1、 第 1 页（共 14 页） 2021 年上海市崇明区高考数学一模试卷年上海市崇明区高考数学一模试卷 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）已知集合1A ，2，3，集合3B ，4，则AB 2 （4 分）不等式 1 0 2 x x 的解集是 3 （4 分）已知复数z满足(2)1(zii是虚数单位） ，则z 4 （4 分）设函数 1 ( ) 1 f x x 的反函数为 1( ) fx ，则 1 f （2） 5 （4 分）点(0,0)到直线2xy的距离是 6 （4 分）计算： 123 l
2、im (2) n n n n 7 （5 分）若关于x、y的方程组 461 32 xy axy 无解，则实数a 8 （5 分）用数字 0、1、2、3、4、5 组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 .（结 果用数值表示） 9 （5 分）若 23 (2)nab的二项展开式中有一项为 412 ma b，则m 10 （5 分）设O为坐标原点，直线xa与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分 别交于D、E两点，若ODE的面积为 1，则双曲线C的焦距的最小值为 11（5 分） 已知函数( )yf x， 对任意xR， 都有(2)( )(f xf xk k为常数） ， 且当0
3、 x， 2时， 2 ( )1f xx，则(2021)f 12（5 分） 已知点D为圆 22 :4O xy的弦MN的中点， 点A的坐标为(1,0)， 且1A MA N， 则OA OD的最大值为 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若0ab，则下列不等式恒成立的是( ) A 11 ab Bab C 22 ab D 33 ab 14 （5 分）正方体上的点P、Q、R、S是其所在棱的中点，则直线PQ与直线RS异面的 图形是( ) 第 2 页（共 14 页） A B C D 15 （5 分）设 n a为等比数列，则“对于任意的
4、* mN， 2mm aa ”是“ n a为递增数列” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 16 （5 分）设函数( )yf x的定义域是R，对于下列四个命题： （1）若函数( )yf x是奇函数，则函数( ( )yf f x是奇函数； （2）若函数( )yf x是周期函数，则函数( ( )yf f x是周期函数； （3）若函数( )yf x是单调减函数，则函数( ( )yf f x是单调减函数； （4）若函数( )yf x存在反函数 1( ) yfx ，且函数 1 ( )( )yf xfx 有零点，则函数 ( )yf xx也有零点； 其中正确的命题
5、共有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分）如图，已知AB 平面BCD，BCCD，AD与平面BCD所成的角为30，且 2ABBC （1）求三棱锥ABCD的体积； （2） 设M为BD的中点， 求异面直线AD与CM所成角的大小 （结果用反三角函数值表示） 第 3 页（共 14 页） 18 （14 分）已知函数 2 1 ( )sin23cos 2 f xxx （1）求函数( )yf x的最小正周期； （2） 在ABC中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c， 若锐角A满足
6、13 ( ) 2 f A ， 6 C ， 2c ，求ABC的面积 19 （14 分） 研究表明： 在一节 40 分钟的网课中， 学生的注意力指数y与听课时间x（单位： 分钟） 之间的变化曲线如图所示， 当0 x，16时， 曲线是二次函数图象的一部分； 当16x， 40时，曲线是函数 0.8 80log()yxa图象的一部分，当学生的注意力指数不高于 68 时， 称学生处于“欠佳听课状态” （1）求函数( )yf x的解析式； （2） 在一节 40 分钟的网课中， 学生处于 “欠佳听课状态” 的时间有多长？ （精确到 1 分钟） 20 （16 分）已知椭圆 2 2 :1 4 x y的左右顶点分别
7、为A、B，P为直线4x 上的动点， 直线PA与椭圆的另一交点为C，直线PB与椭圆的另一交点为D （1）若点C的坐标为(0,1)，求点P的坐标； （2）若点P的坐标为(4,1)，求以BD为直径的圆的方程； （3）求证：直线CD过定点 21 （18 分） 对于数列 n a， 若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和， 则称 n a 为P数列 （1）若数列 1，2，x，8 是P数列，求实数x的取值范围； 第 4 页（共 14 页） （2）设数列 1 a， 2 a， 3 a， 10 a是首项为1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列， 求d的取值范围； （3）设无穷数列 n a是首项为a、公比为
