1、 专题 01 三角形 1三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 2三角形的分类 （1）三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 （2）三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形 3三角形三边的关系（重点） （1）三角形的任意两边之和大于第三边 三角形的任意两边之差小于第三边 （这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是 a，b，c，则 a+bc 或 c-ba （2）已知三角形两边的长度分别为 a，b，求第三边长度的范围：|a-b|ca 时，就可构成三角形 5三角形的主要线段 从三角形的一个顶点向它的对边
2、所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线 连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线 注意：注意： （1）三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线； （2）任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高； （3）任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部但三角形的高却有不同的位置：锐角 三角形的三条高都在三角形的内部； 直角三角形有一条高在三角形的内部， 另两条高恰好是它两条直角边； 钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部 （4）一个三角形中
3、，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点 （三角形 的三条高（或三条高所在的直线）交于一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点 是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部 ） （5）三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”三角形三条角平分线的交于一点，这一 点叫做“三角形的内心”三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”三角形的中线可 以将三角形分为面积相等的两个小三角形 6三角形的稳定性 （1）三角形具有稳定性 （2）四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具
4、有稳定性了 7三角形的内角和定理 三角形的内角和为 180 ，与三角形的形状无关 8直角三角形两个锐角的关系 直角三角形的两个锐角互余（相加为 90 ） 有两个角互余的三角形是直角三角形一个三角形中至多有一 个直角或一个钝角；一个三角形中至少有两个内角是锐角 9三角形的外角 （1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内 角 （3）三角形的外角和等于 360 10多边形 （1）在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内 角多边形的边与它邻边的
5、延长线组成的角叫做外角连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的 对角线 （2）一个 n 边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n-3）条，其所有的对角线条数为 2 )3( nn （3）画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其他边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就 是凸多边形 （4）各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形 （两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形 的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立） 11多边形的内角和 （1）n 边形的内角和定理 n 边形的内角和为（n2） 180 （2）n 边形的外角和定理 多边形的外角和等于 360 ，与多边形的形状和边数无关 考
6、点一、三角形三边关系考点一、三角形三边关系 例例 1 1（2020 徐州）若一个三角形的两边长分别为 3cm、6cm 则它的第三边的长可能是（ ） A2cm B3cm C6cm D9 cm 【答案】【答案】C 【解析】【解析】设第三边的长为 xcm，根据三角形的三边关系可得：6-3x6+3， 解得：3x9， 故选：C. 【名师点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较本题 属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，掌握第三边的范围即可得解 考点二考点二、三角形的主要线段、三角形的主要线段 例例 2 （2020 武汉模拟）如图，在ABC 中
