1、第 1 页，共 24 页 全国全国八省八省 2021 届届高三大联考金牌测试卷高三大联考金牌测试卷 数学试题数学试题 注意事项： 1.本试卷共 6页，包含单项选择题（第 1 题第 8题，共 40 分） 、多项选择题（第 9题 第 12 题，共 20分） 、填空题（第 13 题第 16题，共 20 分）和解答题（第 17 题第 22 题，共 70 分）四部分.本卷满分 150分，考试时间 120 分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答 题卡、试卷和草稿纸的指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
2、号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用 0.5 毫米黑色墨 水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效. 4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 5.如需作图，须用 2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、单项选择题：一、单项选择题： （本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题意要求的个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1. 已知集合 = *1,2，3，4+， = *2,4，6，8+，则 中元素的个数为( ) A. 1 B.
3、 2 C. 3 D. 4 2. 命题 p： 0，2 + 3 0，则为( ) A. 0，2 + 3 0 B. 0，2 + 3 0 C. 0，2 + 3 0 D. 2，则 + 1 :2的最小值为( ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 0 6. 若直线1：( 2) 1 = 0，与直线2：3 = 0互相平行，则 m的值等 于( ) A. 0 或1或 3 B. 0 或 3 C. 0 或1 D. 1或 3 7. 函数() = 1 2 ( 2 2 3)的单调递减区间是( ) A. (,1) B. (,1) C. (3,+) D. (1,+) 8. 若()是定义在 R 上的偶函数，在(,0-上是减函数
4、，且(2) = 0，则使得 (log2) 0， + = 2，则2+ 2的最大值为 4 B. 若 0， + + = 3，则 xy 的最小值为 1 D. 函数 = 2:6 2:2的最小值为 4 三、填空题：三、填空题： （本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分） 13. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个 球的体积为_ 14. 如果1， 2分别是双曲线 2 16 2 9 = 1的左、 右焦点， AB是双曲线左支上过点1的弦， 且| = 6，则 2的周长是_ 15. 在等比数列*+中，1 5= 15 2 ，4= 5，则4= _
5、 16. 如图， AB的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且满足( + )cos = (2 cos cos)， = ，设 = (0 0 且 1)图象的一部分根据专家研究，当注意力指数 p大于等于 80时听课效果 最佳 (1)试求 = ()的函数关系式； (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由 第 5 页，共 24 页 20. 如图，点 P是菱形 ABCD所在平面外一点， = 60， 是等边三角形， = 2， = 22，M 是 PC 的中点 ()求证：/平面 BDM； ()求证：平面 平面 BDM； ()求直线 BC 与平面 BDM 的所成角的大小 21
6、. 已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1( 0)的左、右焦点分 别为1、2，离心率为1 2，直线 = 1与 C 的两个交点 间的距离为46 3 ()求椭圆 C的方程； ()分别过1、 2作1、 2满足1/2， 设1、 2与 C 的上半部分分别交于 A、 B 两点， 求四边形21面积的最大值 第 6 页，共 24 页 22. 已知函数() = ( 1)， (1)当 1时，求函数()的单调区间和极值； (2)若对于任意 ,2-，都有() 4成立，求实数 k的取值范围； (3)若1 2，且(1) = (2)，证明：1 2 0，则为( ) A. 0，2 + 3 0 B. 0，2 + 3 0 C. 0
