1、第 1 页，共 18 页 全国全国八省八省 2021 届届高三大联考金牌测试卷高三大联考金牌测试卷 数学试题数学试题 注意事项： 1.本试卷共 6页，包含单项选择题（第 1 题第 8题，共 40 分） 、多项选择题（第 9题 第 12 题，共 20分） 、填空题（第 13 题第 16题，共 20 分）和解答题（第 17 题第 22 题，共 70 分）四部分.本卷满分 150分，考试时间 120 分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答 题卡、试卷和草稿纸的指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
2、号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用 0.5 毫米黑色墨 水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效. 4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 5.如需作图，须用 2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、单项选择题：一、单项选择题： （本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题意要求的个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1. 已知集合 = *0,1，2，3+， = *1,3，4+，则 的子集个数为( ) A. 2 B. 3
3、C. 4 D. 16 【答案】C 【分析】本题考查交集及其运算，子集与真子集，属于基础题 由题意，先求出 = *1,3+，再根据子集的概念求出 的子集个数即可 【解答】集合 = *0,1，2，3+， = *1,3，4+， = *1,3+，则 中有 4 个子集故选 C 已知, ，则“ = 0”是“2+ 2= 0”的( )条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【分析】本题考查充分条件、必要条件，属于基础题 先化简 = 0为 = 0或 = 0；2+ 2= 0即为 = = 0，利用充分条件和必要条件 的有关定义得到结论 【解答】p： = 0即为 =
4、0或 = 0； q：2+ 2= 0即为 = = 0； 第 2 页，共 18 页 所以若 p成立则 q 不一定成立，反之若 q 成立则 p一定成立， 所以 p 是 q的必要不充分条件，故选：B 2. 如图， 已知 = ， = ， = 2， 用 、 表示 为( ) A. = 5 3 + 2 3 B. = 1 2 1 3 C. = 2 3 1 3 D. = 1 3 2 3 【答案】D 【分析】本题考查了向量的加减运算和向量的数乘运算，属于基础题 由向量的三角形的法则和向量的加减运算即可求出 【解答】解： = = 2 3 = 2 3( ) = 2 3 1 3 = 1 3 2 3 ，故选 D 3. 如图
5、所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑 上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的 直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿 基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发 现，圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与 球的表面积之比分别为( ) A. 3 2，1 B. 2 3，1 C. 3 2， 3 2 D. 2 3， 3 2 【答案】C 【分析】本题考查圆柱和球的体积和表面积公式，考查推理能力和计算能力，属于基础 题 利用圆柱和球的体积和表面积公式即可求解 【解答】设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R， 圆柱= 2 2 = 23 ， 球 = 4 3 3 第 3 页，共
6、 18 页 圆柱 球 = 23 4 3 3 = 3 2， 圆柱= 2 2 + 2 2= 62，球= 42 圆柱 球 = 62 42 = 3 2故选 C 4. 设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为( 0)，通过 x 块 这样的玻璃以后强度为 y，则 = 0.9( )，那么光线强度减弱到原来的1 3以 下时，至少通过这样的玻璃块数为( )(参考数据：13 0.477) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】解：设通过这样的玻璃 x 块，则由题意得 0.9 0)，化得0.9 1 3， 两边同时取常用对数，可得0.9 lg 1 3， 因为0.9 lg1