8、q的等比数列，有穷数列 n b、 n c是从 n a中 取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别记为 1 T、 2 T，求证：当0a 且 12 TT时，数列 n a不是P数列 第 5 页（共 14 页） 2021 年上海市崇明区高考数学一模试卷年上海市崇明区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）已知集合1A ，2，3，集合3B ，4，则AB 3 【解答】解：因为集合1A ，2，3，集合3B ，4， 所以3AB 故
9、答案为：3 2 （4 分）不等式 1 0 2 x x 的解集是 ( 2,1) 【解答】解： 1 0 2 x x ， (1)(2)0 xx， 解得：21x ， 故不等式的解集是( 2,1)， 故答案为：( 2,1) 3 （4 分）已知复数z满足(2)1(zii是虚数单位） ，则z 2i 【解答】解：因为(2)1zi，所以 1 22zi i ， 所以2zi 故答案为：2i 4 （4 分）设函数 1 ( ) 1 f x x 的反函数为 1( ) fx ，则 1 f （2） 1 2 【解答】解：在 1 ( ) 1 f x x 中， 令2y ，得 1 2 x ， 所以 1 1 (2) 2 f 故答案为：
10、 1 2 5 （4 分）点(0,0)到直线2xy的距离是 2 【解答】解：由点(0,0)到直线20 xy的距离公式得 2 2 2 d 故答案为：2 第 6 页（共 14 页） 6 （4 分）计算： 123 lim (2) n n n n 1 2 【解答】解： 123(1)11 limlimlim (2)2 (2)2(2)2 nnn nn nn n nn nn 故答案为： 1 2 7 （5 分）若关于x、y的方程组 461 32 xy axy 无解，则实数a 2 【解答】解：由题意得两直线无解，则直线平行，且该直线在y轴上的截距不相等， 故 46 3a ，解得：2a ， 经检验满足题意， 所以2
11、a 故答案为：2 8 （5 分）用数字 0、1、2、3、4、5 组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 48 . （结果用数值表示） 【解答】解：先挑个位，有 1 3 C种；再挑百位，有 1 4 C种；最后挑十位，有 1 4 C种； 故奇数的个数为 111 344 48C C C 个 故答案为：48 9 （5 分）若 23 (2)nab的二项展开式中有一项为 412 ma b，则m 15 4 【解答】解：根据二项式的展开式的通项为 223 1 2 rn rnrr rn TCab ， 令 224 312 nr r ，解得 6 4 n r ， 所以 42 62 60mC 故答案为：60 10 （
12、5 分）设O为坐标原点，直线xa与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分 别交于D、E两点，若ODE的面积为 1，则双曲线C的焦距的最小值为 2 2 【解答】解：双曲线的渐近线为 b yx a ，所以( , )D a b，( ,)E ab， 因为ODE的面积为 1，所以 1 21 2 ab，即1ab ， 第 7 页（共 14 页） 因为 222 cab，所以 22 222 22 2cabab， 即双曲线的焦距的最小值为2 2， 故答案为：2 2 11（5 分） 已知函数( )yf x， 对任意xR， 都有(2)( )(f xf xk k为常数） ， 且当0 x，
13、 2时， 2 ( )1f xx，则(2021)f 2 【解答】解：因为对任意xR，都有(2)( )f xf xk为常数， 所以(4)(2)f xf xk，从而(4)( )f xf x， 即( )f x的周期为 4， 所以(2021)ff（1）2， 故答案为：2 12（5 分） 已知点D为圆 22 :4O xy的弦MN的中点， 点A的坐标为(1,0)， 且1A MA N， 则OA OD的最大值为 2 【解答】解：设( , )D x y，则 222222 ()()()()(4)41AMANADDMADDNADDNADDNADDNADODADOD ， 因为(1, ),( , )ADxy ODx y，
14、所以 2222 (1)5xyxy， 整理得 22 19 () 24 xy，即为点( , )D x y的轨迹方程，所以 13 2 22 OA ODx， 故OA OD的最大值为 2 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若0ab，则下列不等式恒成立的是( ) A 11 ab Bab C 22 ab D 33 ab 【解答】解：0ab， 若1a ，1b ， 则A，B，C不正确， 对于D，根据幂函数的性质即可判断正确， 故选：D 第 8 页（共 14 页） 14 （5 分）正方体上的点P、Q、R、S是其所在棱的中点，则直线PQ与
15、直线RS异面的 图形是( ) A B C D 【解答】解： （1）分析：A 根据正方体上的点P、Q、R、S是其所在棱的中点，则知RS 平行于上底面一条对角线的连线，进一步确定/ /RSPQ，故PQ和RS不是异面直线 （2）分析：C 根据正方体上的点P、Q、R、S是其所在棱的中点，延长PQ，RS以及 外右侧的棱然后根据三角形的相似得PQ和RS是相交直线 （3）分析：D 根据正方体上的点P、Q、R、S是其所在棱的中点，连接PS和RQ，利 用平行公理得到/ /PSRQ，说明P、S、R、Q四点共面，进一步得到：PQ和RS是相交 直线 通过排除法 故选：B 15 （5 分）设 n a为等比数列，则“对于
