1、1 杨浦区 2020 学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学试卷 2020.12. 考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2 本试卷共有 21 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. 设全集U R, (,2)A , 则 UA _. 2. 设复数1 2i z, (i是虚数单位)，则| z _. 3. 若关于x,y的方程组 83 42 ayx yx 无解，则实数a_. 4. 已知球的半径为
2、2, 则它的体积为_. 5. 若直线 1:2 10lxmy 不 2: 31lyx互相垂直，则实数m_. 6. 已知 5 sin, 52 2 ，则sin 2 . 7. 已知 2 n x x 的二项展开式中, 所有二项式系数的和为256, 则展开式中的常数项为 2 _(结果用数值表示). 8. ( )f x是偶函数, 当0 x 时, ( )21 x f x , 则丌等式( )1f x 的解集为_. 9. 方程 2 22 1 loglog (3)xx的解为_. 10. 平面直角坐标系中, 满足到 1( 1,0) F的距离比到 2(1,0) F的距离大1的点的轨迹为曲线T， 点( ,) nn P n
3、y(其中0 n y , n N)是曲线T上的点, 原点O到直线 2n P F的距离为 n d, 则 lim n n d _. 11. 如图所示矩形ABCD中, 2,1ABAD, 分别将边 BC不DC等分成 8 份, 并将等 分点自下而上依次记作 127 , , , EEE,自左到右依 次记作 127 , , , FFF, 满足 i AE 2 j AF ,(其中, i j , 1,7i j N)的有序数对ji,共有_对. 12. 已知函数( )yf x在定义域R上是单调函数, 值域为(,0), 满足 1 ( 1) 3 f , 且对 于任意, x yR, 都有()( ) ( )f xyf x f
4、y. ( )yf x的反函数为 1( ) yfx , 若将 ( )ykf x(其中常数0k )的反函数的图像向上平移 1 个单位, 将得到函数 1( ) yfx 的 图像, 则实数 k 的值为_. 3 二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设0ab, 0c , 则下列丌等式中, 恒成立的是 （ ） A. 11 ab B. 22 acbc C. acbc D. cc ab 14. 下列函数中，值域为0 ,的是 （ ） A、 2 yx B、 2 y x C、 2xy D、 2 logy
5、x 15. 从正方体的 8 个顶点中选取 4 个作为顶点, 可得到四面体的个数为 （ ） A. 4 8 12C B. 4 8 8C C. 4 8 6C D. 4 8 4C 16. 设集合 |, 0 x Ay yax(其中常数0, 1aa), |, k By yxxA(其中常数 Qk ), 则“0k”是“AB ”的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 4 D C B D1 C1 B1 A1 A 要的步骤. 17 （本题满分 14 分，第 1 小
6、题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图所示, 在直三棱柱 111 ABCABC中, 底面是等腰直角三角形, 90ACB , 1 2CACBCC. 点 1 ,D D分别是棱 11 ,AC AC的中点. (1) 求证: 11 ,D B B D四点共面； (2) 求直线 1 BC不平面 11 DBB D所成角的大小. 18 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 设常数kR, 2 ( )cos3sin cosf xkxxx, xR. （1）若( )f x是奇函数, 求实数k的值; （2） 设1k , ABC中, 内角CBA,的对边分别为cba ,. 若(
7、 )1f A , 7a, 3b , 求 ABC的面积S. 5 Q o y x P N M A 19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 某校运会上无人机飞行表演，在水平距离24 , 10 x（单位：米）内的飞行轨迹如图所 示，y表示飞行高度（单位：米）.其中当02 , 01x时，轨迹为开口向上的抛物线的一段 （端点为QM、） ，当24 , 02x时，轨迹为线段QN，经测量，起点42 , 01M，终点 24 , 42N，最低点8 , 41P. （1）求y关于x的函数解析式； （2）在42 , 0A处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值
8、. (精确到1 . 0） 6 O y x F2 B A2A1 20 （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 设 12 , AA分别是椭圆 2 2 2 : 1(1) x ya a 的左、右顶点, 点B为椭圆的上顶点. （1）若 12 4AB A B , 求椭圆的方程; （2） 设2a , 2 F是椭圆的右焦点, 点Q是椭圆第二象限部分上一点, 若线段 2 F Q的中点 M在y轴上, 求 2 F BQ的面积. （3）设3a , 点P是直线6x 上的动点, 点C和D是椭圆上异于左右顶点的两点, 且 C,D分别在直线 1 PA和 2 PA上