7、有四条线段 DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是ABC 的中 线，则该线段是（ ） A线段 DE B线段 BE C线段 EF D线段 FG 【答案】B 【解析】根据三角形中线的定义知线段 BE 是ABC 的中线， 故选：B 【名师点睛】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫 做三角形的中线 考点三考点三、三角形内角和、三角形内角和 例例 3 （2020 锦州） 如图， 在ABC 中， A=30， B=50， CD 平分ACB， 则ADC 的度数是 （ ） A. 80 B.90 C.100 D.110 【答案】C 【解析】A=30，B=50， ACB
8、=180-30-50=100（三角形内角和定义） CD 平分ACB， BCD= 1 2 ACB= 1 2 100=50. ADC=BCD+B=50+50=100. 故选：C. 【名师点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的 内角和定理是解题的关键. 考点四考点四、多边形内角和、多边形内角和 例例 4 （2020 北京）正五边形的外角和为（ ） A180 B360 C540 D720 【答案】B 【解析】任意多边形的外角和都是 360 ，故正五边形的外角和为 360 故答案为：360 考点五、三角形的外角考点五、三角形的外角 例例 5 （2020 湘
9、潭）如图，ACD 是ABC 的外角，若ACD=110，B=50，则A=（ ） A40 B50 C55 D60 【答案】D 【解析】ACD 是ABC 的外角， ACD=B+A， A= ACD-B， ACD=110，B=50， A=60， 故选：D 【名师点睛】本题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键 考点六、三角形的稳定性考点六、三角形的稳定性 例例 6 （2020 黄冈一模）下列图形具有稳定性的是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】三角形具有稳定性故选 A 【名师点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键 考点七考点七、多边
10、形的边角关系、多边形的边角关系 例例 7 （2020 扬州）如图，小明从 A 出发沿直线前进 10 米到达点 B，向左转 45 后又沿直线前进 10 米到达 点 C，再向左转 45 后沿直线前进 10 米到达点 D照这样走下去，小明第一次回到出发点 A 时所走的路程 为（ ） A100 米 B80 米 C60 米 D40 米 【答案】A 【解析】小明每次都是沿直线前进 10 米后向左转 45 度， 他走过的图形是正多边形， 边数 n=36045=8， 他第一次回到出发点 A 时，一共走了 810=80（m）. 故选：B. 【名师点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为 360；根
11、据题意判断出小明走过的图 形是正多边形是解题的关键. 一、选择题一、选择题 1.（2020 绍兴）长度分别为 2，3，3，4 的四根细木棒首尾相连，围城一个三角形（木棒允许连接，但不许 折断） ，得到的三角形的最长边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】长度分别为 2，3，3，4，能构成三角形，且最长边为 5； 长度分别为 2，6，4，不能构成三角形； 长度分别为 2，7，3，不能构成三角形； 长度分别为 6，3，3，不能构成三角形； 综上所述，得到三角形的最长边长为 5. 故选：B. 2.（2020 大连）如图，AC 中，A=60，B=40，DEBC，则AE
12、D 的度数是（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D.80 【答案】D 【解析】C=180-A-B，A=60，B=40， C80， DEBC， AED=C=80. 故选：D. 3在下列条件中：A+B=C；ABC=123；A=90 -B；A=B= 1 2 C， 能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】D 【解析】 根据直角三角形的定义， 只要有一个角为 90 的三角形为直角三角形， 以及三角形的内角和为 180 ， 都有一个角为 90 ，故选 D 4（2020 上海模拟）联欢会上，A、B、C 三名选手站在一个三角形三个顶点上玩抢凳子游戏，在
13、他们中间 放个木凳，谁先抢到凳子就获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当位置是ABC 的（ ） A三边中线的交点 B三边中垂线的交点 C三条角平分线的交点 D三边上高的交点 【答案】C 【解析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等可知，要放在三边中垂线的交点上三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等， 凳子应放在ABC 的三条垂直平分线的交点最适当故选 C 5 （2020 吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则a 的大小为（ ） A.85 B.75 C.65 D.60 【答案】B 【解析】如图所示， BCD=65， BCA=4