7、3 0.9 = ;3 23;1 ;0.477 ;0.046 10.37， 则至少通过 11 块玻璃，故选：C 由题意可知 0.9 0)，所以 3 23;1，进而计算出结果即可 本题考查函数在生产生活中的实际运用，考查函数、对数等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 5. 已知两点(3,4)，(3,2)，过点(1,0)的直线 l与线段 AB有公共点，则直线 l的 斜率 k 的取值范围是( ) A. (1,1) B. (,1) (1,+) C. ,1,1- D. (,1- ,1,+) 【答案】D 【分析】本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础 题 根据两点间的斜率公
8、式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围 【解答】如图所示： 第 4 页，共 18 页 点(3,4)，(3,2)，过点(1,0)的直线 l与线段 AB有公共点， 直线 l的斜率 或 ， 的斜率为 4;0 ;3;1 = 1，PB 的斜率为2;0 3;1 = 1， 直线 l的斜率 1或 1，故选 D 6. 已知函数() = + + 1,( 1) 2+ 2,( 1)在 上单调递增， 则实数 a 的取值范围是( ) A. ,0,1- B. (0,1- C. ,1,1- D. (1,1- 【答案】C 【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查分段函数问题，是一道中档题 根据函数的单调性求出 a的范围即可
9、 【解答】 1时，() = ( 1)2+ 1 1， 1时，() = + + 1，() = 1 2， 因为函数()在上单调递增， 所以() 0在(1,+)恒成立， 即1 2 0在(1,+)恒成立 故 2在(1,+)恒成立，故 1， 而1 + + 1 1，即 1，综上， ,1,1-故选 C 已知函数() = 2 2 + 2, ()，则 x 的取值范围是( ) A. (1,+) B. (,1) C. (1,+) D. (,1) 【答案】C 第 5 页，共 18 页 【分析】由题意可得函数()在(,1)上单调递减，在,1,+)上单调递减，故由 (2 ) ()，可得2 ，由此求得 x 的范围 本题主要考
10、查分段函数的应用，函数的单调性的应用，属于中档题 【解答】函数() = 2 2 + 2( ()，则2 1，故选 C 二、二、多多项选择题：项选择题： （本题共本题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求项中，有多项符合题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有分，有 选错的得选错的得 0 0 分分. .） 7. 给出下列四个命题： 函数() = 22;1 1的图象过定点(1 2,1)； 已知函数()是定义在 R上的奇函数， 当 0时， ()
11、= ( + 1)， 若() = 2， 则实数 = 1或 2； 若log 1 2 1，则 a的取值范围是(1 2,1)； 对于函数() = ，其定义域内任意1 2都满足(1:2 2 ) (1):(2) 2 其中所有正确命题的是( ) A. B. C. D. 【答案】CD 【分析】 本题考查命题的真假判断， 涉及函数的奇偶性， 函数解析式， 指数函数的性质， 对数不等式，对数函数的性质，属于中档题 对每一小题逐一判断即可 【解答】解：对于，令2 1 = 0，解得 = 1 2，则( 1 2) = 2 0 1 = 1，函数 () = 22;1 1的图象过定点(1 2,1)，故错误， 第 6 页，共 1
12、8 页 对于， (1) = 2，函数()是定义在 R上的奇函数， (1) = 2，(2) = 6， () = 2，则实数 = 1，故错误， 对于，若log 1 2 1等价于或 ，解得1 2 12， 所以其定义域内任意1 2，满足(1:2 2 ) (1):(2) 2 ，故正确 故选 CD 8. 已知 A，B两点的坐标分别是(1,0)，(1,0)，直线 AP、BP 相交于点 P，且两直线 的斜率之积为 m，则下列结论正确的是( ) A. 当 = 1时，点 P 的轨迹圆(除去与 x 轴的交点) B. 当1 0时，点 P的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆(除去与 x 轴的交点) C. 当0 1时，点 P
13、的轨迹为焦点在 x 轴上的双曲线(除去与 x轴的交点) 【答案】ABD 【分析】本题考查轨迹方程的求法，以及轨迹的判断，命题的真假，是中档题 设出 M 的坐标，利用斜率乘积转化求解轨迹方程，通过 m的范围，判断选项的正误即 可 【解答】 解：点 M的坐标为(,)，直线 AP 的斜率为AP= :1( 1)，BM = ;1( 1) 由已知得， :1 ;1 = ( 1) 化简得点 M 的轨迹方程为2+ 2 ; = 1( 1)， 当 = 1时，点 P的轨迹圆(除去与 x轴的交点)所以 A正确； 当1 0时， 点 P 的轨迹为焦点在 x轴上的椭圆(除去与 x轴的交点).所以 B正确； 当0 1时，点 P