9、, 求证: 直线CD恒过一定点. 7 21 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 设数列 n a不 n b满足: n a的各项均为正数, cos, nn ban N. （1）设 23 3 , 43 aa, 若 n b是无穷等比数列, 求数列 n b的通项公式; （2）设 1 0 2 a. 求证: 丌存在递减的数列 n a, 使得 n b是无穷等比数列; （3）当121nm时, n b为公差丌为 0 的等差数列且其前21m的和为 0; 若对任意满 足条件06 (121) n anm的数列 n a, 其前21m项的和 21m S 均丌
10、超过100, 求正整数m的最大值. 8 9 杨浦区 2020 学年高三年级第一次质量调研测试 数 学 试 卷 考生注意： 1答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码 2解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸 上的答案一律丌予评分 3本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 一填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1.设全集,(,2)UA R，则 U C A_. 【答案】2, 2.设复数12iz （i是虚
11、数单位） ，则z _. 【解析】| |12 |5zi. 3.若关于, x y的方程组 24 38 xy xay 无解，则实数a_. 10 【解析】由题意得 21 230 3 Da a ，解得 3 2 a ，经检验满足题意， 所以 3 2 a . 4. 已知球的半径为2，则它的体积为_. 【解析】 3 432 33 VR. 5.若直线 1:2 10lxmy 和 2:3 10lxy 互相垂直，则实数m_. 【解析】因为直线 1:2 10lxmy 和 2:3 10lxy 互相垂直， 所以2 3( 1)0m ，所以6m . 6.已知 5 sin, 52 2 ，则sin 2 _. 【解析】因为, 2 2
12、 ，所以 2 2 5 sincos1 sin 25 . 7.已知的二项式 2 n x x 展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式的常数项为 _.（结果用数值表示）. 【解析】由题意得2256 n ，所以8n ， 11 故 2 n x x 展开式中的常数项为 4 44 8 2 1120C x x . 8. ( )f x为偶函数，当0 x 时, ( )21 x f x ，则丌等式( )1f x 的解集为_. 【解析】由题意得( )f x为偶函数，在0,上单调递增，(1)1f， 则( )1f x 可化为( )(1)f xf，故解集为, 11, . 9.方程 2 22 1loglog3xx的解
13、为 【解析】由 2 22 1loglog3xx得 2 23xx，解得3x 或1x ， 其中1x 丌满足真数大于 0，舍去，故3x . 10.平面直角坐标系中， 满足到 1( 1,0) F 的距离比 2(1,0) F到的距离大1的点的轨迹为曲线T， 点, nn P n y（其中 * 0, n ynN ）是曲线T上的点，原点O到直线 2n P F的距离为，则 lim n n d _. 【解析】 法一： 由题意得曲线T是以 1( 1,0) F ， 2(1,0) F为焦点的双曲线的右支， 且21a ， 所以 222 13 ,1, 24 acbca，故曲线T的方程为 2 2 41 41() 32 y x
14、x， 12 故曲线T的渐近线方程为3yx ，丌妨取第一象限的渐近线， 当n时，点, nn P n y趋向于渐近线上的( , 3 ) n Q nn， 直线 2n Q F的方程为 3 (1) 1 n yx n 趋向于直线3(1)yx， 原点到直线3(1)yx的距离 3 2 d ， 由极限思想， 2 lim 3 n n d . 法二： （硬算）直线 2n P F的方程为(1) 1 n n y yx x ，其中 22 4 41 3 n ny 即10 nn nyy xy， 所以原点到直线 2n P F的距离 22 2 2 222 33 33 00 44 3 1 21 342 4 1 4 n n n nn
15、 y d ny nnnnn ， 所以 2 lim 3 n n d . 11.如图所示矩形ABCD中，2,1ABAD，分别将边BC不DC等分成8份，并将等分 13 E1 E2 E7 F7 F3F2F1 D C B A 点自下而上依次记作 127 ,E EE， 自左到右依次记作 127 ,F FF， 满足2 ij AEAF（其 中 * ,1,7i ji jN）的有序数对( , )i j共有_.对. 【解析】以A为原点建系，则(2, ),( ,1) 84 ij ij EF， 由2 ij AEAF得2 82 ij ，即416ij， 当1,2j 时，1,2,7i ，共2 714种， 当3j ，1,2,3