7、，2 + 3 0 D. 0”的否定是 0，2 + 3 0故选：B 设向量 = (3,2)， = (0,6)，则| |等于( ) A. 26 B. 5 C. 26 D. 6 【答案】B 【分析】本题考查向量的模的求法，是基础题 利用平面向量坐标运算法则求出 ，由此能求出| |. 【解答】解：向量 = (3,2)， = (0,6)， = + = (3,4)， | | = 32+ 42= 5故选 B九章算术是我国古代 内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺， 问积几何？”其意思为： “今有底面为矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥， 它的底面长， 宽分别为 7 尺和
8、5 尺，高为 8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱 锥的外接球的表面积为( ) A. 128平方尺 B. 138平方尺 C. 140平方尺 D. 142平方尺 【答案】B 【分析】本题考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力，化归与转化思 想，是基础题 构造一个长方体，其长、宽、高分别为 7 尺、5尺、8 尺，则这个这个四棱锥的外接球 就是这个长方体的外接球，由此能求出这个四棱锥的外接球的表面积 【解答】今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为 7 尺 和 5尺，高为 8尺， 构造一个长方体，其长、宽、高分别为 7 尺、5尺、8 尺， 则这个四棱
9、锥的外接球就是这个长方体的外接球， 这个四棱锥的外接球的半径 = 72:52:82 2 = 138 2 (尺)， 这个四棱锥的外接球的表面积为 = 4 2= 4 138 4 = 138(平方尺)故选：B 第 9 页，共 24 页 24. 已知 2，则 + 1 :2的最小值为( ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 0 【答案】D 【分析】 本题考查了利用基本不等式求最值， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 变形利用基本不等式即可得出 【解答】 2， + 2 0， + 1 :2 = + 2 + 1 :2 2 2( + 2) 1 :2 2 = 0， 当且仅当 + 2 = 1 :2，即
10、= 1时取等号， + 1 :2的最小值为 0故选 D 若直线1： ( 2) 1 = 0，与直线2： 3 = 0互相平行， 则 m的值等于( ) A. 0 或1或 3 B. 0 或 3 C. 0 或1 D. 1或 3 【答案】D 【分析】本题考查了两条直线相互平行的条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算 能力，属于基础题 对 m 分类讨论，利用两条直线相互平行的条件即可得出 【解答】 = 0时，两条直线方程分别化为：2 1 = 0， = 0，此时两条直线 不平行，不符合题意； 故 0，由于1/2，则;2 3 = ;1 ;，解得 = 1或 3， 当 = 1时，1:3 + + 1 = 0，2:3
11、+ = 0，不重合，符合题意； 当 = 3时，1: 1 = 0，2: = 0，不重合，符合题意 综上可得： = 1或 3故选 D 函数() = 1 2 ( 2 2 3)的单调递减区间是( ) A. (,1) B. (,1) C. (3,+) D. (1,+) 【答案】C 【分析】本题考查复合函数的单调性以及单调区间的求法，属于中档题 先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数()的单调递减区间 【解答】 第 10 页，共 24 页 解：要使函数有意义，则2 2 3 0，解得 3， 设 = 2 2 3 = ( 1)2 4， 当 3时 = 2 2 3单调递增， 因为函数在定义域上为减函数
12、， 所以由复合函数的单调性可知，此函数的单调递减区间是(3,+)故选 C 若()是定义在 R 上的偶函数， 在(,0-上是减函数， 且(2) = 0， 则使得(log2) 0 的 x的取值范围是( ) A. (0,4) B. (4,+) C. (0, 1 4) (4,+) D. (1 4,4) 【答案】D 【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用、对数不等式的求解，考查计算能力， 属中档题 由已知()在,0,+)单调递增，利用偶函数() = (|)，结合单调性求解即可 【解答】()是定义在 R上的偶函数，在(,0-上是减函数， 则函数在,0,+)上是增函数， 又(log2) = (|log2
13、|)， 则不等式等价于(|2|) (2)， 所以|log2| 2，则2 log2 2，所以1 4 4故选 D 三、三、多多项选择题：项选择题： （本题共本题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求项中，有多项符合题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有分，有 选错的得选错的得 0 0 分分. .） 25. 函数 的部分图象 如图所示，下列命题中的真命题是( ) A. 将函数()的图象向左平移 3个单位， 则所得函数的图象关 于原点对称 B.
