1、2021 年（老高考）数学（文）模拟试卷年（老高考）数学（文）模拟试卷(六六) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 12020 保定市高三第一次模拟考试若复数 z1i 2 020 1i ，则 z ( ) A1i B1i C2i D2i 22020 山西省阶段性测试已知全集 UR，集合 Ax|x240 0，x0 1，x0，b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过点 F1的直线交双曲线于点 A，B，且F1A 1 2AB ，F 1BF260 ，则该双曲线的离心率 为( ) A. 3 B2 C. 7 D3 122020
2、 河南省豫北名校高三质量测评已知首项均为3 2的等差数列an与等比数列bn， 若 a3b2，a4b3，数列an的各项均不相等，且 Sn为数列bn的前 n 项和，则S 2 n1 Sn 的最大 值与最小值差的绝对值为( ) A.17 12 B. 13 12 C. 11 12 D. 7 12 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将正确答案填在题中的横线上) 132020 山西省六校高三第一次阶段性测试已知单位向量 e1，e2的夹角为 60 ，向量 a 3e12e2，向量 be1e2，若 ab，则实数 _. 142020 唐山市高三年级摸底考试若 x，y 满足约束条件 xy20
3、 2xy10 x2y20 ，则 z3xy 的最大值为_ 152020 开封市高三模拟考试曲线 y(ax1)ex在点(0,1)处的切线与 x 轴交于点 1 2，0 ，则 a_. 162020 江苏镇江八校联考已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若 ba2acos C，则 cos2A cosCA的取值范围是_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(12 分)2020 合肥市高三调研性检测已知函数 f(x)cos 2xsin 2x 6 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)当 x0，时，求函数 f(x)的单调
4、递增区间 18(12 分)2020 全国卷如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底 面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，APC90 . (1)证明：平面 PAB平面 PAC； (2)设 DO 2，圆锥的侧面积为 3，求三棱锥 P- ABC 的体积 19.(12 分)2020 大同市高三学情调研测试试题下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 甲产品过程中记录的产量 x(单位：吨)与相应的生产能耗 y(单位：吨标准煤)的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法，求出 y 关于 x 的线
5、性回归方程y bxa； (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤， 试根据(2)求出的线性回归方 程预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 参考数据及公式：32.5435464.566.5， b i1 n xi x y i y i1 n xi x 2 i1 n xiyin x y i1 n x2in x 2 ，a yb x . 20 (12分)2020 湖北省部分重点中学考试已知椭圆C： x2 a2 y2 b21(ab0)的离心率e 2 2 ， 以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线 xy20 相切 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)是否存在斜
6、率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同的交点 M，N 时，能在直 线 y5 3上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q，满足 PM NQ？若存在，求出直线的方程； 若不存在，说明理由 21(12 分)2020 湖南省长沙市高三调研试题已知函数 f(x)me x x ln xx(mR) (1)当 m1 e时，求函数 f(x)的最小值； (2)若 me22，g(x)2me xx2 x ，求证：f(x)g(x) 选考题(请考生在第 22、23 题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分) 22(10 分)2020 唐山市高三年级摸底考试在极坐标系中，圆 C；4cos .以极点