14、5， ACD=BCD-BCA=60-45=15 a=180-D-ACD=180-90-15=75. 故选：B. 6 （2020 无锡）正十边形的每一个外角的度数为（ ） A36 B30 C144 D150 【答案】A 【解析】正十边形的每一个外角都相等， 因此每一个外角：36010=36， 故选：A 7.（2020 赤壁一模）如图，点 D 在 BC 的延长线上，DEAB 于点 E，交 AC 于点 F若A35，D 15，则ACB 的度数为（ ） A65 B70 C75 D85 【答案】B 【解析】DEAB，A35 AFECFD55， ACBD+CFD15+5570 故选：B 8如图，在ABC中
15、BC 边上的高是（ ） ACE BCF CAD DAC 【答案】C 【解析】ADBC，在ABC 中，BC 边上的高为线段 AD故选 C 9. （2020 黄冈）已知一个正多边形的一个外角为 36，则这个正多边形的边数是（ ） A7 B8 C9 D10 【答案】D 【解析】36036=10，所以这个正多边形的边数是正十边形， 故选：D 10如图，在ABC 中，D，E 分别为 BC 上两点，且 BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（ ） A4 对 B5 对 C6 对 D7 对 【答案】A 【解析】由于三角形的面积 S= 1 2 底高，当高相等时只要底相等，面积就相等，因为 BD=DE=EC，
16、所以 BE=CD，所以 SABD=SADE，SABD=SAEC，SADE=SAEC，SABE=SADC，共 4 对，故选 A 二、填空题二、填空题 11. （2020 济宁）已知三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个三角形的第三边长可以是 （写出一个即 可） 【答案】4 【解析】根据三角形的三边关系，得 第三边应大于 6-3=3，而小于 6+3=9， 故第三边的长度 3xAC，AM 是 BC 边的中线求证：AM 1 2 （AB-AC） 【答案】详解见解析 【解析】延长 AM 到 D，使 MD=AM，连接 BD 在CMA 和BMD 中，AM=DM，AMC=DMB，CM=BM， CMABMD，
17、BD=AC 在ABD 中，AB-BDAD，而 AD=2AM， AB-AC 1 2 （AB-AC） 23. （2020 宜昌一模）如图，某校有一块三角形空地，要在上面栽种四种不同的花草，需将该空地分成面 积相等的四块.请你设计几种不同的划分方案. 【答案】详解见解析 【解析】利用三角形的中线分三角形为面积相等的两部分，作出ABC 的中线后，再作新三角形的中线，可 得到多种设计方案. 如图所示： 24.（1）如图（1） ，在ABC 中，CB，ADBC 于点 D，AE 平分BAC，你能找出EAD 与B、 C 之间的数量关系吗？并说明理由 （2）如图（2） ，AE 平分BAC，F 为 AE 上一点，F
18、MBC 于点 M，这时EFM 与B、C 之间又有何 数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明 【答案】详解见解析 【解析】 （1）AE 平分BAC， EAC= 2 1 BAC= 2 1 （180 BC） ， 又ADBC， DAC=90 C， EAD=EACDAC= 2 1 （180 BC）（90 C）= 2 1 （CB） ， 即EAD= 2 1 （CB） （2）如图，过点 A 作 ADBC 于 D， FMBC， ADFM， EFM=EAD= 2 1 （CB） 25. （2020 山西模拟）如图，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为 R 的扇形草坪(图中阴 影部分) （1）图中草
19、坪的面积为_； （2）图中草坪的面积为_； （3）图中草坪的面积为_； （4）如果多边形的边数为 n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_ 【答案】详解见解析 【解析】 （1）三个角的和是：180 ，则面积是： 360 180 2 R =1 2R 2； （2）四个内角的和是：360 ，则面积是： 360 360 2 R =R2； （3）五个内角的和是：540 ，则面积是： 360 540 2 R =3 2R 2； （4）多边形边数为 n，则内角和是： （n-2）180，则面积是： 360 180)2( 2 Rn =n2 2 R2. 26 （2020 恩施模拟）在 RtABC 中，C=90
20、，点 D、E 分别是ABC 边 AC、BC 上的点，点 P 是一动 点令PDA=1，PEB=2，DPE= （1）若点 P 在线段 AB 上，如图（1）所示，且=50，则1+2= ； （2）若点 P 在边 AB 上运动，如图（2）所示，则、1、2 之间的关系为： ； （3）若点 P 运动到边 AB 的延长线上，如图（3）所示，则、1、2 之间有何关系？猜想并说明理由 （4）若点 P 运动到ABC 形外，如图（4）所示，则、1、2 之间的关系为： 【答案】详解见解析 【解析】 （1）1+2+CDP+CEP=360 ，C+CDP+CEP=360 ， 1+2=C+， C=90 ，=50， 1+2=140 ； 故答案为：140 ； （2）由（1）得出： +C=1+2， 1+2=90 + 故答案为：1+2=90 +； （3）1=90 +2+， 理由：2+=DME，DME+C=1， 1=C+2+=90+2+ （4）PFD=EFC， 180 PFD=180 EFC， +180 1=C+180 2， 2=90 +1 故答案为：2=90 +1