14、 将函数()的图象向左平移 6个单位，则所得函数的图象关于原点对称 C. 当 , 2 ,-时，函数()的最小值为2 D. 当 , 2 ,-时，函数()的最大值为 6 2 第 11 页，共 24 页 【答案】BCD 【分析】本题考查函数 = ( + )的图象与性质，属于中档题 由函数图象可得： = 2，周期3 4 = 5 12 ( 3)，可得 = 2，再由点( 5 12 ,2)在函数 的图象上，可得 = 3，从而得解答式可为() = 2sin(2 3)，然后逐项判断即可 求解 【解答】由函数图象可得： = 2，周期3 4 = 5 12 ( 3)， 可得 = = 2 ，可得 = 2， 由点(5 1
15、2 ,2)在函数的图象上，可得2sin(2 5 12 + ) = 2， 解得 = 2 3， ， 由于| 2，当 = 0时，可得 = 3， 从而得解答式可为() = 2sin(2 3 )， 将函数()的图象向左平移 3个单位， 可得( + 3) = 2sin,2( + 3) 3- = 2sin(2 + 3 )， 将(0,0)代入不成立，故 A错误; 将函数()的图象向左平移 6个单位， 可得：( + 6) = 2sin,2( + 6) 3- = 2sin2关于原点对称 ，故 B 正确; 当 , 2 ,-时，可得：2 3 ,2 3 , 5 3 -， 故函数()的最大值为( 2) = 2sin 2
16、3 = 6 2 ， 最小值为(11 12 ) = 2sin 3 2 = 2，故 C，D正确；综上，BCD正确 已知曲线 C的方程为 2 2;2 2 6; = 1( R)，则下列结论正确的是( ) A. 当 = 8时，曲线 C为椭圆，其焦距为415 B. 当 = 2时，曲线 C 为双曲线，其离心率为 3 C. 存在实数 k 使得曲线 C为焦点在 y 轴上的双曲线 D. 当 = 3时，曲线 C为双曲线，其渐近线与圆( 4)2+ 2= 9相切 第 12 页，共 24 页 【答案】ABD 【分析】本题考查的是椭圆和双曲线的定义与性质，直线与圆的位置关系，点到直线的 距离 根据相关知识对选项逐一判断即可
17、得出答案 【解答】对于 A：当 = 8时，曲线 C的方程为 2 62 + 2 2 = 1，所以曲线 C 表示椭圆，由 = 62 2 = 215，所以2 = 415，所以焦距为415，故 A 正确； 对于B： 当 = 2时， 曲线C的方程为 2 2 2 4 = 1， 所以曲线C为双曲线， 其中 = 2, = 2， 所以 = 2 + 4 = 6，所以离心率 = = 6 2 = 3，故 B正确； 对于 C：要使曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线，则 2 2 0 6 0， + = 2，则2+ 2的最大值为 4 B. 若 0， + + = 3，则 xy 的最小值为 1 D. 函数 = 2:6 2:2的
18、最小值为 4 【答案】AC 【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，指数的运算性质， 利用基本不等式逐一分析求解即可，注意运用基本不等式的条件 【解答】对于 A，若 x， 0，满足 + = 2， 则2 + 2 22:= 2 2 = 4， 当且仅当 = = 1时，取得最小值 4，故 A错误; 对于 B，若 1 2，即2 1 0，满足 + + = 3， + = 3 2 0 1， 当且仅当 = = 1时，取得等号， 即 xy的最大值为 1，故 C错误; 对于 D， = 2:6 2:2 = (2:2) 2:4 2:2 = 2+ 2 + 4 2:2 22+ 2 4 2:2 = 4， 当且仅当2= 2时
19、，取得等号， 即函数 = 2:6 2:2的最小值为 4，故 D正确故选 AC 第 14 页，共 24 页 三、填空题：三、填空题： （本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分） 26. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个 球的体积为_ 【答案】9 2 【分析】本题主要考查空间正方体和外接球的关系，利用正方体的体对角线等于外接球 直径，属于基础题 根据正方体和外接球的关系，得到正方体的体对角线等于外接球直径，结合球的体积公 式进行计算即可 【解答】设正方体的棱长为 a， 这个正方体的表面积为 18， 62= 18，则2= 3
20、，即 = 3， 一个正方体的所有顶点在一个球面上， 正方体的体对角线等于球的直径， 即3 = 2，即 = 3 2，则球的体积 = 4 3 ( 3 2) 3 = 9 2 ，故答案为9 2 如果1，2分别是双曲线 2 16 2 9 = 1的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1的弦，且 | = 6，则 2的周长是_ 【答案】28 【分析】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问 题，可用定义处理，属于中档题 由定义知|2| |1| = 8，|2| |1| = 8，两式相加再结合已知| = 6即 可求解 【解答】由题意知： = 4， = 3，故 = 5 由双曲线的定义知