16、任意的 * mN， 2mm aa ”是“ n a为递增数列” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：对任意的 * mN， 2mm aa ，必有 2 0,1 m aq，即1q ，所以 n a为递增数 列； 反之，若 n a为递增数列，则 21mmm aaa ，故为充要条件， 故选：C 第 9 页（共 14 页） 16 （5 分）设函数( )yf x的定义域是R，对于下列四个命题： （1）若函数( )yf x是奇函数，则函数( ( )yf f x是奇函数； （2）若函数( )yf x是周期函数，则函数( ( )yf f x是周期函数； （3）
17、若函数( )yf x是单调减函数，则函数( ( )yf f x是单调减函数； （4）若函数( )yf x存在反函数 1( ) yfx ，且函数 1 ( )( )yf xfx 有零点，则函数 ( )yf xx也有零点； 其中正确的命题共有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：若( )yf x是奇函数，则()( )fxf x ，( ()( )( ( )f fxff xf f x ， 则( ( )yf f x也是奇函数，故正确； 若( )yf x是周期函数，则()( )f xTf x，( ()( ( )f f xTf f x， 则( ( )yf f x也是周期函数，故正确； 若
18、( )yf x是单调递减函数，则根据复合函数的性质，( ( )yf f x是单调递增函数，故 不正确； 函数 1 ( )( )yf xfx 有零点，即( )yf x与其反函数 1( ) yfx 的图象有交点，则 ( )yf xx有交点， 也就是函数( )yf xx也有零点，故正确 正确的命题共有 3 个 故选：C 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分）如图，已知AB 平面BCD，BCCD，AD与平面BCD所成的角为30，且 2ABBC （1）求三棱锥ABCD的体积； （2） 设M为BD的中点， 求异面直线AD与C
19、M所成角的大小 （结果用反三角函数值表示） 【解答】解： （1）如图，因为AB 平面BCD， 第 10 页（共 14 页） 所以ABCD，又BCCD，所以CD 平面ABC， 因为AB 平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30，故30ADB， 由2ABBC，得4AD ，2 2AC ， 1642 3BD， 22 (2 3)22 2CD ， 则 111 22 22 366 A BCDBCD VSABBCCDAB 4 2 3 （2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则(0A，2，2)，(2 2D，0，0)，(0C，0，0)，(0B，2，0)，(
20、 2,1,0)M， (2 2AD ，2，2)，( 2,1,0)CM ， 设异面直线AD与CM所成角为， 则 |23 cos 6| |4 3 AD CM ADCM 3 arccos 6 异面直线AD与CM所成角的大小为 3 arccos 6 18 （14 分）已知函数 2 1 ( )sin23cos 2 f xxx （1）求函数( )yf x的最小正周期； （2） 在ABC中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c， 若锐角A满足 13 ( ) 2 f A ， 6 C ， 2c ，求ABC的面积 第 11 页（共 14 页） 【解答】解： （1） 2 113(1cos2 ) ( )sin23cos
21、sin2 222 x f xxxx 1333 sin2cos2sin(2) 22232 xxx ， 函数( )yf x的最小正周期 2 2 T ； （2） 313 ( )sin(2) 322 f AA ， 1 sin(2) 32 A ， 又A为锐角， 2 2(,) 332 A ，则2 36 A ，得 4 A ， 又,2 6 Cc ，由正弦定理得 sinsin ac AC ， 即 2 sinsin 46 a ，解得2 2a ， 而 62 sinsin()sin() 464 BAC ， ABC的面积 162 sin2 231 24 SacB 19 （14 分） 研究表明： 在一节 40 分钟的网课
22、中， 学生的注意力指数y与听课时间x（单位： 分钟） 之间的变化曲线如图所示， 当0 x，16时， 曲线是二次函数图象的一部分； 当16x， 40时，曲线是函数 0.8 80log()yxa图象的一部分，当学生的注意力指数不高于 68 时， 称学生处于“欠佳听课状态” （1）求函数( )yf x的解析式； （2） 在一节 40 分钟的网课中， 学生处于 “欠佳听课状态” 的时间有多长？ （精确到 1 分钟） 【解答】解： （1）当(0 x，16时，设 2 ( )(12)84(0)f xb xb， 2 (16)(16 12)8480fb， 1 4 b ， 2 1 ( )(12)84 4 f xx
