxx， esin x hxx在 ,0 2 上为增函数，又 01 h ， 2 e10 2 h ，故存在唯一 0 ,0 2 x ，使得 0 0hx. 当 0 , 2 xx 时， 0hx， h x 为减函数； 0,0 xx时， 0hx， h x为增函数. 又 2 e0 2 h ， 00 h ，故存在唯一 1 ,0 2 x 使得 1 0hx. 故 1 , 2 xx 时， 1 0hx， hx为增函数； 1,0 xx时， 1 0hx， h
9、x为减函数. 又 2 e10 2 ha ， 010ha ， 4 所以 ,0 2 x 时， 0h x， h x为增函数，故 00h xh，即 0 x h x恒成立11 分 综上所述，1a .12 分 22 （本小题满分 10 分） 【解析】 （）曲线C的参数方程为 1 xcos ysin （为参数） ， 所以消去参数得曲线C的普通方程为 22 20 xyy， 因为cosx， siny ， 代入曲线C可得C的极坐标方程： 2sin. 将直线 3 ， 5 6 代入圆的极坐标方程可知: 1 3， 2 1， 故A、B两点的极坐标为3, 3 A ， 5 1, 6 B .5 分 （）由 cosx ， sin
10、y 得： 3 3 , 22 A ， 3 1 , 22 B ，根据两点式可知直线AB的方程为： ， 所以的极坐标方程为： 3 1 3 yx . 所以AB的极坐标方程为 3 sin 62 . 可知直线AB恰好经过圆的圆心，故ABO为直角三角形，且3OA ，1OB ， 故 13 3 22 ABO S .10 分 23 （本小题满分 10 分） 【解析】 （）由题意知，原不等式等价于 1 2251 x xx 或 11 2251 x xx 或 1 2251 x xx ， 解得8x或或2x， 综上所述，不等式 1f xx的解集为 , 82, .5 分 （）当1m时，则 2251g xxx 315x ， 此时 g x的图象与x轴围成一个三角形，满足题意： 当1m时， 225g xxxm 37,1 3, 1 33, xmx xmxm xmxm ， 则函数 g x在, 1 上单调递减，在1, 上单调递增. 要使函数 g x的图象与x轴围成一个三角形， 则 140 230 gm g mm ，解得 3 4 2 m； 5 综上所述，实数m的取值范围为 3 ,41 2 .10 分