21、|2| |1| = 8，|2| |1| = 8， + 得：|2| + |2| | = 16， 所以|2| + |2| = 22，| = 6， 所以 2的周长是|2| + |2| + | = 28故答案为 28 在等比数列*+中，1 5= 15 2 ，4= 5，则4= _ 【答案】1 【分析】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和公式的应用，属于基 础题 第 15 页，共 24 页 设公比为 q，由题意可得1 14= 15 2 ，1(1; 4) 1; = 5，解得 q 和1的值，即可求得 4的值 【解答】等比数列*+中，1 5= 15 2 ，4= 5，设公比为 q， 则有1 14
22、= 15 2 ，1(1; 4) 1; = 5，解得 = 1 2，1 = 8， 4= (8) ( 1 2) 3 = 1，故答案为 1 27. 如图， AB的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且满足( + )cos = (2 cos cos)， = ，设 = (0 )， OA = 2OB = 4， 则四边形 OACB 面积的最大值为_ 【答案】8 + 53 【分析】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用， 根据条件判断出 是等边三角形，四边形 OACB 面积分为两部分，即可求出答案 【解答】因为， 所以由正弦定理得 ， ， ， 因为， 所以 + = 2， 由正弦定理得，
23、+ = 2， 又 = ， 所以 = = ， 所以三角形 ABC 是等边三角形； 则四边形= + 第 16 页，共 24 页 ， ， 当时，有最大值8 + 53； 故答案为8 + 53 四、解答题：四、解答题： （本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤.） 28. 在2 3 + 2 = 0，2 = 2 ， 三个条件中 任选一个，补充在下面问题中，并加以解答 已知 的内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若_，且 a，b，c 成等差 数列，则 是否为等边三角形若是，写出证明;若不是，说明理由. 注：如果选
24、择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解析】本题考查的是正弦定理，余弦定理有关知识，涉及两角和的正弦公式、二倍角 公式、辅助角公式、等差数列性质，属中档题 选利用二倍角公式化简求得 sinB，由 a、b、c 成等差得2 = + ，缩小了 B的范围 即可得 B，再利用余弦定理得到 = ，即可判断形状； 选利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简，得到 B，再利用余弦定理得到 = ， 即可判断形状； 选利用正弦定理结合辅助角公式化简，得到 B，再利用余弦定理得到 = ，即可判 断形状 【答案】解：选 cos2 = 1 2sin2， 2sin2 + 3sin 3 = 0， 即(2sin 3)(sin
25、+ 3) = 0， 解得：sin = 3(舍)，或 = 3 2 ， 0 ， = 3或 2 3 ， 第 17 页，共 24 页 又 ，b，c成等差数列， 2 = + ， 不是三角形中最大的边，即 = 3， 由2= 2+ 2 2cos， 得2+ 2 2 = 0，得 = ， 是等边三角形 选 由正弦定理可得2 = 2 ， 故2 = 2( + ) ， 整理得：2 = 0， 0 0， 即cos = 1 2， 0 ， = 3， 又 ，b，c成等差数列， 2 = + ， 由2= 2+ 2 2cos， 可得2+ 2 2 = 0，即 = ， 故 是等边三角形 选 由正弦定理得sin sin = cos:1 3s
26、in， sin 0， 3sin cos = 1， sin. 6/ = 1 2， 0 ， 6 6 0 且 1)图象的一部分根据专家研究，当注意力指数 p大于等于 80时听课效果 最佳 (1)试求 = ()的函数关系式； (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由 【解析】本题考查函数模型及其应用，属于中档题 (1)先利用所给函数图像求出当 (0,14-时，是一段二次函数的图像， 可设() = ( 12)2+ 82( 0)进行求解；当 (14,40-时，将已知点的坐标代入 = log( 5) + 83，求解即得其解析式，最后再利用分段函数的形式写出 = ()的 函数关系式