7、 O 为 原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 xOy，直线 l 经过点 M(1，3 3)且倾斜角为 . (1)求圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (2)已知直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，满足 A 为 MB 的中点，求 . 23(10 分)2020 武昌区高三年级调研考试 (1)已知 f(x)|xa|x|，若存在实数 x，使 f(x)0，n0，且 mn3，求证：1 m 4 n3. 2021 年（老高考）数学（文）模拟试卷年（老高考）数学（文）模拟试卷(六六) 1答案：B 解析：z1i 2 020 1i 1i 4 1i 21i 1i1i 21i 2 1i， z 1i
8、，故选 B. 2答案：A 解析：由题意知 A1,0,1，B1,3，则 AB1，AB1,0,1,3，于是 阴影部分表示的集合为0,1,3，故选 A. 3答案：B 解析：由 l，l，得 ，若 ，则 l 与 平行、相交或 l 在 内，所以“l” 是“”的充分不必要条件 4答案：B 解析：设an的公比为 q，因为 a5a115，a4a26，a10，q 1，所以 a1q4a1a1q3a1q6 ，解得 a1q2 或 a1q1 2 ，因为 an0，所以 a1q2 ，所以 a31224，故选 B. 5答案：B 解析：i0，x4，y1，进入循环体，得 x8，y2，此时 xy，i1，得 x16，y6， 此时 xy
9、，i2，得 x32，y22，此时 xy，i3，得 x64，y86，此时 xy，跳出循环体， 输出 i 的值为 3，故选 B. 6答案：B 解析：由 sin 7 6 sin 6 sin 6 2 3，得 sin 6 2 3.由题意得 3，所以 sin 2 6 sin 22 3 6 sin 2 6 cos 2 6 2 cos 2 3 1 2sin2 6 1 9.故选 B. 7答案：D 解析：样本数据 x1，x2，x100的方差为 8，则数据 2x11,2x21，2x1001 的方差 为 22832，故选 D. 8答案：D 解析： 解法一 g(x)f(x)(ex1) ex1，x，x0，ex1，x0 时
10、， 将函数 yex的图象向下平移一个单位得到函数 yex1 的图象，当 x0 时，将函数 yex1 的图象作关于 x 轴对称的图象，得到函数 y(ex1)的图象，故选 D. 解法二 g(x)f(x)(ex1) ex1，x，xex1，x0， 排除 A；当 x1 时，g(x)0，排除 B；当 x时，g(x)1，排除 C.故选 D. 9答案：D 解析：VE - ABD1 3SABDh 1 3 1 2abh 1 6abh；同理 VF - BCD 1 6abh.因为 VF - BCD VB - DEF VB - CDF VB - DEF SCDF SDEF b c， 所以 VB - DEF 1 6ach
11、， 则 VB - CDEFVB - CDFVB - DEF 1 6abh 1 6ach， 所以 VB - CDEF VE - ABD bc b 1c b2，所以 b c1，故选 D. 10答案：A 解析：如图，由 PAAC2，CP2 2，得 APAC. 连接 AD.由 D 是 PB 的中点及 PAABPB2，可求得 AD 3. 又 CD 7，可知 ADAC， 又 ADAPA，所以 AC平面 PAB. 以PAB 为底面，AC 为侧棱将三棱锥 P - ABC 补成一个直三棱柱，则球 O 是该三棱柱的 外接球， 球心 O 到底面PAB 的距离 d1 2AC1. 由正弦定理得PAB 的外接圆半径 r
12、PA 2sin 60 2 3 3 ， 所以球 O 的半径 R d2r2 21 3 . 所以球 O 的表面积 S4R228 3 .故选 A. 11答案：C 解析：设|F1A|m，由F1A 1 2AB ，得|AB|2m，且点 A 在该双曲线的左支上，点 B 在右 支上连接 AF2，由|AF2|AF1|2a，得|AF2|2am，由|BF1|BF2|2a，得|BF2|BF1| 2a|BA|AF1|2a3m2a.在BAF2中，由余弦定理得(2am)2(2m)2(3m2a)2 22m(3m2a)cos 60 ，得 m2a.在BF1F2中，由余弦定理得(2c)2(3m)2(3m2a)2 23m(3m2a)c