14、的轨迹为焦点在 x轴上的双曲线(除去与 x 轴的交点)，所以 D正确； 故选：ABD 9. 已知函数() = cos(2 6)，下列结论中正确的是( ) A. 函数()的周期为的偶函数 B. 函数()在区间, 12, 5 12-上是单调减函数 C. 若函数()的定义域为(0, 2)，则值域为( 1 2,1- D. 函数()的图象与() = sin(2 2 3 )的图象重合 【答案】BD 【分析】本题主要考查了余弦函数的图像与性质，函数的奇偶性以及三角函数的定义域 及值域，属于中档题 根据三角函数的性质对各选项进行分析，判断正误即可 【解答】解：对于 A，由题意可得：， 因为() = cos(2
15、 6) = cos(2)cos 6 + sin(2)sin 6 = 2 6 2 6， () = cos(2 6) = 2 6 + 2 6， 所以() ()，故 A不正确， 对于 B，当时函数()单调减函数， 解得，故 B正确 对于 C，由 B 可知，.0, 2/是单增区间， 是减区间， 最大为，下边界为(0) = 3 2 ，或者， 因为，最值为( 3 2 ,1-，故 C不正确， 对于 D， 两图像重合，故 D 正确，故选 BD 10. 若 0， 0，且 + = 4，则下列不等式不恒成立的是( ) 第 8 页，共 18 页 A. 1 1 2 B. 1 + 1 1 C. 2 D. 2+ 2 8 【
16、答案】ABC 【分析】本题主要考查了基本不等式的应用问题，属于中档题 利用基本不等式与不等式的性质求解即可 【解答】 解：因为 0， 0，所以 + 2， 又 + = 4，得 2，当且仅当 = = 2时等号成立，所以 C 错误； 又 4，所以 1 1 4，当且仅当 = = 2时等号成立，所以 A错误； 又1 + 1 = : = 4 4 1 4 = 1，当且仅当 = = 2时等号成立，所以 B 错误； 又2+ 2= ( + )2 2 ( + )2 2(: 2 )2 = 1 2( + ) 2 = 1 2 16 = 8，当且仅当 = = 2时等号成立，所以 D正确故选 ABC 三、填空题：三、填空题：
17、 （本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分） 11. 在正四面体 ABCD 中，M，N分别是 BC和 DA 的中点，则异面直线 MN 和 CD所成 角的余弦值为_ 【答案】 2 2 【分析】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，关键是求出异面直线的平面角 取 AC的中点 G，连接 MG，NG，则即为异面直线 MN与 CD所成的角，解三角 形 GMN，即可求出异面直线 MN 与 CD所成的角 【解答】解：取 AC的中点 G，连接 MG，NG， 根据三角形的中位线定理，可得/， 则即为异面直线 MN 与 CD所成的角， 设正四面体 ABCD的棱长为 a， = =
18、 2， = 2 2 ， 因为2+ 2= 2， 所以 = 90 则cos = 2 2 ， 故答案为 2 2 第 9 页，共 18 页 12. 已知抛物线2= 4的一条弦 AB恰好以(1,1)为中点，则弦 AB 所在直线方程 是 【答案】2 1 = 0 【分析】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系涉及曲线弦的中点和斜率时，一般可 采用点差法，属于一般题 设出 A，B坐标，分别代入抛物线方程，两式相减整理，利用中点的纵坐标求得直线 AB 的斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程 【解析】 解：设(1,1)，(2,2)， 代入抛物线方程得12= 41，22= 42， 整理得 = 1;2 1;2 = 1
19、;2 12 4 ;2 2 4 = 4 1:2， ，B中点为(1,1) 1:2 2 = 1，1+ 2= 2 = 4 1:2 = 2 则弦 AB 所在直线方程为 1 = 2( 1)，即为2 1 = 0 故答案为2 1 = 0 13. 等比数列*+的各项均为实数， 其前 n 项和为， 已知3= 7 4 ， 6= 63 4 ， 则8=_ 【答案】32 【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 设等比数列*+的公比为 1，3= 7 4，6 = 63 4 ，可得1(1; 3) 1; = 7 4， 1(1;6) 1; = 63 4 ，联立 解出即可得出 第 10