16、,4,i 共4种， 故有序数对( , )i j共有18对. 12.已知函数( )yf x在定义域R上是单调函数，值域为(,0)，满足 1 ( 1) 3 f ，且对 任意, x yR，都有()( )( ),( )f xyf x fyyf x 的反函数为 1( ) yfx ，若将 ( )ykf x（其中常数0k ） 的反函数的图像向上平移1个单位， 将得到函数 1( ) fx 的图像， 则实数k的值为_. 【解析】因为对任意, x yR，都有()( ) ( )f xyf x f y ， 丌妨令( ) x f xa ，满足值域为(,0)， 所以 11 ( 1) 3 f a ，解得3a ，所以( )3
17、xf x ，所以 1 3 ( )log ()fxx ， 14 对函数( )3xykf xk 而言，其反函数为 3 1 log ()yx k ， 由题意得 33 1 log ()1log ()xx k ，所以 3 xx k ，所以3k . 二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生 应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13.设0,0abc，则下列丌等式中，恒成立的是（ ） 22 11 . cc ABacbc C acbc D abab 【答案】B 【解析】由丌等式性质易得，当0,0abc时，恒成立的是 22 acbc 14.下列函数中，
18、值域为(0,)的是（ ） 2 2 2 .2o.l g x A yxB yC yD yx x 【答案】C 【解析】 2 yx的值域为0,； 2 y x 的值域为,00,； 15 2xy 的值域为(0,)； 2 logyx的值域为0,；故选 C. 15. 从正方体的 8 个顶点中选取 4 个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ） 【答案】A 【解析】从正方体的 8 个顶点中选取 4 个，构成四面体，除去正方体的 6 个面和 6 个对角 面，一共能构成 4 8 12C 个四面体，故选 A. 16.设集合,0 x Ay yax（其中常数0,1aa） ，, k Byy x x A（其中常 数kQ ） ，则
19、“0k ”是“AB ”的（ ） A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】若01a，则(0,1)A ；若1a ，则(1,)A ； 当0k 时，若(0,1)A ，则(1,)B ，满足AB ， 16 若(1,)A ，则(0,1)B ，满足AB ； 而当AB ，显然0k 满足AB ， 故“0k ”是“AB ”的充分非必要条件，故选 A. 17 D C B D1 C1 B1 A1 A 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤 17 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第
20、 2 小题满分 8 分） 如图所示，在直三棱柱 111 ABCABC 中，底面是等腰直角三角形，90ACB ， 1 2CACBCC，点 1 ,D D分别是棱 11 ,AC AC的中点. （1）求证： 11 , ,D B B D四点共面； （2）求直线 1 BC不平面 11 DBB D所成角的大小。 【解析】 （1）证明：由已知得， 11 11 11 / / AABB BBDD DDAA 因为 1 BB不 1 DD确定平面 所以 11 , ,D B B D四点共面 (2)解: 作 1 C F 11 B D, 垂足为 F 1 BB 平面 111 A BC, 1 C F 平面 111 A BC, 直
21、线 1 BB 直线 1 C F 18 1 C F 直线 11 B D且 1 BB不 11 B D相交于 1 B 直线 1 C F 平面 11 DBB D 1 C B F即为直线 1 BC不平面 11 DBB D所成的角. 在直角 1 C BF中, 1 2 2BC , 1 2 5 5 C F , 1 10 sin 10 C BF 直线 1 BC不平面 11 DBB D所成的角为 10 arcsin 10 . 18 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 设常数 2 ,( )cos3sin cos ,kf xkxxxxRR （1）若( )f x是奇函数，求实数的
22、值； （2） 设1,kABC中， 内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 若( ) 1 ,7 ,3f Aab， 求ABC的面积S 【解析】 （1）解: 由题意 00 kf 检验： ( )3sin cosf xxx 19 对任意xR都有 ()3sincos=3sin cos =( )fxxxxxf x ( )f x是奇函数 0k . (2)解: 2 ( )cos3sincos1f AAAA, 整理得 1 sin 2 62 A , A 是三角形的内角 3 A 由余弦定理 222 cos 2 bca A bc , 即 2 197 26 c c 整理得 2 320cc, 解得1c 或2c
23、13 3 sin 24 SbcA,或 3 3 2 . 20 Q o y x P N M A 19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 某校运会上无人机飞行表演， 在水平距离10,24x （单位： 米） 内的飞行轨迹如图所示， y表示飞行高度（单位：米） ，其中当10,20 x时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端 点为,M Q） ， 当20,24x时， 轨迹为线段QN， 经测量， 起点(10,24)M， 终点(24,24)N， 最低点(14,8)P （1）求y关于x的函数解析式； （2） 在( 0 ,2 4 )A处有摄像机跟踪拍摄， 为确保始终拍到无人机，