23、 第 12 页（共 14 页） 当(16x，40时， 0.8 ( )log()80f xxa， 由 0.8 (16)log(16)8080fa，解得15a ， 0.8 ( )log(15)80f xx 综上， 2 0.8 1 (12)84,(0,16 ( )4 log(15)80,(16,40 xx f x xx ； （2）当(0 x，16时，令 2 1 ( )(12)8468 4 f xx ，得0 x，4， 当(16x，40时，令 0.8 ( )log(15)8068f xx，得 12 150.829.6x ， 30 x ，40， 故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014分钟 2
24、0 （16 分）已知椭圆 2 2 :1 4 x y的左右顶点分别为A、B，P为直线4x 上的动点， 直线PA与椭圆的另一交点为C，直线PB与椭圆的另一交点为D （1）若点C的坐标为(0,1)，求点P的坐标； （2）若点P的坐标为(4,1)，求以BD为直径的圆的方程； （3）求证：直线CD过定点 【解答】解： （1）由椭圆方程可得( 2,0)A ，(0,1)C， 则 1 2 PAAC kk，所以直线PA的方程为 1 1 2 yx， 令4x ，得3y ，所以(4,3)P； （2）因为( 2,0)A ，(2,0)B，(4,1)P，所以直线PB的方程为 1 (2) 2 yx， 由 2 2 1 4 1
25、(2) 2 x y yx 得 2 20 xx，所以 1 0,(2)1 2 DDD xyx ， 第 13 页（共 14 页） 所以以BD为直径的圆的方程为(2)(1)0 xxy y，即 22 15 (1)() 24 xy； （3）设(4, )Pt，因为( 2,0)A ，(2,0)B，直线PA的方程为(2) 6 t yx， 由 2 2 1 4 (2) 6 x y t yx 得 2222 (9)44360txt xt， 由韦达定理得 2 2 436 2 9 c t x t ，所以 2 2 218 9 c t x t ， 所以 2 6 (2) 69 CC tt yx t ，同理，直线PB的方程为(2)
26、 2 t yx， 由 2 2 1 4 (2) 2 x y t yx 得 2222 (1)4440txt xt， 由韦达定理得 2 2 44 2 1 D t x t ，所以 2 2 22 1 D t x t ，所以 2 2 (2) 21 DD tt yx t ， 由椭圆的对称性知这样的定点在x轴上，设为( ,0)E m，则C，E，D三点共线， 所以 22 2222 2186222 (,),(,) 9911 tttt ECmEDm tttt 共线， 所以 22 2222 2182226 ()()()() 9119 tttt mm tttt 恒成立， 整理得 2 (44)12120mtm恒成立， 所
27、以1m ，故直线CD过定点(1,0) 21 （18 分） 对于数列 n a， 若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和， 则称 n a 为P数列 （1）若数列 1，2，x，8 是P数列，求实数x的取值范围； （2）设数列 1 a， 2 a， 3 a， 10 a是首项为1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列， 求d的取值范围； （3）设无穷数列 n a是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列 n b、 n c是从 n a中 取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别记为 1 T、 2 T，求证：当0a 且 12 TT时，数列 n a不是P数列 【解答】解： （1）由题意得 1
28、2 812 x x ，所以35x； （2）由题意得，该数列的前n项和为 1 (1) ,1 2 nn n n Snd and ， 第 14 页（共 14 页） 由数列 1 a， 2 a， 3 a， 10 a是P数列，得 211 aSa， 故公差0d ， 2 1 3 (1)10 22 nn d Sand n 对满足1n ，2，3，9 的所有n都成立， 则 2 3 99(1)10 22 d d ，解得 8 27 d ， 所以d的取值范围是 8 (0,) 27 ； 证明： （3）若 n a是P数列，则 12 aSaaq， 因为0a ，所以1q ，又由 1nn aS 对所有n都成立， 得 1 1 n n
29、 q aqa q 恒成立，即 1 2( )nq q 恒成立， 因为 11 ( )0, lim( )0 nn n qq ，故20q ， 所以2q， 若 n b中的每一项都在 n c中，则由这两数列是不同数列可知 12 TT， 若 n c中的每一项都在 n b中，同理可得 12 TT， 若 n b中至少有一项不在 n c中，且 n c中至少有一项不在 n b中， 设 n b ， n c 是将 n b， n c中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列， 它们的所有项之和分别为 1 T， 2 T，不妨设 n b ， n c 中的最大项在 n b 中， 设为(2) m am， 则 21211mm TaaaaT 剟， 故总有 21 TT与 21 TT矛盾，故假设错误， 原命题正确