20、 页，共 18 页 【解答】解：设等比数列*+的公比为 1， 3= 7 4，6 = 63 4 ， 1(1;3) 1; = 7 4， 1(1;6) 1; = 63 4 ， 解得1= 1 4， = 2则8 = 1 4 27= 32故答案为 32 14. 在锐角三角形 ABC中， 若 = 2， 则 tanAtanBtanC的最小值是_ 【答案】8 【分析】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性 结合三角形关系和式子 = 2可推出 + = 2， 进 而得到 + = 2，结合函数特性可求得最小值 【解答】 解：由 = sin( ) = sin( + ) = + ， 因为 = 2，
21、可得 + = 2， 由三角形 ABC为锐角三角形，则 0， 0， 在式两侧同时除以 cosBcosC可得 + = 2， 又 = tan( ) = tan( + ) = : 1; ， 则 = : 1; ， 由 + = 2可得 = 2()2 1; ， 令 = ，由 A，B，C 为锐角， 可得 0， 0， 0， 由式得1 1， = 22 1; = 2 1 2; 1 ， 又 1 2 1 = (1 1 2) 2 1 4， 由 1得， 1 4 1 2 1 0， 即 22，即 8，或 0(舍去)， 所以 x 的最小值为 8 此时 + = 4， = 2， 解得 = 2 + 2， = 2 2， = 4， (或
22、tanB，tanC 互换)，此时 A，B，C均为锐角 故答案为 8 四、解答题：四、解答题： （本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤.） 15. 在 中， 角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 已知 + ( 2) = 0 (1)求角 C的大小; (2)若 = 2， + = ，求 的面积 【解析】本题考查三角形的正余弦定理的运用，三角形的面积公式等，考查运算能力， 属于基础题 (1)利用正弦定理化简可得答案； (2)根据(1)中 C 的大小，利用余弦定理求出 ab 的值可得 的面积 【答案】解
23、：(1) + ( 2) = 0， 由正弦定理化简可得： + 2 = 0， 即 = 2， 0 ， 第 12 页，共 18 页 0 = 1 2 0 ， = 3 (2)由(1)可知 = 3 = 2， + = ，即22= 2+ 2+ 2 由余弦定理 = 1 2 = 2:2;2 2 ， = 2+ 2 2= ()2 2 2， 即()2 3 4 = 0， 解得 = 4 那么 的面积 = 1 2 = 3 16. 设等差数列*+的前 n项和为，若9= 81，3+ 5= 14 (1)求数列*+的通项公式； (2)设= 1 +1，若*+的前 n项和为，证明： 1 2 【解析】【试题解析】 本题考查了等差数列的通项公
24、式、性质及其求和公式、裂项求和的知识点，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 (1)利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出； (2)由题意得，= 1 +1 = 1 (2;1)(2:1) = 1 2. 1 2;1 1 2:1/，利用裂项求和即可得出 = 1 2(1 1 2:1)，从而得证 【答案】解：(1)设等差数列*+的公差为 d， 由9= 95= 81，得5= 9， 又由3+ 5= 14，得3= 5， 由上可得等差数列*+的公差 = 2， = 3+ ( 3) = 2 1； (2)证明：由题意得，= 1 +1 = 1 (2;1)(2:1) = 1 2. 1 2;1 1 2:1/ 第
25、13 页，共 18 页 所以= 1 2(1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 2;1 1 2:1) = 1 2(1 1 2:1) 1 2 17. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时. 某地上班族 S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当 S中%(0 40时 x的取值范围即可； (2)分段求出()的解析式，判断()的单调性，再说明其实际意义 【答案】解；(1)由题意知，当30 40， 即2 65 + 900 0， 解得 45， 45 100， (45,100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； (2)当0 30时， () = 3
26、0 % + 40(1 %) = 40 10； 当30 100时， () = (2 + 1800 90) % + 40(1 %) = 2 50 13 10 + 58； 第 14 页，共 18 页 () = 40 10,0 30 2 50 13 10 + 58,30 100 ； = 2 50 13 10 + 58的对称轴为 = 32.5， 当 = 30时，40 10 = 37， 2 50 13 10 + 58 = 37， 所以当0 32.5时，()单调递减； 当32.5 0)的焦距为 2，离心率为 2 2 ，椭圆的右顶点为 A (1)求该椭圆的方程： (2)过点(2,2)作直线 PQ交椭圆于两个不