13、os 60 ，得 9m26ma4a24c20，把 m2a 代入，得 7a2c2，ec a 7，故选 C. 12答案：A 解析：设an的公差为 d(d0)，bn的公比为 q，则 3 22d 3 2q 3 23d 3 2q 2 ，得 q1 2 d3 8 ，所以 Sn1 1 2 n.令 tS 2 n1 Sn ，则 tSn 1 Sn，易得 Sn0，且 t 随着 Sn 的增大而增大当 n 为奇数时，Sn1 1 2 n递减，则 S n 1，3 2 ，t 0，5 6 ；当 n 为偶数时， Sn1 1 2 n递增，S n 3 4，1 ，t 7 12，0 .所以 tmin 7 12，tmax 5 6，即 S2n
14、1 Sn 的最大值为5 6， 最小值为 7 12，所以 S2n1 Sn 的最大值与最小值差的绝对值为5 6 7 12 17 12，故选 A. 13答案：1 4 解析： 因为 ab，所以 a b0， 所以(3e12e2) (e1e2)0， 即 3e21(32)e1 e22e22 0，即 3(32)1 220，解得 1 4. 14答案：0 解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 3xy0，并平移 可知当直线过点 C(1,3)时，z 的值最大，则 z3xy 的最大值为 0. 15答案：1 解析：yex(ax1a)，所以 y|x01a，则曲线 y(ax1)ex在(0,1)处的切线
15、方程 为 y(1a)x1，又切线与 x 轴的交点为 1 2，0 ，所以 0(1a) 1 2 1，解得 a1. 16答案： 2 2 ， 3 2 解析：由 ba2acos C 及正弦定理得 sin Bsin A2sin Acos C，即 sin(CA)sin A. 因为 2CA 2，0A 2， 所以 CAA，即 C2A. 由 C2A 2， B3A0， 故 y0y1y2 2 t 9，且3t3. 由 PM NQ，得 x1x3，y15 3 (x4x2，y4y2)， 所以 y15 3y4y2，y4y1y2 5 3 2 9t 5 3， (也可由 PM NQ知四边形 PMQN 为平行四边形，而 D 为线段 M
16、N 的中点，因此，D 也 为线段 PQ 的中点，所以 y0 5 3y4 2 t 9，可得 y4 2t15 9 .) 又3t3，所以7 3y40)，则 u(x)exe， 由 u(x)0，得 x1，由 u(x)0，得 0x0，得 x1，由 f(x)0，得 0x0)，则 F(x)1 x mexxmex x2 xmx1e x x2 ， 当 00，F(x)单调递增，所以当 0x1 时，F(x)F(1)me0，所以 f(x)1 时，F(x)mx1 x2 ex x mx1 . 令 G(x)ex x mx1(x1)，则当 me 22 时，G(x)ex 1 mx120，G(2)e 22 m me22 m 0.
17、因为 me22，所以易知 1 me2 me212， 所以存在 t 满足 1te 2， 则有 G(t)et t mt10， 所以 (x)在(1,2上单调递增，所以 (x)(2)ln 21， 故 F(x0)ln 210，所以可得 f(x)g(x) 综上，f(x)g(x) 22解析：(1)由圆 C：4cos 可得 24cos ， 因为 2x2y2，xcos ， 所以 x2y24x，即(x2)2y24，故圆 C 的直角坐标方程为(x2)2y24. 直线 l 的参数方程为 x1tcos 3 3tsin (t 为参数，00， 所以 tAtB6( 3sin cos )，tA tB32. 又 A 为 MB 的
18、中点，所以 tB2tA， 因此 tA2( 3sin cos )4sin 6 ，tB8sin 6 ， 所以 tA tB32sin2 6 32，即 sin2 6 1. 因为 0，所以 6 6 7 6 ， 从而 6 2，即 3，又 3满足式，所以所求 3. 23解析：(1)解法一 f(x)|xa|x|xax|a|， 若存在实数 x，使 f(x)2 成立，则|a|2，解得2a0 时， 因为 f(x)|xa|x| 2xa，0 x2xa，x0 ， 所以 f(x)min a. 因为存在实数 x，使 f(x)2 成立，所以 a2，即 0a2. 当 a0 时，同理可得2a0. 综上，实数 a 的取值范围为(2,2) (2)因为 mn3， 所以 1 m 4 n mn 3 1 m 4 n 1 3 n m 4m n 5 1 3 2 n m 4m n 5 3， 当且仅当 m1，n2 时取等号