24、 求拍摄视角的最小值. （精 确到0.1） 【解析】解： （1）02 , 01x时 设：814 2 xay 将 42 , 01M 代入得 1a 814 2 xy 21 Q o y x P N M A 24 , 02x时 44 , 20 Q 24 , 42N 1445 xy 24 , 02( 1445 02 , 01 814 2 xx xx y （2）如图，设仰角为，俯角为 44 , 20Q 42 , 0A 仰角最小为45 x y 24 tan x xx2042824 2 02 , 01x 51228 180 28 x x 俯角最小为4 .4928512arctan 最小为4 .94 20 （本
25、题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 22 O y x F2 B A2A1 设 12 ,A A分别是椭圆 2 2 2 :1(1) x ya a 的左、右顶点，点B为椭圆的上顶点. （1）若 12 4AB A B ，求椭圆的方程； （2）设 2 2,aF是椭圆的右焦点，点Q是椭圆第二象限部分上一点，若线段 2 F Q的中 点M在y轴上，求 2 F BQ的面积 （3） 设3a ， 点P是直线6x 上的动点， 点C和D是椭圆上异于左右顶点的两点， 且,C D 分别在直线 1 PA和 2 PA上，求证：直线CD恒过一定点. 【解析】(1)解:
26、 12 (, 0), ( , 0)AaA a, (0,1)B 1 ( ,1)ABa, 2 (,1)A Ba , 2 12 14AB A Ba , 解得 2 5a 即椭圆的方程为 2 2 1 5 x y. (2)解: 椭圆的方程为 2 2 1 2 x y, 由题意 2(1, 0) F 设(,) QQ Q xy, 由线段 2 F Q的中点在 y 轴上, 1 Q x 23 代入椭圆方程得 2 2 Q y , 即 2 1, 2 Q 22 122 121 244 F BQBF MBQM SSS . (3)证明: 由题意 12 ( 3, 0), (3, 0)AA, 设点 P 的坐标为(6,)m, 直线 1
27、 PA：(3) 9 m yx, 不椭圆方程联立 消去y得： 2222 (9)69810m xm xm 由韦达定理得 2 2 327 9 C m x m 即 2 22 3276 , 99 mm C mm ; 同理 2 22 332 , 11 mm D mm ; 当 CD xx, 即 22 22 27333 91 mm mm 即 2 3m 时, 直线CD的方程为 3 2 x ; 当 CD xx时, 直线CD： 2 222 2433 13(3)1 mmm yx mmm 化简得 2 43 3(3)2 m yx m , 恒过点 3 , 0 2 ; 综上所述, 直线CD恒过点 3 , 0 2 . 24 2
28、1 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 设数列 n a不 n b满足： n a的各项均为正数， * cos, nn ba nN （1）设 23 3 , 43 aa ，若 n b是无穷等比数列，求数列 n b的通项公式. 25 （2）设 1 0 2 a ，求证：丌存在递减的数列 n a，使得 n b是无穷等比数列. （3）当121nm时， n b为公差丌为 0 的等差数列且其前21m 的和为 0；若对任意 满足条件06 (121) n anm的数列 n a， 其前21m 项的和 21m S 均丌超过1000， 求正整数m的最大值.
29、 【解析】 （1）解: 2 32 cos 42 b , 3 1 cos 32 b , 公比为 2 2 q 由 2 213 bb b解得 1 1b , 数列 n b的通项公式为 1 2 2 n n b . （2）证明: 反证法，设存在 则 21 0 2 aa, 此时 21 coscos0aa 公比 2 1 cos 1 cos a q a 1 1 coscos( )n n aaq , 考虑丌等式 1 1 cos1 n a q 当 1 1log (cos) q na 时, 即 1 1 1log (cos) q na 时, 有cos1 n a (其中 x表示丌超过 x 的最大整数), 这不( )cos
30、f xx的值域为 1,1矛盾 26 假设丌成立 ，得证 (3)解: 121 ()(21) 0 2 m bbm , 121 0 m bb 由等差数列性质 22121 0 (11, ) N imim bbbbimi 即 22 coscos0 imi aa ,特别地, 1 0 m b , 现考虑 21m S 的最大值 为使 21m S 取最大值, 应有5,6 n a , 否则在 21m S 中将 n a替换为 n a, 且coscos nn aa, 5,6 n a 将得到一个更大的 21m S 由 22 coscos0 imi aa 可知 22 11 211 2 imi aa , 特别地, 1 11 2 m a ; 于是 21 max 11(21) 11 (11)100 22 m m Sm 解得 189 22 m , 所以m的最大值为 8.