27、即可； (2)预知老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳，只需令 80.求得 相应的 t值即可，即老师在相应的时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳 【答案】解：(1)当 (0,14-时， 设 = () = ( 12)2+ 82( 0)， 将(14,81)代入得 = 1 4; 当 (14,40-时， 将(14,81)代入 = log( 5) + 83，得 = 1 3， (2) (0,14-时， 第 20 页，共 24 页 由 1 4 ( 12) 2 + 82 80，解得12 22 12 + 22， 所以 ,12 22,14-， (14,40-时， 由 ，解得5 0)的左、右焦点分
28、 别为1、2，离心率为1 2，直线 = 1与 C 的两个交点 间的距离为46 3 ()求椭圆 C的方程； ()分别过1、 2作1、 2满足1/2， 设1、 2与 C 的上半部分分别交于 A、 B 两点， 求四边形21面积的最大值 【解析】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查面积的计 算， 第 22 页，共 24 页 ()利用离心率为1 2，直线 = 1与 C的两个交点间的距离为 46 3 ，求出 a，b，即可求椭 圆 C 的方程； ()直线与椭圆方程联立，利用基本不等式，求四边形21面积的最大值 【答案】解：()易知椭圆过点(26 3 ,1)，所以 8 32 + 1 2
29、 = 1， 又 = 1 2， 2= 2+ 2， 得2= 4，2= 3， 所以椭圆的方程为 2 4 + 2 3 = 1; ()设直线1： = 1，它与 C的另一个交点为 D， 与 C 联立，消去 x，得(32+ 4)2 6 9 = 0， = 144(2+ 1) 0， | = 1 + 2 121:2 32:4 ， 又 2到1的距离为 = 2 1:2， 所以 2 = 12 1:2 32:4， 令 = 1 + 2 1，则2= 12 3:1 ， 所以当 = 1时，最大值为 3， 又 四边形 21 = 1 2(|2| + |1|) = 1 2(|1| + |1|) = 1 2| = 2 所以四边形21面积
30、的最大值为3. 33. 已知函数() = ( 1)， (1)当 1时，求函数()的单调区间和极值； (2)若对于任意 ,2-，都有() 4成立，求实数 k的取值范围； (3)若1 2，且(1) = (2)，证明：1 2 0，由此根据 0， 0利用 导数性质分类讨论，能求出函数()的单调区间和极值 (2)问题转化为 + 1 (;4) 对于 ,2-恒成立，令() = (;4) ，则() = 第 23 页，共 24 页 4:;4 2 ，令() = 4 + 4， ,2-，则() = 4 + 1 0，由此利用导数性质 能求出实数 k的取值范围 (3)设1 2，则0 1 2 :1，要证12 2，只要证2
31、2 1 ，即证 2 2 1 ，由此利用导数性质能证明12 0， 当 0时， 1， 函数()的单调增区间是(1,+)，无单调减区间，无极值； 当 0时，令 = 0，解得 = ， 当1 时，() ，() 0， 函数()的单调减区间是(1,)，单调增区间是(,+)， 在区间(1,+)上的极小值为 () = ( 1)= ，无极大值 (2) 对于任意 ,2-，都有() 4成立， () 4 0， 即问题转化为( 4) ( + 1) (;4) 对于 ,2-恒成立， 令() = (;4) ，则() = 4:;4 2 ， 令() = 4 + 4， ,2-，则() = 4 + 1 0， ()在区间,2-上单调递增
32、， 故()= () = 4 + 4 = 0， 故() 0， ()在区间,2-上单调递增，函数()= (2) = 2 8 2， 要使 + 1 (;4) ，对于 ,2-恒成立，只要 + 1 ()， + 1 2 8 2，即实数 k 的取值范围是(1 8 2 ,+) 证明： (3) (1) = (2)， 由(1)知， 函数()在区间(0,)上单调递减， 在区间(,+) 上单调递增，且(:1) = 0， 第 24 页，共 24 页 不妨设1 2，则0 1 2 :1， 要证12 2，只要证2 2 1 ，即证 2 2 1 ， ()在区间(,+)上单调递增， (2) ( 2 1 )，又(1) = (2)，即证(1) ( 2 1 )， 构造函数() = () ( 2 ) = (ln 1) (ln 2 1) 2 ， 即， (0,) ， (0,)， 0，2 0， 函数()在区间(0,)上单调递增，故() ()， () = () ( 2 ) = 0，故() 0， (1) ( 2 1 )，即(2) = (1) ( 2 1 )， 12 2成立