27、同点 P，Q，求证：直线 AP，AQ的 斜率之和为定值 【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率 公式，考查计算能力，属于中档题 (1)由题意可知2 = 2， = 1，离心率 = ，求得 = 2，则 2 = 2 2= 1，即可 求得椭圆的方程； (2)则直线 PQ的方程： = ( 2) 2，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率 公式，分别求得直线 AP，AQ 的斜率，即可证明直线 AP，AQ 的斜率之和为定值 【答案】 解： (1)由题意可知： 椭圆 2 2 + 2 2 = 1( 0)， 焦点在 x 轴上， 2 = 2， = 1， 椭圆的离心率 = = 2
28、2 ，则 = 2，2= 2 2= 1， 则椭圆的标准方程： 2 2 + 2= 1； (2)证明：设(1,1)，(2,2)，(2,0)， 当斜率不存在时， = 2与椭圆只有一个交点，不合题意 由题意 PQ的方程： = ( 2) 2， 则联立方程 = ( 2) 2 2 2 + 2= 1 , 整理得：(22+ 1)2 (422+ 42) + 42+ 8 + 2 = 0， 由韦达定理可知：1+ 2= 422:42 22:1 ，12= 42:8:2 22:1 ， 则 1+ 2= (1+ 2) 22 22 = ;22;22 22:1 ， 则+ = 1 1;2 + 2 2;2 = 12:21;2(1:2)
29、12;2(1:2):2 ， 第 17 页，共 18 页 由 12+ 21= ,(1 2) 2-2+ ,(2 2) 2-1 = 212 (2 + 2)(1+ 2) = 4 22:1， + = 12:21;2(1:2) 12;2(1:2):2 = ; 4 22+1;2 2222 22+1 42+8+2 22+1 ;242 2+42 22+1 :2 = 1， 直线 AP，AQ的斜率之和为定值 1 20. 已知函数() = 3+ 2+ + 1( 0, )有极值，且导函数()的极值点 是()的零点 (1)求 b关于 a的函数关系式，并写出定义域 (2)证明：2 3 (3)若()，()这两个函数的所有极值
30、之和不小于 7 2，求实数 a的取值范围 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思 想，注意解题方法的积累，属于难题 (1)通过对() = 3+ 2+ + 1求导可知() = () = 32+ 2 + ，进而再求 导可知() = 6 + 2，通过令() = 0进而可知()的极小值点为 = 3，从而 ( 3) = 0，整理可知 = 22 9 + 3 ( 0)，结合() = 3+ 2+ + 1( 0, ) 有极值可知() = 0有两个不等的实根，进而可知 3 (2)通过(1)构造函数() = 2 3 = 44 81 5 3 + 9 2 = 1 812 (43 2
31、7)(3 27)，结合 3可知() 0，从而可得结论； (3)通过(1)可知()的极小值为( 3) = 2 3 ，利用韦达定理及完全平方关系可知 = ()的两个极值之和为4 3 27 2 3 + 2，进而问题转化为解不等式 2 3 + 43 27 2 3 + 2 = 3 2 9 7 2，因式分解即得结论 【答案】(1)解：因为() = 3+ 2+ + 1， 所以() = () = 32+ 2 + ，() = 6 + 2， 令() = 0，解得 = 3 由于当 3时() 0， () = ()单调递增； 当 3时() 0) 因为() = 3+ 2+ + 1( 0, )有极值， 所以() = 32+
32、 2 + = 0有实根， 所以42 12 0，即2 22 3 + 9 0，解得 3， 所以 = 22 9 + 3 ( 3) (2)证明：由(1)可知() = 2 3 = 44 81 5 3 + 9 2 = 1 812 (43 27)(3 27)， 由于 3，所以() 0，即2 3； (3)解：由(1)可知()的极小值为( 3) = 2 3 ， 设1，2是 = ()的两个极值点，则1+ 2= 2 3 ，12= 3， 所以(1)+ (2) = 1 3 + 2 3 + (1 2 + 2 2) + (1 + 2) + 2 = (1+ 2),(1+ 2)2 312- + ,(1+ 2)2 212- + (1+ 2) + 2 = 43 27 2 3 + 2， 又因为()，()这两个函数的所有极值之和不小于 7 2， 所以 2 3 + 43 27 2 3 + 2 = 3 2 9 7 2， 因为 3，所以23 63 54 0， 所以2(2 36) + 9( 6) 0， 所以( 6)(22+ 12 + 9) 0， 由于 3时22+ 12 + 9 0， 所以 6 0，解得 6， 所以 a 的取值范围是(3,6-
